Erraten, was eine einfache partielle Differentialgleichung physikalisch beschreibt

Versuchen wir, die Gleichung in ungefährer Form endlicher Differenzen umzuschreiben :

$$\frac{A(x,t+\Delta t)-A(x,t)}{\Delta t} = C_3\frac{A(x+h,t)+A(x-h,t)-2A(x,t)}{h^2} +$$ $$+ C_2 \frac{v(x+h,t)A(x+h,t)-v(x-h,t)A(x-h,t)}{2h} + C_1 A(x,t)+C_0$$ Wo $\Delta t$-- ist ein Zeitschritt, und $h$- Leerschritt.
Der Ausdruck wird am Ende zu Ihrem PDE $\Delta t\to0, h\to0$.

Die linke Seite beschreibt, wie hoch die Menge ist$A$Änderungen während eines Zeitschritts an einem bestimmten Punkt (ich hoffe, das ist offensichtlich). Lassen Sie uns Term für Term sehen, was auf der rechten Seite steht:

• $C_3$: Wenn$A$ist an "benachbarten" Punkten insgesamt größer als im Punkt selbst:$A(x+h,t)+A(x-h,t)>2A(x,t)$Dann$A$wird bei zunehmen$x$. Sonst wird es weniger. Also der Begriff "Kräfte"$A$zu einer Art lokalem Gleichgewicht.
  Dies ist ein Standardbegriff zur Beschreibung verschiedener Diffusions- oder Wärmeverteilungsprozesse , die Ihr System zu einem gewissen Gleichgewicht zwingen.
• $C_2$: Hier muss man mit Schildern aufpassen. Lassen Sie uns anrufen$x+h$"der Punkt nach rechts" und$x-h$wird "der Punkt nach links". Wenn$v>0$dann "fließt es nach rechts" und wenn$v<0$es "fließt nach links". Jetzt überprüfen Sie, ob Ihr Fluss in Ihren Punkt geht$x$(sagen wir, fließt nach rechts vom Punkt nach links), dann steigt es an$A$bei$x$. Und nimmt ab, wenn der Fluss von Ihrem Punkt weggeht.
  Das ist ein Standardbegriff, der Dinge beschreibt, die mit dem Strom getragen werden$v$und normalerweise in Form von wesentlichen Derivaten abgeleitet
• $C_1$Und$C_0$: Diese beiden sind trivial, weil sie lokal sind.$C_0$gibt nur einen konstanten Beitrag zum Wachstum von$A$, Und$C_1$ändert (in Ihrem Fall hemmt) die Wachstumsrate proportional zum Wert von$A$.
  Sie können sie auch als lokale ODE für einen bestimmten Punkt verstehen:$\dot{a} = C_1a+C_0$

Um es zusammenzufassen: Lassen Sie uns das sagen$A(x,t)$beschreibt die Dichte von beispielsweise Bakterien in einem Röhrchen. Dann$C_3$beschreibt, wie sie sich ausbreiten,$C_2$beschreibt, wie sie von einem Strom getragen werden$v(x,t)$Flüssigkeit in der Röhre,$C_0$-- ist eine Wachstumsrate neuer Bakterien und schließlich$C_1$-- ist dafür verantwortlich, dass sich das Wachstum durch die Überbevölkerung verlangsamt.

Als Alternative zur Wärmeinterpretation von Christian Blatter$A$könnte die Konzentration von Partikeln beschreiben, die auf einer eindimensionalen Substratoberfläche (oder einer zweidimensionalen, bei der wir eine der Dimensionen ignorieren) adsorbiert sind.

• Neue Partikel werden mit einer Rate adsorbiert$C_0$pro Längeneinheit.
• Adsorbierte Partikel lösen sich schnell von der Oberfläche$-C_1$pro Teilchen.
• Die Partikel bewegen sich entlang der Oberfläche (oder die Oberfläche selbst bewegt sich) mit mittlerer Nettogeschwindigkeit$-C_2 v$.
• Während der Bewegung diffundieren die Partikel auch über die Oberfläche mit Diffusionskoeffizient$C_3$.

