Elementarer Nachweis der Mindestanzahl oder Parameter, die erforderlich sind, um ein Kraft-Drehmoment (auch bekannt als Schraubenschlüssel) in 2D vs. 3D eindeutig zu identifizieren

Da der Begriff Kraft-Drehmoment (auch bekannt als Schraubenschlüssel-Vektor) in der Robotik wahrscheinlich häufiger vorkommt als in der Physik, versuchen wir, mit einer Definition dessen zu beginnen, was gesucht wird: Ein Kraft-Drehmoment ist ein sparsamer Satz (naja, eigentlich Vektor) von Parametern reichen aus, um alle implizierten Wirkungen (translational und rotatorisch) einer auf einen starren Körper wirkenden Kraft abzuleiten. Zur Veranschaulichung wollen wir in der Lage sein, von unseren Parametern den Fall des Stoßens entlang einer Linie, die durch den Massenmittelpunkt der Kiste verläuft, [mit einer gegebenen Kraft] gegenüber dem Fall des Stoßens mit einem gleichen (im Sinne von üblichem 2D oder 3D-Vektor) Kraft auf einer anderen Linie; Das erste Szenario wird nur eine Translation verursachen, aber das zweite wird eine zusammengesetzte Bewegung aus Translation und Rotation verursachen, siehe Diagramm . Bitte stellen Sie die 2D- und 3D-Fälle gegenüber.

Ich kenne die Antwort auf diese Frage tatsächlich, was ich hier per Crowdsourcing mache, ist eine Bitte um einen schönen elementaren Beweis. Ich hoffe, dass ein solcher Beweis eine nützliche Ergänzung zu dieser Seite sein könnte, da Leute, die von diesem Problem verwirrt sind, oft keine Experten für Lie-Algebren sind (z. B. sagen, dass wir im 2D-Fall über Elemente der Lie-Algebra sprechen se(2)* und dass im 3D-Fall se(3)* und dass die Dimension des ersteren drei, aber die des letzteren sechs ist, wird für viele nicht erhellend sein). Diese Frage hier wird durch eine etwas nebulöse Behauptung motiviert, die in einer Frage zu math.SE gemacht wurdewas ich so interpretiert habe, dass behauptet wird, dass Kraft-Drehmoment in 3D 5-dimensional ist [beachten Sie, dass die Kachel der Frage dort nicht den tatsächlichen Inhalt der Frage widerspiegelt; Sie müssen den ganzen Körper lesen.] Ich vermute, dass diejenigen von Ihnen, die Physik lehren, dies vielleicht vorher jemandem erklären mussten ...

Ich denke, die Person in der mathematischen Frage, mit der Sie verknüpft sind, denkt über die Kraft und das Drehmoment nach, die sich aus einer Kraft ergeben, die auf einen einzelnen Pont wirkt. Dies erfordert nur fünf Parameter, da die Komponente entlang der Kraft, an der die Kraft aufgebracht wird, keine Rolle spielt. Zum Beispiel, wenn meine Kraft in der ist X ^ Richtung, egal ob ich es anwende ( 1 , 1 , 0 ) oder ( 0 , 1 , 0 ) .
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs: Was meinst du mit "einer Kraft, die auf einen einzigen Punkt wirkt"? Er spricht eindeutig von starren Körpern, siehe sein Beispiel vom "12. Januar um 17:22 Uhr" .
Mit "Kraft, die auf einen einzelnen Punkt wirkt" meine ich den Fall eines starren Körpers mit einer Punktladung darin. Angenommen, dieser Körper wird in ein gleichförmiges elektrisches Feld gebracht. Dann spürt der Körper nur noch an der Stelle der Punktladung eine Kraft. Vergleichen Sie dies mit dem Fall eines massiven Körpers in einem Gravitationsfeld. In diesem Fall spürt jedes kleine Stück Masse im Körper eine Gravitationskraft.
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs: Ich verstehe immer noch nicht, wie dieses Szenario (einzelnes geladenes Teilchen in einem starren Körper) eine Dimensionsreduktion von genau 1 im 3D-Kraft-Drehmoment verursacht, dh wie das Kraft-Drehmoment in diesem Fall 5-dimensional ist.
Sowohl Schraubenschlüssel als auch Drehungen überspannen 3 DOF-Raum in 2D und 6 DOF-Raum in 3D. Dies sind 2 Kraftkomponenten und eine Drehmomentkomponente oder zwei Geschwindigkeitskomponenten und eine Drehzahlkomponente. Beide sind Elemente der projektiven Geometrie, wobei die Linie im Unendlichen ein reines Drehmoment und die Punkte im Unendlichen Einheitstranslationen sind.

