Unterschied zwischen und Diffusions- und Wärmegleichungen?

Question

Unterschied zwischen und Diffusions- und Wärmegleichungen?

Physik
Diffusion
Thermodynamik
Differentialgleichung

Kama

Ich habe überall gelesen, dass Diffusions- und Wärmegleichungen ähnlich sind. Für beide können die gleichen Differentialgleichungen gelöst werden.

Stellen Sie sich eine endliche eindimensionale Diffusion oder Wärmeübertragung vor, bei der ein Ende isoliert ist und das andere Ende mit einem konstanten Fluss gehalten wird.

Die Randbedingungen sind für Diffusion oder Wärmeübertragung gleich: Der Fluss ist an einem Ende Null und am anderen konstant.

\frac{\partial u}{\partial X} = C; X = 0

$\frac{\partial u}{\partial x} = C; x = 0$

\frac{\partial u}{\partial X} = 0; X = l

$\frac{\partial u}{\partial x} = 0; x = l$

und der Anfangszustand von

u (X, 0) = 0 | | u (X, 0) = K

$u(x,0) = 0\ ||\ u(x,0) = K$ Dies kann ein beliebiger konstanter Wert sein (Anfangskonzentration oder -temperatur).

Bei Wärmeübertragung kann die Temperatur unbegrenzt ansteigen. Aber bei der Diffusion gibt es eine Kapazitätsgrenze.

Wie sind die Diffusions- und Wärmegleichungen für diese Randbedingungen zu lösen? Ist die Lösung in beiden Fällen gleich?

Ryan Unger

Warum gibt es eine Kapazitätsgrenze für die Diffusion?

Kama

@ ocelo7 Wenn eine Art in ein Medium diffundiert, ist die Konzentration gesättigt. Aber die Temperatur kann ewig steigen. Bei Diffusion gibt es eine Volumengrenze, nicht aber bei Wärme. Beachten Sie, dass das System geschlossen ist.

Ryan Unger

Da spricht Physik. Was Sie hier gegeben haben, ist eine reine mathematische Frage. Sie brauchen etwas anderes in Ihrer Gleichung, um eine Sättigungsgrenze zu berücksichtigen.

Gert

Eine ausführliche Behandlung der 1D-Diffusion finden Sie hier: sciencemadness.org/talk/… . Die Diffusions- und Wärmegleichungen sind tatsächlich sehr ähnlich und beide werden mittels Separation of Variables gelöst.

Kyle Kanos

Verwandte, wenn nicht ein Betrüger: physical.stackexchange.com/q/165928/25301

Kama

@ocelo7 meine Frage hat nichts mit Mathe zu tun, es ist reine Physik. Ich frage, wie sich die Randbedingungen für Diffusion und Wärme (als physikalische Phänomene) unterscheiden sollten. Math unterscheidet Diffusion und Wärme nicht und löst die Gleichung durch die Randbedingungen.

Kama

@KyleKanos Ihre Antwort bezieht sich auf das mögliche nichtlineare Verhalten des Diffusionskoeffizienten. Meine Frage bezieht sich auf die Obergrenze. Wenn der Gradient durch einen konstanten Fluss gebildet wird, gibt es eine Konzentrationsgrenze, aber keine Temperaturgrenze.

Kyle Kanos

@Kama: Zur Körperfrage wäre es einfach verwandt. zur Titelfrage, es ist ein exaktes Duplikat.

Kyle Kanos

Beachten Sie jedoch, dass ich nicht dafür gestimmt habe, dies als Duplikat zu schließen. Ich habe die Frage nur in meinem Kommentar verlinkt .

Kama

@KyleKanos danke, dass du mich auf diese Antwort aufmerksam gemacht hast. Obwohl es keine Antwort auf meine Frage ist, hängt es mit dem Konzept zusammen, das ich zu verstehen versuche. Es war nützlich!

JMac

Ich habe nur die Wärmeübertragungsseite wirklich studiert, aber anekdotisch war das Lehrbuch, das ich verwendet habe, eigentlich für "Wärme- und Stoffübertragung", weil die Wärmeübertragungsgleichungen am Ende ein so ähnliches Format wie die Stoffübertragungsgleichungen haben.

