Energie einer beschleunigten Ladung?

Wenn wir davon ausgehen, dass die Geschwindigkeiten weit unter dem relativistischen Bereich liegen, dann lautet die Bewegungsgleichung des Elektrons ohne Strahlung einfach:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} \tag{1}$$

Wo$E$ist die Feldstärke und$q$Und$m$sind die Elektronenladung und Masse.

Wie Lawrence sagt, wird die als Strahlung emittierte Leistung durch die Larmour-Gleichung angegeben :

$$P = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} = \frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} \left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{2}$$

und da Kraft Kraft mal Geschwindigkeit ist, erzeugt dies eine Kraft auf die Ladung von$P/v$und damit eine Verzögerung von$P/(vm)$. Die Bewegungsgleichung einschließlich der Strahlung lautet also:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} - \frac{1}{m\frac{dx}{dt}}\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{3}$$

Pfui!

Fühlen Sie sich frei, eine Lösung zu versuchen, aber lassen Sie uns zunächst ein Gefühl für die beteiligten Mengen bekommen. Nehmen wir eine Feldstärke von$10^5$V/m, was ungefähr so ​​hoch ist, wie wir gehen können, ohne relativistische Korrekturen einbeziehen zu müssen. In diesem Fall liefert uns Gleichung (1):

$$a \approx 1.76 \times 10^{16} \,\text{m/s}$$

Setzen Sie dies in Gleichung (2) ein und wir erhalten:

$$P \approx 1.76 \times 10^{-21} \,\text{W}$$

Denken Sie daran, dass wir anfangs sagten, dass wir eine Feldstärke von verwendeten$10^5$Volt pro Meter, also die potentielle Energieänderung pro Meter$Vq$oder ungefähr$1.6\times 10^{-14}$J. Wir haben also einen Unterschied von sieben Größenordnungen zwischen dem Energiegewinn des Elektrons pro Meter und der pro Sekunde abgestrahlten Energie. Und das heißt, wir ignorieren in den meisten Fällen die Energie, die durch Strahlung verloren geht.

Als Fußnote sei bemerkt, dass die Larmour-Strahlung sicherlich nicht immer vernachlässigbar ist. Schließlich machen sich Radiosendungen genau dieses Phänomen zunutze - die pro Elektron abgestrahlte Energie ist klein, aber glücklicherweise befinden sich in einer Radioantenne viele Elektronen. Die Larmour-Strahlung ist auch der Grund, warum der LEP-Beschleuniger nicht viel leistungsstärker als 200 GeV gemacht werden konnte – die aufgrund der Kreisbewegung abgestrahlte Energie machte es unerschwinglich teuer, mit höheren Energien zu laufen.

Die Larmor-Formel stammt vom Poynting-Vektor

$$\vec S = \frac{c}{4\pi}\vec E\times\vec B$$ Das elektrische Feld in einem relativistischen Inhalt wird mit dem Lienard-Weichert-Potential abgeleitet $$\vec E = q\frac{\hat n - (\vec v/c)}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r^2} + \frac{q}{c}\frac{\hat n \times((\hat n - (\vec v/c)))\times\vec v_t/c}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r}$$ mit $\vec v_t = d\vec v/dt$Und $\vec B = \hat n\times\vec E$. Die Kreuzproduktberechnung erfordert ein wenig Arbeit, aber das Ergebnis ist $$\vec S = \frac{q^2}{4\pi c^3}\frac{(|\vec v_t|^2 - \hat n\cdot\vec v_t)\hat n }{r^2}$$ wo natürlich $|\vec v_t|^2 = a^2$Der Poynting-Vektor ist die Energieflussrate. Dies kann dann abgeleitet werden, um die Potenz zu berechnen, um die Larmor-Formel zu geben $$P = \frac{2}{3}\frac{e^2a^2}{c^3}.$$

Wie kommt es, dass ich in all meinen EM-Kursen nie mit diesem Energieverlust in Form von EM-Wellen rechnen musste?

In den einfachen Beispielen, die in den Einführungskursen gezeigt werden, wird der Energieverlust von geladenen Teilchen, die sich durch Strahlung in einem externen Feld bewegen, vernachlässigt, da die Strahlung von EM-Wellen ein schwieriges Thema ist, und selbst wenn sie nicht vernachlässigt wird, kann ihre Wirkung auf die gezeigt werden Teilchenbewegung ist relativ klein.

Wenn Sie weiterführende Kurse belegen, wie z. B. relativistische Elektrodynamik oder Design von Antennen/Teilchenbeschleunigern, wird dort der Energieverlust durch Strahlung besprochen.

Und gibt es eine Möglichkeit zu wissen/zu berechnen, wie viel Energie verloren gegangen ist?

Ja, wenn der geladene Körper Dimensionen ungleich Null hat (ist kein Punkt), kann das Poynting-Theorem als Arbeits-Energie-Theorem interpretiert werden und wenn der Körper weit von anderen Körpern entfernt ist (also die Wirkung anderer Körper auf das Poynting Vektor kann vernachlässigt werden), kann die Larmor-Formel hergeleitet werden. Die Larmor-Formel besagt, dass Energie pro Sekunde von einem beschleunigten geladenen Körper abgestrahlt wird

$$P = \frac{2}{3}\frac{Kq^2}{c^3}a^2$$

Wo$K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,$q$ist Ladung des Körpers und$a$ist die Größe seiner Beschleunigung.

Wenn der Energieverlust für Elektronen in CRT (alte große TV-Vakuumkammer) oder Elektronen in einem Mikroskop bewertet wird, erhält man eine sehr kleine Zahl im Vergleich zur Gesamtenergie der Elektronen, sodass der Effekt die meiste Zeit vernachlässigt wird. Wo es nicht vernachlässigt werden kann, sind Teilchenbeschleuniger - die konstruierten Bewegungsparameter sind so, dass die Energie, die von einem Bündel von Teilchen (ein Bündel ist eine kleine Wolke aus Milliarden von Teilchen, die sich zusammen bewegen) in einer Umlaufbahn verloren geht, vergleichbar mit der Energie ist, die die Maschine verbraucht liefern kann.