Wie wird in diesem System Energie gespart?

Bei der Berechnung von (elastischen) Stößen wird sowohl die Energie- als auch die Impulserhaltung berücksichtigt. Das Photon hat zunächst den Impuls$p_{\gamma i} = \hbar k$und die Energie$E_{\gamma i} = \hbar \omega$, mit$k$wobei die Wellenzahl und$\omega$die Frequenz, und der Spiegel hat den Impuls$p_{mi}=0$und die Energie$E_{mi} = mv^2/2 = 0$. Mit$i$bezeichnet i initial und$f$bezeichnet Endgrößen , Energie- und Impulserhaltung sind

$$p_{\gamma i} + p_{mi} = p_{\gamma f} + p_{mf} \quad \Leftrightarrow \quad \hbar k_i = -\hbar k_f + m v_f \quad \Leftrightarrow \quad \frac \hbar c \omega_i = - \frac \hbar c \omega_f + m v_f~, \tag{1}$$ $$E_{\gamma i} + E_{mi} = E_{\gamma f} + E_{mf} \quad \Leftrightarrow \quad \hbar \omega_i = \hbar \omega_f + \frac 12 m v_f^2 \quad \Rightarrow \quad \omega_f = \omega_i - \frac{m}{2\hbar} v_f^2~.$$ Das negative Vorzeichen ein$p_{\gamma f} = -\hbar k_f$benötigt, da sich das Photon in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, also zeigt auch der Wellenvektor in die entgegengesetzte Richtung.

Durch Kombinieren der obigen Gleichungen folgt

$$\frac \hbar c \omega_i = - \frac \hbar c \omega_i + \frac{m}{2c} v_f^2 + m v_f \quad \Leftrightarrow \quad v_f^2 + 2 c v_f - \frac{4\hbar}{m} \omega_i = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (v_f + c)^2 - c^2 - \frac{4\hbar}{m} \omega_i = 0~.$$ $$\Rightarrow v_f = \sqrt{c^2 + \frac{4\hbar}{m}\omega_i} - c~. \tag{2}$$ Und die Verwendung von (1) ergibt $$\omega_f = -\omega_i + \frac{cm}{\hbar} v_f~.$$ Das heisst,$|\omega_f| < |\omega_i|$, also verliert das Photon die Energie, die der Spiegel erhält, und die Energieerhaltung wird nicht verletzt.

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Der letzte Absatz des ursprünglichen Beitrags ist nicht falsch, aber ich war dort und seitdem etwas verwirrt$c/\hbar$sehr groß ist, hilft es nicht wirklich, darauf hinzuweisen, warum$|\omega_f| < |\omega_i|$. Versuchen wir es also noch einmal:

Es hält

$$\frac{cm}{\hbar} v_f \overset{\text{(2)}}= \frac{cm}{\hbar} \left( \sqrt{c^2 + 4 \frac{\hbar \omega_i}{m}} - c \right) = \frac{c^2 m}{\hbar} \left( \sqrt{1 + 4 \frac{\hbar \omega_i}{c^2 m}} - 1 \right)~.$$ Die Taylor-Erweiterung von$\sqrt{1+4\epsilon}$bei$\epsilon = 0$Ist $$\sqrt{1 + 4 \epsilon} = \sqrt 1 + \left[ \frac{4}{2 \sqrt{1 + 4 \epsilon}} \right]_{\epsilon =0} \epsilon + \frac 12 \left[ - \frac{16}{4 \sqrt{1 + 4 \epsilon}^3} \right]_{\epsilon =0} \epsilon^2 + \mathcal O(\epsilon^3) = 1 + 2 \epsilon - 2 \epsilon^2 + \mathcal O(\epsilon^3)~.$$ Einstellung$\epsilon = \hbar \omega_i / (c^2 m)$(was für jeden vernünftigen sehr klein ist$\omega_i$Und$m$), wir bekommen $$\omega_f = - \omega_i + \frac{cm}{\hbar} v_f = - \omega_i + \frac{c^2 m}{\hbar} \left( \sqrt{1 + 4 \epsilon} - 1 \right) \\= - \omega_i + \frac{c^2m}{\hbar} \left( 1 + 2 \frac{\hbar \omega_i}{c^2m} - 2 \left(\frac{\hbar \omega_i}{c^2 m} \right)^2 + \mathcal O(\epsilon^3) -1 \right) \\= -\omega_i + 2\omega_i - \underbrace{2 \frac{\hbar\omega_i^2}{c^2 m}}_{\text{very small}} + \mathcal O\left( \left( \frac{\hbar \omega_i}{c^2 m} \right)^3 \right)~.$$ $$\Rightarrow \omega_f = \omega_i - \underbrace{2 \frac{\hbar\omega_i^2}{c^2 m}}_{\text{very small}}+ \mathcal O\left( \left( \frac{\hbar \omega_i}{c^2 m} \right)^3 \right)~.$$