Advektion-Diffusion mit periodischen Randbedingungen und Neigung

Question

Advektion-Diffusion mit periodischen Randbedingungen und Neigung

Physik
Topologie
Diffusion
Kontinuumsmechanik
Statistische Mechanik
Differentialgleichung

Quilo

Kontext: Betrachten Sie die Advektions-Diffusions-Gleichung mit periodischen Randbedingungen (PBC) über einem flachen quadratischen Gebiet $L \times L$ . Die skalare Dichte $\rho$ wird durch ein vorgeschriebenes Feld transportiert $\mathbf{v}=-\nabla U$ , Wo $U(\mathbf{x})$ ist ein skalares Potential, das die von der PBC auferlegte Periodizität aufweist. Die Dichte $\rho$ entwickelt sich als

\partial_{T} ρ (X, T) = - \nabla \cdot [v (X) ρ (X, T) - \nabla ρ (X, T)] = 0

$\partial_t \rho(\mathbf{x},t) = -\nabla \cdot [ \mathbf{v}(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x},t) - \nabla \rho(\mathbf{x},t) ] = 0$

Die stationäre Lösung wird durch Auferlegen gefunden $\partial_t \rho(\mathbf{x},t) =0$ und hat die übliche Gibbs-Form:

ρ (X) \propto e^{- U (X)}

$\rho(\mathbf{x}) \, \propto \, e^{-U(\mathbf{x}) }$

Das Problem: Ich frage mich, wie ich den stationären Zustand in einem etwas allgemeineren Fall wo finden kann

v = - \nabla U + Q

$\mathbf{v} = -\nabla U + \mathbf{q}$

Das Potenzial $U$ hat die von der PBC auferlegte Periodizität und $\mathbf{q} =(q_x,q_y)$ ist ein konstantes Vektorfeld (die Konstante \mathbf{q} definiert die sogenannte "Neigung" des Potentials $U$ ). Die Gleichung, die wir lösen müssen, ist also

\nabla \cdot [ρ (X, j) Q - ρ (X, j) \nabla U (X, j) - \nabla ρ (X, j)] = 0

$\nabla \cdot [ \, \rho(x,y) \, \mathbf{q} - \rho(x,y) \nabla U(x,y) - \nabla \rho(x,y) \, ] = 0$

mit den periodischen Bedingungen $\rho(0,y) = \rho(L,y)$ , $\rho(x,0) = \rho(x,L)$ , $U(0,y) = U(L,y)$ , $U(x,0) = U(x,L)$ . Der Einfachheit halber habe ich versucht, den Fall zu betrachten $\mathbf{q}=(q,0)$ , aber das Problem scheint immer noch nicht trivial.

Frage: Irgendeine Idee oder Referenz zur Diffusions-Advektions-Gleichung in periodischen Randbedingungen (insbesondere zum stationären Zustand)? Welches ist in diesem Fall die "Gibbs-ähnliche Lösung"?

Weitere Überlegungen: Ich habe das Gefühl, dass das Finden einer Lösung nicht einfach ist, weil das "Neigungs"-Potenzial das Gleichfeld erzeugt $\mathbf{q}$ Ist $-\mathbf{x}\cdot \mathbf{q}$ . Dieser "Neigungs"-Beitrag macht das Gesamtpotential aus $U-\mathbf{x}\cdot \mathbf{q}$ nicht periodisch (dh es erfüllt nicht die PBC).

Definieren Sie außerdem den Gesamtstrom im stationären Zustand als

J (X, j) = ρ (X, j) [Q - \nabla U (X, j)] - \nabla ρ (X, j),

$\mathbf{J}(x,y) = \rho(x,y) \, [\mathbf{q} - \nabla U(x,y)] - \nabla \rho(x,y) \, ,$

damit wir die finden müssen $\mathbf{J}$ so dass

\nabla \cdot J = 0 \Rightarrow J = R \nabla G

$\nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{J} = R \nabla g$

Wo $R$ ist eine 90-Grad-Drehung und $g$ ist ein unbekanntes Skalarpotential. Beachten Sie, dass $g$ muss die PBC aber nicht respektieren $\mathbf{J}$ tut: (wahrscheinlich) die allgemeinste Form von $g$ Ist

G (X, j) = G (X, j) + A X + B j

$g(x,y) = G(x,y) + a x + b y$

Wo $G$ respektiert die PBC und $a$ Und $b$ sind Konstanten. Obwohl dieses Problem eher von Physikern untersucht wird, habe ich das Gefühl, dass das Problem eng mit der Topologie des 2D-Torus zusammenhängt , also habe ich auch eine ähnliche Frage zu math SE gepostet .

