Enthält die tatsächliche Krümmung der Raumzeit Energie?

Dem Gravitationsfeld kann zwar eine Energie zugeordnet werden. Unglücklicherweise, während Sie beispielsweise für das EM-Feld eine Energiedichte an einem Punkt definieren können ($\bf{E}^2+\bf{B}^2$), für das Gravitationsfeld geht das nicht. - Wie auch immer Sie die Energie in Bezug auf die Christoffel-Symbole definieren, Sie stoßen auf das Problem, dass Sie sie und damit die Energie an einem Punkt verschwinden lassen können, indem Sie einen geeigneten Rahmen wählen.

Die Leute haben sich also nicht lokale Energiedefinitionen für das Gravitationsfeld ausgedacht – ADM-Energie, Bondi-Energie usw., die alle die Integration über Raumzeitregionen beinhalten.

Es ist hilfreich, sich eine andere einfachere klassische Feldtheorie anzusehen, den Elektromagnetismus. Der Elektromagnetismus hat Gleichungen dafür, wie sich elektromagnetische Felder mit der Zeit ändern, sie sind ziemlich einfach im Vergleich zur allgemeinen Relativitätstheorie, nämlich

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E.$$

Das bedeutet, dass es natürlich ist, dass die Raumzeit voll von elektromagnetischen Feldern ist, aber sie müssen sich zeitlich auf eine bestimmte Weise entwickeln, basierend auf dem, was sie gerade sind. Und für bestimmte Konfigurationen ändern sie sich nicht mit der Zeit.

Das gleiche mit der Schwerkraft. Anstelle eines elektromagnetischen Feldes haben Sie eine Metrik und anstelle von

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E$$ Ihnen sagen, wie Sie sich in einem Vakuum entwickeln können, haben Sie die Gleichung $G=0$Dies ist eine Gleichung zweiter Ordnung (und nichtlinear). Daher ist es nicht einfach, etwas so Einfaches wie die zeitliche Ableitung der 16 Komponenten der Metrik zu isolieren, und es wäre sowieso eine zweite Ableitung.

Aber die Schlussfolgerungen sind die gleichen. Es ist selbstverständlich, dass die Raumzeit auch im Vakuum voller sich ändernder Metriken ist, sie muss sich nur auf eine bestimmte Weise entwickeln. Viele analoge Dinge gelten. Es gibt elektromagnetische Wellen, die durch das Vakuum gehen, es gibt Gravitationswellen, die durch das Vakuum gehen. Es gibt einen natürlichen Weg für metrische und elektromagnetische Felder, sich im Laufe der Zeit in einem Vakuum zu entwickeln. Und es ist selbstverständlich, dass sie dabei sind.

Aber wenn elektrischer Strom fließt, muss sich das elektromagnetische Feld anders entwickeln. Es entwickelt sich gem

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}\vec \nabla \times \vec B-\frac{1}{\epsilon_0}\vec J, \text{ and }\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec \nabla \times \vec E.$$

Wenn Sie also einen Strombereich haben, z. B. eine Stromschicht, können Sie eine Lösung für beide Seiten der Schicht zusammennähen, die normalerweise nicht zusammenpassen würden. Dasselbe passiert mit der Schwerkraft.

Sie können die Vakuumgleichung lösen$G=0$wie der Minkowski-Raum in einer kugelförmigen Region mit einem Radius von 10.000 km. Dann können Sie eine andere Lösung für die Vakuumgleichung nehmen$G=0$wie die Schwarzschild-Lösung mit Parameter$M=M_\oplus$und schneiden Sie sie entlang der Kugeloberfläche$4\pi(10,000km)^2$und nähe sie zusammen. Normalerweise würden sie nicht zusammenpassen und trotzdem eine Lösung sein$G=0.$Und tatsächlich die Berechnung von$G$beinhaltet einige zweite Ableitungen der Metrik und ergibt einen Wert ungleich Null$G$direkt an dieser Oberfläche. Aber das ist in Ordnung, denn so wie Elektromagnetismus Dinge zusammennähen könnte, wenn dort Strom vorhanden ist, kann die Schwerkraft Lösungen zusammennähen, wenn dort Stressenergie vorhanden ist. Sie müssen also nur etwas Energie auf die Kugelschale zwischen den beiden Regionen aufbringen, genau die richtige Menge, aber das ist alles, was es braucht.