Antworten (1)

Für 2D-Kraft werden drei Parameter benötigt (im Gegensatz zu 6 für 3D, siehe https://math.stackexchange.com/a/1157906/3301 ).

Komposition

Eine Kraft mit Ausmaß F entlang einer Richtung e → = ( e X , e j ) durch einen Punkt gehen R → = ( R X , R j ) wird durch die drei Parameter beschrieben

F = ( A , B , C ) = ( F e X , F e j , F ( e j R X − e X R j ) )

Zersetzung

Eine Kraft gegeben F = ( A , B , C ) finden Sie die Parameter

  • Größe
    F = A 2 + B 2
  • Richtung
    e → = ( A F , B F )
  • Abstand der Linie vom Ursprung
    D = C F
  • Position
    R → = ( B D F , − A D F ) = ( D e j , − D e X )

Zusammen machen die oben genannten die Kraft

F = ( F X , F j , D F )
die im letzten Parameter das äquipolente Moment der Kraft im Abstand enthält.

Beachten Sie, dass, wenn ein sich bewegender planarer starrer Körper 3 Bewegungskomponenten hat (auch bekannt als Verdrehung), v = ( v X , v j , ω ) am Ursprung, dann eine Kraft mit Komponenten F = ( F X , F j , D F ) angelegt wird, dann ist die erzeugte/erforderliche Leistung

P = F ⋅ v
Wo ⋅ ist das innere Produkt.

Zusammenfassung

Kräfte, Impulse und Bewegungen in 3D sind alle Schrauben mit 6 Komponenten. Ihre planaren Vorsprünge (planaren Schrauben) haben 3 Komponenten. Diese erzwingen einen Satz homogener Koordinaten auf der Ebene, in der Bewegungen Punkte und Kräfte/Impulse Linien sind. Die Punkte repräsentieren das momentane Rotationszentrum und die Linien die Wirkungslinie. Wenn diese ein Pol-Polar-Paar bilden, wird die Wirkungslinie Perkussionsachse genannt.

Nun, das ist ein anständiger Beweis dafür, dass in 2D 3 Parameter ausreichen, um die Kraft und ihren Angriffspunkt zu rekonstruieren, aber es ist kein Beweis dafür, dass Sie (irgendwie) nicht mit nur zwei Parametern davonkommen können. Außerdem enthält dieser Beweis nichts darüber, warum Sie 6 Parameter (nicht 5) benötigen, um das Kraft-Drehmoment in 3D zu beschreiben. Ich spiele hier einen Nitpicking Undergrad ... wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben; Dies, nachdem ich versucht hatte, einen ähnlichen Beweis in meinen Kommentaren zu math.SE zu schreiben, aber festgestellt hatte, wie viele Lücken ein solcher elementarer Beweis hat (zu behandeln).
Eine im 2D-Raum befindliche Kraft wird durch den 2D-Vektor (Richtung+Betrag) und den Mindestabstand der Wirkungslinie zum Ursprung (äquipollentes Drehmoment) charakterisiert. Das sind die 3 Parameter, und sie sind identisch mit den 3 Parametern, die benötigt werden, um eine Linie in 2D mit homogenen Koordinaten zu beschreiben. Diese Parameter sind jedoch nicht eindeutig, da es einen alternativen Satz gibt, bei dem der Normalenvektor der Wirkungslinie anstelle von entlang verwendet wird, so wie Ebenen in 2D mit homogenen Koordinaten dargestellt werden.
Elementarer Nachweis der Mindestanzahl oder Parameter, die erforderlich sind, um ein Kraft-Drehmoment (auch bekannt als Schraubenschlüssel) in 2D vs. 3D eindeutig zu identifizieren
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