Daniel

Was passiert, wenn du eine Frame-Transformation versuchst, also das Problem in Bezug auf umschreibst

x^{'} = x - q t

$x' = x - qt$ ?

Quilo

Hallo @Daniel, sorry für die späte Antwort. Ja, ich habe es versucht, aber leider scheint es nicht nützlich zu sein.

Daniel

Eine Beobachtung: Wenn

U

$U$ konstant ist, existiert keine Lösung (es sei denn

q = 0

$q = 0$ Auch). Und ich denke, ich kann zeigen, dass Lösungen "explodieren" (Energie auf beliebig hohe Frequenzen geschoben haben) wie

\nabla U \to 0

$\nabla U \rightarrow \mathbf{0}$ , sofern vorhanden. Haben Sie versucht, die 1D-Version dieses Problems zu studieren?

Quilo

Ja, die 1D-Version ist im Grunde gleich. Am Ende haben Sie eine formelle Lösung

ρ (x) \propto e^{q x - U (x)}

$\rho(x) \propto e^{q x -U(x)}$ das kann nicht periodisch sein. Vielleicht habe ich hier etwas Interessantes gefunden: sciencedirect.com/science/article/pii/… .. es scheint "richtig" zu sein, die adjungierte Version der Gleichung zu betrachten.

Daniel

@Quillo hat gerade meine Antwort aktualisiert, um den Beweis abzuschließen.

Quilo

@Daniel: Vielen Dank!

Matthäus Kvalheim

Dies beantwortet die Frage nicht ganz, aber falls es von Interesse ist: Ich habe ein Papier geschrieben, in dem Systeme dieser Art ausführlich untersucht werden (daher mein Interesse an der Diskussion von Quillo und @Daniel). arxiv.org/abs/2108.06431 . Satz 3 gibt (kleine Diffusion) asymptotische Informationen über

ρ

$\rho$ (vgl. Bemerkung 4). Das Papier konzentriert sich jedoch mehr auf die Annäherung des Flusses von

J

$\mathbf{J}$ durch geeignete Hyperflächen (Theoreme 1, 2, 4; Prop. 3).

Antworten (1)

Advektion-Diffusion mit periodischen Randbedingungen und Neigung

Was passiert, wenn du eine Frame-Transformation versuchst, also das Problem in Bezug auf umschreibst $x' = x - qt$ ?
Hallo @Daniel, sorry für die späte Antwort. Ja, ich habe es versucht, aber leider scheint es nicht nützlich zu sein.
Eine Beobachtung: Wenn $U$ konstant ist, existiert keine Lösung (es sei denn $q = 0$ Auch). Und ich denke, ich kann zeigen, dass Lösungen "explodieren" (Energie auf beliebig hohe Frequenzen geschoben haben) wie $\nabla U \rightarrow \mathbf{0}$ , sofern vorhanden. Haben Sie versucht, die 1D-Version dieses Problems zu studieren?
Ja, die 1D-Version ist im Grunde gleich. Am Ende haben Sie eine formelle Lösung $\rho(x) \propto e^{q x -U(x)}$ das kann nicht periodisch sein. Vielleicht habe ich hier etwas Interessantes gefunden: sciencedirect.com/science/article/pii/… .. es scheint "richtig" zu sein, die adjungierte Version der Gleichung zu betrachten.
@Quillo hat gerade meine Antwort aktualisiert, um den Beweis abzuschließen.
Dies beantwortet die Frage nicht ganz, aber falls es von Interesse ist: Ich habe ein Papier geschrieben, in dem Systeme dieser Art ausführlich untersucht werden (daher mein Interesse an der Diskussion von Quillo und @Daniel). arxiv.org/abs/2108.06431 . Satz 3 gibt (kleine Diffusion) asymptotische Informationen über $\rho$ (vgl. Bemerkung 4). Das Papier konzentriert sich jedoch mehr auf die Annäherung des Flusses von $\mathbf{J}$ durch geeignete Hyperflächen (Theoreme 1, 2, 4; Prop. 3).