In jedem Fall beschreibt diese Gleichung die Dynamik einer Größe$A$Diffusion und Advektion über einen eindimensionalen Raum erfahren, während sie auch einer konstanten (dh nullten Ordnung) lokalen Akkumulation und einem Zerfall erster Ordnung unterliegen.

(Als mathematischer Ökologe war mein erster Gedanke, es als räumliches Populationsmodell zu interpretieren, aber es passt nicht wirklich gut zu dieser Interpretation: Es gibt kein$A^2$Begriff, der die lokale Dichteregulierung beschreiben könnte.)

Sie haben ein dünnes zylindrisches Rohr entlang der$x$-Achse, die mit etwas Dichtegas gefüllt ist$\rho(x,t)$. Die Temperatur des Gases ist$A(x,t)$, und das Gas bewegt sich zusammen mit dem "Massenstrom"$m(x,t):=\rho(x,t)v(x,t)$, Wo$v$bezeichnet die tatsächliche Geschwindigkeit einzelner Teilchen. (Der$\rho$fehlt in deiner Gleichung). Wärme wird durch Wärmeleitung und mittels Konvektion transportiert. Zusätzlich$x$-Achse ist ein elektrischer Draht, der Wärme mit konstanter Rate erzeugt, und an der Oberfläche der Röhre haben wir einen Wärmeverlust in Richtung des Weltraums, wobei letzterer eine Temperatur ist$0$.

Ihre Gleichung beschreibt die zeitliche Änderungsrate der Temperatur in einem „Längenelement“ an$x$zum Zeitpunkt$t$. Die einzelnen Terme auf der rechten Seite berücksichtigen die Beiträge von Leitung, Konvektion, Oberflächenverlust zum Weltraum und Erwärmung.

Das Vernachlässigen von Termen und das Lösen der Gleichung für idealisierte Anfangsbedingungen ist eine Möglichkeit, die Bedeutung der einzelnen Terme zu untersuchen.

$$∂_tA=C_3∂_x^2A+C_2∂_x(vA)+C_1 A+C_0$$

Legen Sie beispielsweise alle außer fest$C_0$auf Null und erhalten$A = C_0 t + A(x,0)$. Der Begriff mit$C_0$liefert die Menge dargestellt durch$A$mit konstanter Rate. Es ist ein Quellbegriff.

Stellen Sie alle aber ein$C_1$auf Null und erhalten$A = A(x,0) e^{C_1 t}$. Dies ist eine Art nichtlinearer Quellterm --$A$wird in einer positiven Rückkopplungsrate proportional zu seiner Menge zugeführt.

Stellen Sie alle aber ein$C_2$auf Null und Sie finden$A = A(x,0)\delta(x-C_2 vt)$vorausgesetzt$v$ist konstant. Sie können für verallgemeinern$v$x-abhängig. Dies ist ein Advektionsbegriff, der die Bewegung beschreibt$A$bei Geschwindigkeit$C_2 v$.

Stellen Sie alle aber ein$C_3$auf Null und Sie finden die klassische Diffusionsgleichung. Hier ist die Lösung für eine Punktquellen-Anfangsbedingung etwa so$A(x,t) = \frac{1}{\sqrt{C_3 t}} e^{-x^2/(C_3 t)}$obwohl ich einige Konstanten falsch habe. Dies beschreibt eine Tendenz zum "Ausbreiten" oder Verschmieren aufgrund unterschiedlicher Transporteigenschaften zwischen Komponenten von$A$.

Um es kurz zu machen, Sie haben Diffusion mit Diffusivität$C_3$, Advektion mit Geschwindigkeit$C_2 v$, nichtlineare Versorgung mit Rate$C_1$, und konstante Versorgung mit Rate$C_0$.