Energieerhaltung bei Lichtreflexion an einem perfekten Spiegel

Sie stellen zu Recht die Annahme in Frage, dass der Impuls, der dem Spiegel gegeben wird, doppelt so groß ist wie der Impuls des einfallenden Photons, aber das hat nichts damit zu tun, dass der Spiegel ein perfekter Reflektor ist. Dies ist eine Annäherung. Sie haben Recht, wenn der Impuls des reflektierten Photons gleich dem Impuls des einfallenden Photons ist, muss die Masse des Spiegels unendlich sein (oder der Impuls des reflektierten Photons muss niedriger sein). Dies ist eine andere Art zu sagen, dass sich der Spiegel nicht bewegen kann. Der beste Weg, dies zu erklären, ist, einfach eine einfache kinematische Berechnung durchzuführen.

Lassen Sie uns die Feder ignorieren und eine einfache elastische Kollision von Spiegel und Photon durchführen. Dies ist eine nicht-relativistische Berechnung (nichts wie Compton-Streuung), also verwenden wir nicht-relativistische Energie- und Impulserhaltung.

Nehmen wir die Wellenlänge des ankommenden Photons an$\lambda$, die Wellenlänge des reflektierten Photons zu sein$-\lambda^\prime$(negativ, da es in Richtung reflektiert wird) und die Masse des Spiegels als$M$. Angenommen, dem Spiegel wird nach der Photonenreflexion eine Geschwindigkeit verliehen$v$. Durch Impulserhaltung,

$$\frac{h}{\lambda} + \frac{h}{\lambda^\prime} = M v \:,$$

und durch Energieeinsparung,

$$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda^\prime} = \frac{1}{2}Mv^2\:.$$

Davon können Sie sich nach dem Eliminieren überzeugen$h/\lambda^\prime$und einige Umordnungen werden Sie eine Gleichung haben, die quadratisch ist$v$, deren formale Lösungen sein werden

$$v = -c \pm c\sqrt{1+\delta} \:,\:\:\:\:\:\:\textrm{where}\:\:\:\delta = \frac{4 h}{M c \lambda} \: .$$

Ich überspringe viel triviale Algebra (und die quadratische Formel); Sie sollten in der Lage sein, das obige Ergebnis ohne allzu große Mühe zu erhalten. Wir können die unphysikalische tachyonische Lösung sofort wegwerfen, und seitdem$\delta \ll 1$, wir können expandieren$\delta$zu bekommen

$$\frac{v}{c} = \frac{1}{2}\delta + O(\delta^2) \:.$$

So bekommen wir

$$Mv \approx \frac{2h}{\lambda} = 2 p \:,$$

wobei wir Terme höherer Ordnung ignoriert haben$h/\lambda$(bedeutet höhere Ordnung$\delta$Bedingungen). Somit ist der Impuls des Spiegels ungefähr doppelt so groß wie der Impuls des einfallenden Photons. Mit anderen Worten, Sie können die Kinematik des Systems einfach so annähern, als ob das reflektierte Photon den gleichen Impuls hätte$p$wie das einfallende Photon, und dass der Spiegel dadurch einen Impuls erhält$2p$weil das Photon reflektiert wird (der Impuls des Photons muss sein$-2p$Um die Richtung umzukehren, muss der Impuls des Spiegels so sein$+2p$um den Schwung zu erhalten).

In Wirklichkeit sieht das Photon eine gewisse Wellenlängenverschiebung, aber sie wird klein sein. Der führende Ordnungsterm im Impuls des Spiegels kommt von der Impulsänderung des Photons aufgrund von Reflexion. Intuitiv liegt dies daran, dass die Ruhemassenenergie des Spiegels viel größer ist als die Energie des Photons. Aus Gründen der Intuition können Sie so tun, als wären die Photonen hier kleinen Masseteilchen äquivalent$m$, Wo$m$wird von gegeben$m c^2 = hc/\lambda \ll M c^2$. Stellen Sie sich vor, eine Murmel auf den Boden zu werfen, wo die Masse der Erde viel größer ist als die Masse der Murmel: Der Impuls jedes einzelnen Photons ändert sich nicht wesentlich, da die Masse des Spiegels viel höher ist, nur seine Richtung ändert sich. Diese Intuition wird durch die obige Analyse unterstützt: Wir würden erwarten, dass unsere Schlussfolgerungen wann zusammenbrechen$\delta \sim 1$, oder anders gesagt, wann$h/\lambda \sim Mc$(Ignorieren trivialer numerischer Faktoren).