Die Krümmung außerhalb der Kugelschale existiert also gut für sich. Tatsächlich ist es genau die Art von Krümmung, die sich in sich selbst entwickelt, es ist ein statisches Feld (als ob Sie ein gleichmäßiges und konstantes elektrisches Feld hätten, es könnte einfach da sitzen und sich selbst im leeren Raum befinden), also ist die Krümmung außerhalb der Hülle in sich selbst entwickeln kann. Ebenso hat die Krümmung auf der Innenseite (keine) eine Metrik, die sich vollständig in sich selbst entwickeln kann. Wenn also die Energie an Ort und Stelle bleiben kann, wie eine riesige Hülle aus Legosteinen, die sich selbst zusammenhält, dann kann alles für immer gut dort bleiben.

Aber das erklärt nicht, woher die Krümmung kommt. Wir haben gerade eine Situation beschrieben, in der die Zukunft wie die Vergangenheit ist, die genauso ist wie die Gegenwart, nur weil sie perfekt dafür eingerichtet wurde.

Machen wir etwas Krümmung!

Beginnen Sie mit einer kugelförmigen Hülle aus Materie. Haben Sie eine Schwarzschild-Metrik (gekrümmt) im Bereich außerhalb der Schale und eine Minkowski-Metrik (ungekrümmt) im Bereich innerhalb der Schale. Sie müssen genau die richtige Menge an Energiedichte auf der Hülle haben, um dies zu tun, nehmen Sie an, dass Sie dies tun. Aber dieses Mal kann sich die Materie auf der dünnen Hülle nicht selbst zusammenhalten, also fällt alles in Richtung Zentrum. Was ist anders? Die Scherspannung ist geringer und die Materie kann nach innen zur Mitte hin fallen. Wenn es fällt, wird die Region auf der äußersten Oberfläche gezwungen, sich auf die Vakuum-Weise zu entwickeln, anstatt auf die Hier-gibt-etwas-Energiedichte-Weise, und wir wissen, was das ist, da die Schwarzschild-Metrik außerhalb genau die Art ist als sich selbst zu machen, so wird mehr Schwarzschild dort produziert, wo die äußerste Oberfläche sein sollte. Gleiches gilt für die innerste Oberfläche, die neue Materie dort überführt die Minkowski-Metrik in die Schwarzschild-Metrik, weil es genau die richtige Menge an Energiedichte (für diesen Ort) ist, um die Metrik von einer zur anderen zu ändern, denn so viel Energie Dichte, die wir dort platziert haben (technisch gesehen gibt es etwas mehr Energie, da sie fällt, aber magischerweise ist das genau die Menge an Energiedichte, die Sie am neuen Ort benötigen, um zwischen den beiden zu wechseln). Und das funktioniert, weil die Einschränkung, wie sich die Krümmung entwickelt, genau das ist, was Sie brauchen, um mit der Entwicklung von Materie konsistent zu sein. Diesen Teil richtig zu machen, ist eigentlich das, womit Einstein seine Zeit verbracht hat. Die neue Materie dort überführt die Minkowski-Metrik in die Schwarzschild-Metrik, weil es genau die richtige Menge an Energiedichte (für diesen Ort) ist, um die Metrik von einer zur anderen zu ändern, denn so viel Energiedichte setzen wir dort ein (technisch gibt es etwas mehr Energie, da es fällt, aber magischerweise ist das genau die Menge an Energiedichte, die Sie am neuen Ort benötigen, um zwischen den beiden zu wechseln). Und das funktioniert, weil die Einschränkung, wie sich die Krümmung entwickelt, genau das ist, was Sie brauchen, um mit der Entwicklung von Materie konsistent zu sein. Diesen Teil richtig zu machen, ist eigentlich das, womit Einstein seine Zeit verbracht hat. Die neue Materie dort überführt die Minkowski-Metrik in die Schwarzschild-Metrik, weil es genau die richtige Menge an Energiedichte (für diesen Ort) ist, um die Metrik von einer zur anderen zu ändern, denn so viel Energiedichte setzen wir dort ein (technisch gibt es etwas mehr Energie, da es fällt, aber magischerweise ist das genau die Menge an Energiedichte, die Sie am neuen Ort benötigen, um zwischen den beiden zu wechseln). Und das funktioniert, weil die Einschränkung, wie sich die Krümmung entwickelt, genau das ist, was Sie brauchen, um mit der Entwicklung von Materie konsistent zu sein. Diesen Teil richtig zu machen, ist eigentlich das, womit Einstein seine Zeit verbracht hat. s genau die Menge an Energiedichte, die Sie am neuen Standort benötigen, um zwischen den beiden zu wechseln). Und das funktioniert, weil die Einschränkung, wie sich die Krümmung entwickelt, genau das ist, was Sie brauchen, um mit der Entwicklung von Materie konsistent zu sein. Diesen Teil richtig zu machen, ist eigentlich das, womit Einstein seine Zeit verbracht hat. s genau die Menge an Energiedichte, die Sie am neuen Standort benötigen, um zwischen den beiden zu wechseln). Und das funktioniert, weil die Einschränkung, wie sich die Krümmung entwickelt, genau das ist, was Sie brauchen, um mit der Entwicklung von Materie konsistent zu sein. Diesen Teil richtig zu machen, ist eigentlich das, womit Einstein seine Zeit verbracht hat.