Daniel · Answer 1

Beliebig $\rho$ die die Gleichung auf dem ganzen Torus löst, muss auch lokal auf jeder Teilmenge eine Lösung sein. Insbesondere muss es auf der (nicht-ringkernförmigen) Lösung offen sein $L \times L$ Quadrat. Da Lösungen auf dem Torus eine Teilmenge der Lösungen auf dem Quadrat sind, lautet die Frage: Gibt es Lösungen auf dem Quadrat, die zufällig an den Rändern übereinstimmen?

Auf diesem Platz können wir definieren $V = U - \mathbb{x} \cdot \mathbb{q}$ , und wir haben eine gewöhnliche Advektions-Diffusions-Gleichung. Wir wissen, dass es Lösungen der Form gibt $\alpha e^{-V(\mathbb{x})}$ . Das wissen wir auch $U$ ist periodisch, also $V$ kann nur dann periodisch sein, wenn $\mathbb{q} = \mathbb{0}$ . Jedoch $e^{-V}$ könnte immer noch periodisch sein, wenn $\mathbb{q}$ ist eingebildet. Insbesondere haben wir periodische Lösungen für $\mathbb{q} = \frac{2\pi i}{L}\mathbb{n}, \mathbb{n} \in \mathbb{Z}^2$ .

Für andere $\mathbb{q}$ , Lösungen proportional zu $e^{-V(\mathbb{x})}$ kann sich nicht auf Lösungen auf dem ganzen Torus erstrecken. Die verbleibende Frage: Sind solche Lösungen der ganze Lösungsraum?

Nun weist Matthew Kvalheim auf Zeeman, 1988 hin . Satz 3 lautet

Lassen $U$ sei ein Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit $X$ ohne Grenze, und lassen $\epsilon$ > 0. Dann ist die Fokker-Planck-Gleichung für $U$ mit $\epsilon$ -Diffusion hat einen einzigartigen stationären Zustand, und alle Lösungen tendieren zu diesem stationären Zustand.

Der Torus ist eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung, Zeemans $U$ ist unser $-\nabla V$ , und wir haben $\epsilon = 1$ , also sagt uns der Satz eine Lösung $\rho$ muss existieren und ist eindeutig (bis auf einen Gesamtskalar). Leider ist dieser Beweis nicht konstruktiv.

In einer Dimension ergibt die Variation von Parametern die Lösung

ρ = C_{1} e^{- v} (C_{2} + \int_{0}^{X} e^{v})

$\rho = C_1 e^{-V}\left(C_2 + \int_0^x e^V\right)$ und die Anforderung

ρ (0) = ρ (L)

$\rho(0) = \rho(L)$ behebt

C_{2}

$C_2$ . Wir können versuchen, dies wie folgt auf zwei Dimensionen zu erweitern: Angenommen

ρ

$\rho$ ist von der Form

α (x) e^{- V}

$\alpha(x)e^{-V}$ . Dann wird die Gleichung

\nabla \cdot [- \nabla v a (X) e^{- v} - \nabla (a (X) e^{- v})] = 0

$\nabla \cdot [-\nabla V \alpha(x)e^{-V} - \nabla (\alpha(x) e^{-V})] = 0$ was vereinfacht zu

\nabla \cdot (\nabla a (X) e^{- v}) = 0

$\nabla \cdot (\nabla\alpha(x) e^{-V}) = 0$ Lösungen sind

\nabla a (X) e^{- v} = \nabla \times ψ

$\nabla\alpha(x) e^{-V} = \nabla \times \mathbf{\psi}$ für

ψ = e_{z}

$\mathbf{\psi} = \mathbf{e}_z$ Und

g

$g$ irgendeine Skalarfunktion. Dann

\nabla a (X) = e^{v} (\nabla \times ψ)