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Unterschied zwischen und Diffusions- und Wärmegleichungen?

@ ocelo7 Wenn eine Art in ein Medium diffundiert, ist die Konzentration gesättigt. Aber die Temperatur kann ewig steigen. Bei Diffusion gibt es eine Volumengrenze, nicht aber bei Wärme. Beachten Sie, dass das System geschlossen ist.
Da spricht Physik. Was Sie hier gegeben haben, ist eine reine mathematische Frage. Sie brauchen etwas anderes in Ihrer Gleichung, um eine Sättigungsgrenze zu berücksichtigen.
Eine ausführliche Behandlung der 1D-Diffusion finden Sie hier: sciencemadness.org/talk/… . Die Diffusions- und Wärmegleichungen sind tatsächlich sehr ähnlich und beide werden mittels Separation of Variables gelöst.
Verwandte, wenn nicht ein Betrüger: physical.stackexchange.com/q/165928/25301
@ocelo7 meine Frage hat nichts mit Mathe zu tun, es ist reine Physik. Ich frage, wie sich die Randbedingungen für Diffusion und Wärme (als physikalische Phänomene) unterscheiden sollten. Math unterscheidet Diffusion und Wärme nicht und löst die Gleichung durch die Randbedingungen.
@KyleKanos Ihre Antwort bezieht sich auf das mögliche nichtlineare Verhalten des Diffusionskoeffizienten. Meine Frage bezieht sich auf die Obergrenze. Wenn der Gradient durch einen konstanten Fluss gebildet wird, gibt es eine Konzentrationsgrenze, aber keine Temperaturgrenze.
@Kama: Zur Körperfrage wäre es einfach verwandt. zur Titelfrage, es ist ein exaktes Duplikat.
Beachten Sie jedoch, dass ich nicht dafür gestimmt habe, dies als Duplikat zu schließen. Ich habe die Frage nur in meinem Kommentar verlinkt .
@KyleKanos danke, dass du mich auf diese Antwort aufmerksam gemacht hast. Obwohl es keine Antwort auf meine Frage ist, hängt es mit dem Konzept zusammen, das ich zu verstehen versuche. Es war nützlich!
Ich habe nur die Wärmeübertragungsseite wirklich studiert, aber anekdotisch war das Lehrbuch, das ich verwendet habe, eigentlich für "Wärme- und Stoffübertragung", weil die Wärmeübertragungsgleichungen am Ende ein so ähnliches Format wie die Stoffübertragungsgleichungen haben.

Gert · Answer 1

Sie werden beide mittels Separation of Variables gelöst .

Angenommen, wir suchen nach einer Funktion der Form $u(x,t)$ das erfüllt:

\frac{\partial u}{\partial T} = a \frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}}

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

Und erfüllt einige Randbedingungen.

Nehmen Sie an, die Funktion sei das Produkt zweier Funktionen: $X(x)$ Und $T(t)$ :

u (X, T) = X (X) T (T)

$u(x,t)=X(x)T(t)$

In die ursprüngliche PDE einfügen:

X (X) T^{'} (T) = a T (T) X^{″} (X)

$X(x)T'(t)=\alpha T(t)X''(x)$ Teilen Sie beide Seiten durch

X (x) T (t)

$X(x)T(t)$ , umstellen und einen Trennfaktor einführen

- λ^{2}

$-\lambda^2$ :

\frac{1}{a} \frac{T^{'}}{T} = \frac{X^{″}}{X} = - λ^{2}

$\frac{1}{\alpha}\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda^2$ Wir haben jetzt zwei ODEs:

\frac{X^{″}}{X} = - λ^{2}

$\frac{X''}{X}=-\lambda^2$ Und:

T^{'} + a λ^{2} T = 0

$T'+\alpha \lambda^2T=0$

Für $X(x)$ wir bekommen:

X (X) = A Sünde (λ X) + B \cos (λ X)

$X(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)$

Dies wird gelöst, indem die Eigenwerte von gefunden werden $\lambda$ , unter Verwendung der Randbedingungen ( Beispiel ).

