Gilt das Reflexionsgesetz für unelastisch auf schiefe Ebenen springende Kugeln?

Es gibt ein zweiteiliges Problem in meinem Physikbuch, in dem Teil I einige Informationen darüber gibt, wie eine Kugel senkrecht auf eine flache Oberfläche fallen gelassen wird, und wir werden gebeten, den Wiederherstellungskoeffizienten abzuleiten e . In Teil II lassen wir denselben Ball auf eine schiefe Ebene fallen und werden gebeten, den Ort des zweiten Kontaktpunkts des Balls mit der Ebene zu finden. Die schiefe Ebene besteht vermutlich aus dem gleichen Material wie die ebene Fläche, obwohl dies in der Aufgabe nicht erwähnt wird.

Es ist eine sehr einfache Übung, aber etwas in der Lösung des Buches hat mich verwirrt: Das Buch behauptet (ohne Begründung), dass die Kollisionen des Balls mit dem Flugzeug dem Reflexionsgesetz gehorchen.

Um zu sehen, warum dies (für mich) keinen Sinn ergibt, nehmen wir ein einfaches Beispiel.

Ball bewegt sich in 2 Dimensionen, keine Schwerkraft

Stellen Sie sich eine Kugel vor, die sich reibungsfrei in der horizontalen Ebene bewegt und in einem Einfallswinkel auf eine Wand trifft a und Geschwindigkeit v 0 . Nehmen wir unseren Referenzrahmen, um die Wand entlang zu haben j -Achse und die Kugel nähert sich der Wand von positiv X Richtung.

Während einiger kleiner Zeit Δ T , der Ball übt einen Impuls auf den Ball aus und der Impulsvektor wird parallel zu sein X -Achse, ins Positive zeigend X Richtung. Also während der Zeit δ T es wirken keine Kräfte auf die Kugel in der j -Richtung, und somit bleibt der Impuls in dieser Richtung erhalten.

Nehmen wir an, der Ball prallt mit einer neuen Geschwindigkeit von der Wand ab v 1 , und lass e = v 1 / v 0 sei der Restitutionskoeffizient der Kollision. Beachten Sie, dass e = 1 wenn der Stoß vollkommen elastisch ist.

Jetzt seit Schwung in der j -Richtung bleibt erhalten, der Reflexionswinkel β befriedigen muss M v 0 Sünde ⁡ ( a ) = M v 1 Sünde ⁡ ( β ) , oder Sünde ⁡ ( β ) = Sünde ⁡ ( a ) / e . Wenn wir voraussetzen, dass der Stoß vollkommen elastisch ist, haben wir a = β , das ist das berühmte Reflexionsgesetz. Aber im Allgemeinen gehorcht der Stoß nicht dem Reflexionsgesetz.

Ball auf schiefe Ebene gefallen

Kommen wir nun zu Teil 2 des Problems zurück und lassen Sie unseren Ball aus einiger Höhe auf eine schiefe Ebene fallen, die in der lebt X z Ebene mit Neigungswinkel a (Schwerkraft wirkt negativ z Richtung). Der Einfallswinkel ist somit ebenfalls a , und jetzt möchten wir den Reflexionswinkel berechnen β , wissend, dass der Restitutionskoeffizient der Kollision ist e .

Das Problem ist jetzt, dass während der kleinen Zeit Δ T der Kollision überträgt die Schwerkraft einen Impuls von M G Sünde ⁡ ( a ) Δ T in der Richtung parallel zur Oberfläche der Neigung. Somit M G Sünde ⁡ ( a ) Δ T = v 1 cos ⁡ ( β ) − v 0 cos ⁡ ( a ) = v 0 ( e cos ⁡ ( β ) − cos ⁡ ( a ) ) . Leider wissen wir es nicht Δ T , so weit ich sehen kann, gibt es nicht genügend Informationen, um festzustellen β .

Ist das Buch also falsch? Und wie würden wir den Reflexionswinkel an einer schiefen Ebene berechnen?

PS Entschuldigung für die ausführliche Frage

-1. Unklar. Das ist verwirrend und ohne Diagramm schwer nachzuvollziehen. Auch wie funktioniert Δ T verschwinden in der 1. situation aber nicht in der 2.?
Ich denke, es ist sehr klar, dass ich alles im Detail erklärt habe, man muss nur lesen, was geschrieben steht. Es ist nicht so, dass Delta t in der ersten Situation verschwindet, sondern dass es für die Berechnung des Einfallswinkels irrelevant ist, weil wir nur brauchen, dass der Impuls erhalten bleibt.

Antworten (2)

Das Reflexionsgesetz gilt nur, wenn der Stoß elastisch ist und sich das Objekt, auf das die Kugel trifft, nicht bewegt. Wenn der Stoß nicht elastisch ist, dann ist die senkrechte Geschwindigkeitskomponente danach kleiner als vorher, während die parallele Komponente gleich ist. Also wann e < 1 der Reflexionswinkel ist größer als der Einfallswinkel.