Nebenbei können wir auch annähern, wie die Wellenlängenverschiebung sein wird. Der Wert von$v$bis zu Korrekturen erster Ordnung werden

$$\frac{v}{c} = \frac{1}{2}\delta - \frac{1}{8}\delta^2 + O(\delta^3) \: .$$

Daher,

$$Mv \approx 2 \frac{h}{\lambda} - \frac{2}{Mc} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \: .$$

Wenn wir diesen Ausdruck wieder in die Impulserhaltungsgleichung oben einsetzen, haben wir

$$\frac{h}{\lambda^\prime} - \frac{h}{\lambda} \approx - \frac{2}{Mc} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \: .$$

So,

$$\frac{\Delta p}{p} \approx - \frac{2p}{Mc} \:,$$

wo Korrekturen höherer Ordnung drin sind$p$wird durch Faktoren von unterdrückt$1/Mc$. Bezüglich$\lambda$, diese Verschiebung wird bis auf Korrekturen erster Ordnung sein,

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{2h}{Mc\lambda} \:.$$

Wenn wir also sichtbares Licht nehmen (sagen wir,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \,\textrm{m}$), Und$M = 0.1 \,\textrm{kg}$, wird diese proportionale Verschiebung ungefähr sein

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx 8 \times 10^{-35} \:,$$

was absolut die Lehrbuchdefinition von vernachlässigbar ist. Wo der Spiegel seine nachweisbare Bewegung aufnimmt, ist die schiere Anzahl der Photonen, die ihn treffen.

Wenn ich jedoch annehme, dass jedes Photon einen Teil seiner Energie abgibt und somit seine Wellenlänge ändert, ist der ankommende Impuls nicht gleich dem abgehenden Impuls. Dies würde jedoch zu einem Widerspruch führen, da wir davon ausgegangen sind, dass der Spiegel perfekt reflektiert.

Es gibt keinen Widerspruch. Sie sollten "perfekt reflektierender Spiegel" so interpretieren, dass jedes Photon, das auf den Spiegel trifft, reflektiert wird. Es ist in der Tat so, dass die reflektierten Photonen eine längere Wellenlänge haben müssen als die einfallenden Photonen. Sie erhalten nicht die reflektierte Wellenlänge, aber die Auferlegung der Energie-Impuls-Erhaltung (zwei Beziehungen) ermöglicht es Ihnen, sowohl nach der reflektierten Wellenlänge als auch nach dem Wert von zu lösen$N$(zwei Unbekannte).

Wenn Sie fragen "was wäre, wenn wir uns einen perfekt reflektierenden Spiegel vorstellen würden " im Sinne eines Spiegels, der jedes einfallende Photon immer reflektieren würde, ohne seine Wellenlänge zu ändern, dann fragen Sie effektiv "was wäre, wenn Energie oder Impuls nicht erhalten würden?" Nun, dann müssten Sie einige neue Gesetze der Physik vorschlagen, die dies ermöglichen und hoffentlich Ihre Frage beantworten würden.

In der Problemstellung muss „perfekter Spiegel“ bedeuten, dass kein Licht absorbiert wird und dass der Spiegel perfekt eben ist. Allerdings gibt es einen messbaren Rückstoßeffekt, wenn der Spiegel leicht genug ist. Dies ist, wie Sie sagen, durch die Impulserhaltung erforderlich. Jedes Photon wird daher mit einer etwas kleineren Energie, also einer etwas kleineren Frequenz und einer größeren Wellenlänge reflektiert. In diesem Sinne ist der Spiegel konstruktionsbedingt nicht perfekt. Ihr Verdacht ist begründet.

Es wäre klarer gewesen, wenn ausdrücklich gesagt worden wäre, was mit "perfekt" gemeint ist.