Mit den Eigenwerten von $\lambda$ die zweite ODE für $T(t)$ lässt sich auch leicht lösen:

T (T) = C_{1} e^{- a λ^{2} T}

$T(t)=C_1e^{-\alpha \lambda^2t}$

Eine dritte Randbedingung für den Anfangszustand $u(x,0)$ wird auch benötigt, um alles zusammenzusetzen.

Sie können die vollständige Herleitung hier finden (die ich vor einiger Zeit geschrieben habe), angewendet auf eine 1D ( $x$ ) Diffusionsproblem.

Ob die Lösungen der Wärmegleichung und der Diffusionsgleichung gleich (oder zumindest ähnlich in der Form, abgesehen von den Materialkonstanten) sind, hängt von Rand- und Anfangsbedingungen ab.

Die Randbedingungen, die ich im verlinkten Beispiel verwendet habe, ergeben Eigenwerte für $\lambda$ ohne besondere Probleme.

\frac{\partial u}{\partial X} = 0 bei X = 0, X = L

$\frac{\partial u}{\partial x}=0\:\text{at } x=0, x=L$

Eine gute Diskussion über verschiedene Arten von Randbedingungen und die Konsequenzen für die Wärmegleichung finden Sie hier .

Ein weiterer Satz von Randbedingungen, wie in den Kommentaren vorgeschlagen, könnte sein:

(\frac{\partial u}{\partial X})_{X = l} = 0

$\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)_{x=l}=0$

u (0, T) = C

$u(0,t)=C$

Dies entspricht einem auf konstante Temperatur erhitzten Stab $C$ an einem Ende und am anderen Ende isoliert.

Zuerst machen wir eine Transformation der Temperatur, indem wir definieren:

u = u_{R e A l} - C

$u=u_{real}-C$

Das bedeutet dann, dass das zweite BC homogen wird, immer wünschenswert:

u (0, T) = 0

$u(0,t)=0$

Am Ende unserer Mühe finden wir einfach:

u_{R e A l} (X, T) = u (X, T) + C

$u_{real}(x,t)=u(x,t)+C$

Mit dem zweiten BC: $u(0,t)=0$ :

X (0) T (T) = 0

$X(0)T(t)=0$

Annehmen $T(t)\neq 0$ , Dann:

X (0) = 0

$X(0)=0$

A Sünde (λ 0) + B \cos (λ 0) = 0

$A\sin(\lambda 0)+B\cos(\lambda 0)=0$

⟹ B = 0

$\implies B=0$ Und:

X (X) = A Sünde (λ X)

$X(x)=A\sin(\lambda x)$

Mit dem ersten BC, $u_x(l)=0$ :

X^{'} (l) T (T) = 0

$X'(l)T(t)=0$

Annehmen $T(t)\neq 0$ :

A \cos (λ l) = 0

$A\cos(\lambda l)=0$

Vorausgesetzt $A\neq 0$ , Dann:

λ l = \frac{N π}{2}

$\lambda l=\frac{n\pi}{2}$

Unsere Eigenwerte werden also:

λ_{N} = \frac{N π}{2 l}

$\lambda_n=\frac{n\pi}{2l}$

Für $n=1,2,3,...$

Die Funktionen $X_n(x)$ Sind:

X_{N} (X) = A_{N} Sünde (\frac{N π X}{2 l})

$X_n(x)=A_n\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$

Also haben wir:

u_{N} (X, T) = A_{N} e^{- (\frac{N π}{2 l})^{2} a T} Sünde (\frac{N π X}{2 l})

$u_n(x,t)=A_ne^{-\Big(\frac{n\pi}{2l}\Big)^2\alpha t}\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$

Und nach dem Superpositionsprinzip:

u (X, T) = \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} e^{- (\frac{N π}{2 l})^{2} a T} Sünde (\frac{N π X}{2 l})

$u(x,t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\Big(\frac{n\pi}{2l}\Big)^2\alpha t}\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$

In Bezug auf die Notwendigkeit einer Anfangsbedingung $u(x,0)$ , sollte es ziemlich selbstverständlich sein, dass wir, wenn wir nach der zeitlichen Entwicklung der Temperatur- oder Konzentrationsverteilung suchen, wissen müssen , wo diese Verteilung war $t=0$ . Das ist ungefähr so, als würde man wissen wollen, wo ein Auto mit hoher Geschwindigkeit fährt $v(t)$ wird zur Zeit sein $t$ : Wir müssen wissen, wo es war $t=0$ , sonst kann die Frage keine eindeutige Antwort haben.