Das kollidierende Objekt muss sehr viel massiver sein als der Ball, damit es sich nicht bewegt. Beim Stoß bleibt der Impuls erhalten, sofern der Impuls beider Objekte berücksichtigt wird. Wenn der Ball beispielsweise auf einen Keil fällt, der frei horizontal gleiten kann, und von diesem abprallt, erhöht der Rückstoß des Keils die horizontale Komponente der Geschwindigkeit des Balls.

Reibung und der Spin des Balls wirken sich ebenfalls auf den Reflexionswinkel aus. Während einer endlichen Kollisionszeit verringert die Reibung die parallele Geschwindigkeitskomponente. Der Spin des Balls beeinflusst, ob es während der Kollision eine relative Bewegung zwischen dem Ball und der Ebene gibt.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein
Wenn die Ebene fixiert ist, sind es die senkrechten und parallelen Komponenten nach dem Stoß e v 0 cos ⁡ ich , v 0 Sünde ⁡ ich Wo ich = θ , also ist der Reflexionswinkel gegeben durch
bräunen ⁡ R = v 0 Sünde ⁡ ich e v 0 cos ⁡ ich = 1 e bräunen ⁡ ich .

Wenn die Ebene ein Keil ist, der horizontal gleiten kann, können wir den Impuls horizontal erhalten: M v 1 Sünde ⁡ ( ich + R ) = M U .
Die relative Annäherungsgeschwindigkeit entlang der Senkrechten ist wieder v 0 cos ⁡ ich . Die relative Geschwindigkeit der Trennung ist v 1 cos ⁡ R + U cos ⁡ ich . Wenden Sie das Restitutionsgesetz an:
v 1 cos ⁡ R + U cos ⁡ ich = e v 0 cos ⁡ ich .
Die relative Annäherungsgeschwindigkeit entlang der parallelen Richtung ist anfangs v 0 Sünde ⁡ ich . Wenn zwischen Kugel und Keil keine Reibung besteht, bleibt diese Komponente beim Stoß erhalten, also
v 0 Sünde ⁡ ich = v 1 Sünde ⁡ R + U Sünde ⁡ ich .

Die letzten 3 Gleichungen können gelöst werden, um zu finden v 1 , R , U .

Was ist mit der Schwerkraft? Beeinflusst die Schwerkraft nicht die parallele Komponente der Geschwindigkeit, wie ich in den Fragendetails beschrieben habe?
Die Reaktionskräfte beim Aufprall sind in der Regel viel größer als das Gewicht des Balls, sodass letzteres meist vernachlässigt werden kann.

Wenn die Oberfläche glatt ist

Der Ball rutscht dabei den Abhang hinunter Δ T .
Die Beschleunigung aufgrund von G wird nicht nur weiterhin parallel zum Hang aufgebracht, sondern die Komponente der Aufprallgeschwindigkeit des Balls parallel zum Hang bleibt durch die Reflexion unverändert.

Mit Reibung

"Wenn es nicht gleitet, dreht es sich."
Der Gleiteffekt kann in der Praxis nur auftreten, wenn die Bedingungen ausreichend sind, um die Reibung aufzuheben. Diese ist abhängig von den Oberflächenmaterialien, dem Anstellwinkel am Hang sowie der Aufprallgeschwindigkeit.
Wenn die Reibung nicht überwunden wird, wird eine Rotation induziert.

Der Impuls der Kollision verformt tatsächlich sowohl die Oberfläche als auch den Ball, aber wenn es sich um harte / reibungsarme Objekte handelt, kann dies ein vernachlässigbarer Effekt sein und ist daher (eher wie der Luftwiderstand) für viele Zwecke in Ordnung Fragen zum Kollisionstyp.

Insbesondere bei weichen oder sehr elastischen Bällen ist der Reibungseffekt zu beobachten, da sie länger Kontakt halten. Wenn zum Beispiel ein "Hüpfball" senkrecht auf einen Hang fallen gelassen wird, hat er nach dem Aufprall etwas Spin. bei solchen Kollisionen können Spinenergie und kinetische Energie ausgetauscht werden.
Genauso wie kinetische Energie in eine Richtung umgekehrt werden kann, kann der Spin umgekehrt werden, wenn die Bedingungen stimmen, z. B. wenn die Reibung hoch genug ist.

Dies beantwortet meine Frage nicht und hängt nur tangential mit den Details zusammen, die ich im Fragetext angegeben habe. Meine Frage ist die im Titel.
Bist du dir sicher? Δ T ist die Kontaktzeit. Nein, das Reflexionsgesetz gilt nicht, es ist eine Annäherung; oft ausreichend genau.
Aber du sprichst von Reibung. Selbst wenn keine Reibung angenommen wird (wie ich in den Fragendetails sagte, keine Kräfte in horizontaler Richtung), gilt das Reflexionsgesetz (meiner Meinung nach) nicht unbedingt. Sie gilt genau dann, wenn der Stoß vollkommen elastisch ist.
Oh, das ist etwas anderes, ich habe meiner Antwort mehr hinzugefügt (es passt hier nicht hinein)
Gilt das Reflexionsgesetz für unelastisch auf schiefe Ebenen springende Kugeln?
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