Perfekte Spiegel gibt es nicht, aber wenn Sie darauf bestehen, lassen Sie uns diesen Fall besprechen.

Ein perfekter Spiegel ist ein Spiegel, der Licht (und allgemein elektromagnetische Strahlung) perfekt reflektiert und weder durchlässt noch absorbiert.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_mirror

Dies bedeutet, dass, wie Sie in den Kommentaren sehen, jedes einzelne Photon, das auf den Spiegel trifft, nach der Reflexion auch den Spiegel verlässt. Keines der einfallenden Photonen darf absorbiert (ohne Reemission) oder gebrochen werden.

Reflexion ist elastische Streuung, das ist die einzige Möglichkeit, ein Spiegelbild aufzubauen, dies behält die relativen Energieniveaus und Phasen der Photonen bei.

Jetzt ändern sich die relativen Energieniveaus der Photonen nicht, aber das bedeutet nicht, dass die Energie und der Impuls gleich bleiben. Die Energie und der Impuls der Photonen ändern sich. Ja, die Photonen üben Druck auf den Spiegel aus.

Ja. Tatsächlich üben Photonen Druck auf alle Oberflächen aus, die ihnen ausgesetzt sind. Beispielsweise üben von der Sonne emittierte Photonen einen Druck von 9,08 μN/m2 auf die Erde aus.

Über Photonen und Spiegel

Es ist eine klassische Theorie, aber der Strahlungsdruck ist ein reales Phänomen. Dies bedeutet nicht, dass der Spiegel in Ihrem Fall nicht perfekt sein kann. Perfekt bedeutet, dass alle Photonen elastisch gestreut werden und keines absorbiert (ohne Reemission) oder gebrochen wird.

Behandeln Sie es als Impulsproblem (elastische Kollision). Sie brauchen keine Kraft oder Leistung, Sie brauchen nur die Impulserhaltung, wenn die Photonen auftreffen.

Sie können vernünftigerweise einen gleichen und entgegengesetzten Impuls für die Photonen vor und nach der Kollision annehmen (keine Änderung der Wellenlänge, da der Spiegel bei der Kollision stationär ist - Sie könnten eine Dopplerverschiebung für die reflektierten Photonen einbeziehen, da sich der Spiegel bis dahin bewegt, aber es würde das Problem verkomplizieren und es wird klein sein).

Das gibt Ihnen also den Impuls des Spiegels nach der Kollision. Sie müssen die Hooke-Konstante für die Feder erhalten$\Omega$und dann muss man nur noch die bewegungsgleichung beim zusammendrücken der feder lösen.

Die Masse des Spiegels wird angegeben, um Sie glauben zu lassen, dass dies ein Problem des Referenzrahmens ist. Es ist nicht. Das oder es ist erforderlich, um die Federkonstante abzuleiten$k$von der Oszillatorfrequenz$\Omega$. Nehmen wir an, das ist erledigt.

Jetzt ist die Situation im Gleichgewicht mit dem um eine Strecke verschobenen Spiegel$x$, was eine Kraft erfordert:

$$F = kx$$

Woher kommt diese Kraft? Reflektiertes Licht:

$$F = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}$$

Wo$p$ist Schwung. Für Licht:

$$pc = E$$

Wo$E$ist die Energie im Licht. Seit Macht,$P$, ist Energie pro Zeit:

$$P = \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d(pc)}{\mathrm dt} = c\,\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}=cF = kx$$

Diese Energie kann dann in einen Fluss von Billionen von Photonen umgewandelt werden.

Treffen alle Photonen gleichzeitig ein, so entsteht ein Impuls:

$$P_{\gamma} = 2p_{\gamma} = P_M$$

Dabei wird die Fallfeder so komprimiert, dass (Energieeinsparung):

$$\frac 1 2 k x^2 = \frac{P_M^2}{2M}$$

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber das klingt nach einem Problem bezüglich des Bezugsrahmens. Im Schwerpunktrahmen sollte bei einem elastischen Stoß keine Energieübertragung stattfinden. Da aber die Masse des Spiegels nicht gegeben ist, ist der Schwerpunktrahmen möglicherweise nicht einmal annähernd der Laborrahmen, in dem der Spiegel anfänglich ruht.