In unserem Problem die Anfangsbedingung $u(x,0)=f(x)$ wird verwendet, um die Koeffizienten zu bestimmen $A_n$ . Bei $t=0$ die Exponentialfaktoren fallen alle weg und wir erhalten:

u (X, 0) = F (X) = \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} Sünde (\frac{N π X}{2 l})

$u(x,0)=f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$

Die Koeffizienten werden durch Fourier bestimmt, aus:

A_{N} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} F (X) Sünde (\frac{N π X}{2 l}) D X

$A_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)dx$

Denken Sie daran, dass am Ende von all dem:

u_{R e A l} (X, T) = u (X, T) + C = C + \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} e^{- (\frac{N π}{2 l})^{2} a T} Sünde (\frac{N π X}{2 l})

$u_{real}(x,t)=u(x,t)+C=C+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\Big(\frac{n\pi}{2l}\Big)^2\alpha t}\sin\Big(\frac{n\pi x}{2l}\Big)$

Wie ändert sich der Anfangszustand bei Diffusion und Wärme? Stell dir das vor $u(x,0)=0$ . Das bedeutet, dass die Konzentration im Diffusionsfall null und die Temperatur null (keine Wärme) im Wärmefall ist. In der von Ihnen verlinkten allgemeinen Lösung ist der Schlüsselschritt das Finden $f(x)$ . Wie definierst du $f(x)$ mit den obigen beiden Randbedingungen und dieser Anfangsbedingung? Wie funktioniert $f(x)$ ist für Diffusion und Wärme unterschiedlich?
@Kama: weil wir nach der zeitlichen Entwicklung von suchen $u$ , dh $u(x,t)$ Wir müssen die ursprüngliche Form von kennen $u(x,t)$ , dh $u(x,0)=f(x)$ . Ich habe zwei Beispiele für ein Praktikum gegeben $f(x)$ , hier: sciencemadness.org/talk/… . Wie diese definiert werden, ergibt sich aus der physikalischen Realität, die das Problem darstellt. Aber wann immer Zeit in ein Problem involviert ist, wird ein anfängliches ( $t=0$ ) Bedingung ist für eine vollständige Lösung erforderlich. Dies gilt auch für Hitzeprobleme. Dies gilt auch für Zeitentwicklungsprobleme, die nur von der Zeit abhängen, wie z. B. das Newtonsche Abkühlungsgesetz.
Auch erläutert, warum Ihre gewählten Randbedingungen schwierig zu verwenden sind.
Entschuldigung, das war mein Tippfehler. Die Randbedingungen sind fließend und sollten es auch sein $\frac{\partial u}{\partial x}$ nicht $t$ .
$u_x(l)=0$ (Kurzschreibweise) Sinn: Das wäre ein am Ende isolierter Stab. Aber $u_x(0)=C$ scheint mir nicht praktikabel: Wie erzwingt man einen konstanten Fluss? Besser könnte einfach sein $u(0,t)=C$ : konstante Temperatur am anderen Ende.
Es ist kaum "selbstverständlich", dass es nicht ausreicht, u(0,t) und u(l,t) für alle t zu kennen.
@Akkumulation: 'Es ist kaum "selbstverständlich", dass es nicht ausreicht, u(0,t) und u(l,t) für alle t zu kennen' . Nein, aber das habe ich auch nicht geschrieben. Ich schrieb : „Es sollte ziemlich selbstverständlich sein, dass wir, wenn wir nach der zeitlichen Entwicklung der Temperatur- oder Konzentrationsverteilung suchen, wissen müssen, wo diese Verteilung war $t=0$ ' . Du hast einen Strohmann erschaffen.
@Gert warum $u_x(0)=C$ ist nicht praktikabel? Ist das nicht die klassische Neumann-Randbedingung? Konstante Temperatur ist die Dirichlet-Grenze, richtig? Also, was ist ungewöhnlich für das Lösen der Gleichung mit der Neumann-Randbedingung von $u_x(0) = C$ ?
Wenn Sie etwas wissen müssen, dann muss es nicht ausreichen, etwas anderes zu wissen. Es ist kein Strohmann, sich mit einer grundlegenden Analyse Ihrer Worte zu beschäftigen.
@Kama: Nur weil es ein klassischer Neumann ist, ist es nicht einfach. Sie sollten es selbst versuchen. Sie werden das finden, es sei denn $C=0$ Es gibt keinen einfachen Weg, die Eigenwerte zu finden $\lambda_n$ . Nun, es kann einen Weg geben, den ich nicht kenne, oder dieser Zustand könnte gut mit einer anderen Art von PDE funktionieren. Ich weiß offensichtlich nicht alles. Ich denke auch, dass BC ein bisschen gekünstelt ist: Wie erzwingt man in praktischen Situationen einen konstanten Fluss?
@Gert Das Beispiel des konstanten Flusses ist bei Diffusion sehr häufig. Betrachten Sie zum Beispiel das Füllen einer Gasflasche mit einer konstanten Durchflussrate.
@Kama: Das ist nicht wirklich Diffusion. Sie würden Ficks Gesetze für dieses Problem nicht verwenden (sie gehen von konstantem Druck aus). Und wie würden Sie den Fluss im Falle eines thermischen Diffusionsproblems steuern? Nein, tut mir leid, aber eine konstante Konzentration oder Temperatur bei $x=0$ ist ein viel realistischeres BC.
@Kama: Diffusion geht davon aus, dass ein gelöster Stoff in ein Lösungsmittel gemischt wird. Das Füllen eines Behälters mit Gas ist nicht zulässig.
@Gert es ist Diffusion, der Zylinder ist zunächst mit Luft gefüllt. Erwägen Sie das Einspritzen von Tinte in eine Flüssigkeit mit konstantem Fluss. Ein greifbareres Beispiel ist das Einspritzen von Wasser mit einem konstanten Fluss in einen Schwamm.
@Kama: Ich gebe auf. Das führt nirgendwo hin. Alles Gute! Ich habe meinen Beitrag geleistet, wie es scheint, ohne Erfolg. Andere könnten mehr Verdienst in meinen Antworten sehen.