Wenn sich also Materie bewegt, tut sie dies auf eine bestimmte Weise (eine Art und Weise, die Energie und Impuls auf lokale Weise erhält), was genau der Metrik im Vakuum um sie herum die Freiheit gibt, sich zu einer neuen Vakuummetrik in a zu entwickeln Weg, wie durch die Metrik in der Nähe und vorher bestimmt, genauso wie sich elektromagnetische Felder basierend auf den vorherigen Feldern und dem, was in der Nähe vor sich geht, ändern. Für die Schwerkraft ändert es sich auf eine Weise zweiter Ordnung, was bedeutet, dass es die Metrik ist und wie sich die Metrik ändert, das ist das aktuelle "Ding", und die Art der Entwicklung im Vakuum besteht darin, zu sagen, wie sich diese Änderungsraten ändern können. Und es ist insofern komplizierter, als Sie nicht einfach zwei Lösungen zusammenzählen können, um eine neue Lösung zu erhalten. Aber Stress und Energie sagen der Raumzeit nur, dass sie sich anders krümmen kann (und muss), als sie es normalerweise ohne Stress oder Energie tut. Dadurch kann es zwischen verschiedenen Arten wechseln, in denen es sich in einem Vakuum krümmen kann. Und erlaubt ihm, sich "auf dem Vakuumweg" zu verändern, wenn sich die Materie entfernt, und erlaubt ihm, sich zu etwas Neuem zu verändern (nicht auf dem Vakuumweg), wenn Materie hereinkommt.

Das ist wirklich los. Die Krümmung kann von selbst auftreten. Deshalb können Sie etwas weit entferntes umkreisen, die Krümmung hier draußen wurde vor langer Zeit gebildet, als die kollabierenden Teile sich weiter hineinbewegten als wir uns hineinbewegten. Also ließ die Galaxie den Raum hier draußen gekrümmt, als sich die Galaxie bildete, die Sonne gekrümmt die Sonne Als die Sonne entstand, verließ die Erde den Raum um die Erde gekrümmt, als die Erde entstand, und deshalb kann der Mond die Erde umrunden, während die Erde um die Sonne wandert, während die Sonne das galaktische Zentrum umkreist. Das ist auch der Grund, warum Sie außerhalb eines Schwarzen Lochs die Schwerkraft spüren können, das Objekt hat den Raum außerhalb seiner selbst gekrümmt, als es zusammenbrach, und jedes Stück einfallender Materie verlässt die Region auf der einen Seite anders als auf der anderen ... denn das ist es, was Materie tut.