Anders ausgedrückt: Den Begriff „perfekt reflektierend“ sollte man nicht als Erhalt der Energie des Lichts interpretieren, da dies von der Fassung abhängt. Es bedeutet nur, dass keine Absorption stattfindet.

Berechnen wir die Energieänderung des Massenspiegels$M$von einem Photon mit Energie$\hbar \omega$

Das Photon hat Impuls$p = \hbar \omega/c$, und so ist die Gesamtänderung des Impulses$\Delta p =-2\hbar \omega/c$

Der Spiegel dagegen gewinnt an Schwung$-\Delta p$durch Impulserhaltung. Diese Impulsänderung gibt dem Spiegel etwas Energie, aber wie viel? Das ist einfach die kinetische Energie des Spiegels

$$KE = \frac{\Delta p^2}{2M} = \hbar \omega \frac{2\hbar \omega}{Mc^2}$$

Somit haben wir für einen 10-Gramm-Spiegel und ein sichtbares Lichtphoton eine relative Energieänderung von$\frac{2\hbar \omega}{Mc^2}$oder 1 Teil in$10^{33}$, was absolut vernachlässigbar ist. Wir können also davon ausgehen, dass der Spiegel das Licht perfekt reflektiert und seine Energie praktisch nicht ändert.

Die Annahme, dass es keine Wellenlängenverschiebung gibt, verletzt die Newtonschen Gesetze nicht. Das Phänomen der Raleigh-Streuung zeigt, dass es eine Reflexion (Beugung) von Photonen ohne Änderung der Wellenlänge oder Frequenz gibt:

"Für Lichtfrequenzen weit unterhalb der Resonanzfrequenz des streuenden Teilchens (normales Dispersionsregime) ist die Streumenge umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Wellenlänge."

Es gibt kein Wort über eine Änderung der Wellenlänge oder Frequenz. Es kommt nicht vor. Blaues Licht wird ohne Rotverschiebung als blaues Licht reflektiert, und nur der Reflexionswinkel unterscheidet sich und markiert die Reflexion als sogenannte Raleigh-Reflexion.

Dies kann meiner Meinung nach leicht durch einen reinen Richtungsaustausch zwischen den Photonen und den Teilchen erklärt werden, aus denen der Spiegel besteht (unter der Annahme der -hypothetischen - Bedeutung des Begriffs "perfekt", die die Frage nahelegt).

denn nach Newtons Gesetz ist der Impuls ein Vektor, der die Richtung bewegter Körper einschließt.

Es sind keine weiteren Annahmen erforderlich, als dass Photonen auf Teilchen des Spiegels treffen, die sich selbst in Bewegung befinden.

Daher widerspricht meiner Meinung nach die Annahme einer "perfekten" Reflexion in einem Spiegel ohne Änderung der Wellenlänge nicht den Newtonschen Gesetzen, da der Impuls ein Vektor ist, der die Richtung enthält.

Dass bei der Raleigh-Streuung eine Winkeländerung auftritt, erklärt Wikipedia wie folgt:

„Rayleigh-Streuung resultiert aus der elektrischen Polarisierbarkeit der Teilchen. Das oszillierende elektrische Feld einer Lichtwelle wirkt auf die Ladungen innerhalb eines Teilchens und bewirkt, dass sie sich mit der gleichen Frequenz bewegen. Das Teilchen wird daher zu einem kleinen strahlenden Dipol, dessen Strahlung wir als gestreutes Licht zu sehen. Die Partikel können einzelne Atome oder Moleküle sein; es kann auftreten, wenn Licht durch transparente Festkörper und Flüssigkeiten wandert, ist aber am deutlichsten in Gasen zu sehen.

Die Bedeutung des Wortes „perfekt“ im gegebenen Text muss daher aus dem Zusammenhang erschlossen werden. Aus dem Kontext des Problems kann gefolgert werden, dass einfach keine Absorption von Photonen stattfindet, wie in anderen Antworten angegeben.