Benutzer115350 · Answer 2

Ihre Beobachtung ist gut und richtig: Sie sind gleich. Beide sind Diffusionen; einer diffundiert Material und der andere diffundiert Wärme.

Die von Ihnen erwähnte Grenze gilt auch für die Wärmeübertragung, wenn Sie eine feste Temperatur als Randbedingungen verwenden. die Temperatur kann nicht höher sein als ihre Grenztemperatur.

Für die Diffusion können Sie keine unendlich hohe Konzentration einer Spezies anwenden. Die Grenze liegt also nicht an der Gleichung, sondern am Randwert.

Die Ähnlichkeiten zwischen den beiden Prozessen wurden von unseren Vorfahren erkannt. Deshalb sehen wir manchmal Schmidt-Zahlen und Prandtl-Zahlen, mit denen Sie, Sie kennen einen Prozess, den anderen erhalten können, ohne die Differentialgleichungen zu lösen.

Beachten Sie, dass die Randbedingung keine zu begrenzende feste Temperatur ist. Die Randbedingung ist ein konstanter Fluss. Somit gibt es keine Temperaturbegrenzung in den Randbedingungen.
Der Wärmefluss ergibt sich aus dem Temperaturgradienten und wird schließlich durch die Temperatur bestimmt. Obwohl Sie der Gleichung jeden Fluss numerisch hinzufügen und unbegrenzt hohe Temperaturen erhalten können, müssen Sie zweimal über den Fluss nachdenken, wie und wo er sich bildet.

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