$\nabla\alpha(x) = e^V(\nabla \times \mathbf{\psi})$ Wenn

\nabla \times (e^{v} (\nabla \times ψ)) = 0

$\nabla \times (e^V(\nabla \times \mathbf{\psi})) = 0$ dann hat das lösung

a (X, j) = C + (\int_{0}^{X} - e^{v} G_{j} D X) + (\int_{0}^{j} e^{v} G_{X} D j)

$\alpha(x,y) = C + \left(\int_0^x -e^V g_y dx\right) + \left(\int_0^y e^V g_x dy\right)$ Das Erfordernis periodischer Randbedingungen hebt einige Besonderheiten hervor

g

$g$ ,

C

$C$ bis auf eine Gesamtkonstante. Wir brauchen

a (X, 0) = a (X, L) e^{- L Q_{j}}

$\alpha(x,0) = \alpha(x,L)e^{-Lq_y}$ oder

C + (\int_{0}^{X} - e^{v} G_{j} D X) = C e^{- L Q_{j}} + (\int_{0}^{X} - e^{v} G_{j} D X) e^{- L Q_{j}} + (\int_{0}^{L} e^{v} G_{X} D j) e^{- L Q_{j}}

$C + \left(\int_0^x -e^V g_y dx\right) = Ce^{-Lq_y} + \left(\int_0^x -e^V g_y dx\right)e^{-Lq_y} + \left(\int_0^L e^V g_x dy\right)e^{-Lq_y}$ Bei

x = 0

$x = 0$ dies vereinfacht zu

C = \frac{1}{e^{L Q_{j}} - 1} \int_{0}^{L} e^{v} G_{X} (0, j) D j

$C = \frac{1}{e^{Lq_y} - 1}\int_0^L e^V g_x(0,y) dy$ Es bleibt zu finden

g

$g$ .

Ich bin mir nicht sicher, ob es einen schönen Ausdruck für die Lösung im Allgemeinen gibt. Einige verschiedene Gedanken:

Wenn $U = 0$ , $\rho = C$ ist eine Lösung, die entspricht $\alpha = e^V, g = xq_y-yq_x$ . Dies zeigt, dass $g$ darf nur auf dem Quadrat definiert werden, nicht auf dem Torus.
Wenn $\nabla U \gg q$ oder $q \gg \nabla U$ können wir mit der in der Nähe bekannten Lösung beginnen und die Reihe erweitern.

$\psi = \psi_z \mathbb{e}_z$ , und weil dies ein 2D-Problem ist $\frac{\partial}{\partial z} = 0$ .
Ich denke, Ihr Fazit $\alpha =$ konst. würde bedeuten, dass es seitdem keine Lösungen auf dem Torus gibt $V$ ist nicht periodisch. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass diese PDE immer Lösungen auf dem Torus hat (siehe zB Theorem 3 of "Stability of Dynamical Systems", Zeeman, 1988). Bisher glaube ich, einen Fehler in Ihrer Argumentation entdeckt zu haben: on $\mathbb{R}^2$ Ich glaube nicht, dass das stimmt $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$ $\implies$ Das $\mathbf{J}$ ist die Locke von etwas. Vielmehr impliziert es, wie Quillo schrieb $\mathbf{J} = R \nabla g$ für einige $g$ . Daher denke ich, dass Sie haben sollten $\nabla \alpha e^{-V} = R \nabla g$ .
Warten Sie, sind das nicht gleichwertig? $R \nabla G = (- G_{j}, G_{X})$ $R\nabla g = (-g_y, g_x)$ während $\nabla \times (G e_{z}) = (- G_{j}, G_{X}, 0)$ $\nabla \times (g \mathbb{e}_z) = (-g_y, g_x, 0)$ (Wo $g$ ist eine Skalarfunktion und Indizes bezeichnen partielle Ableitungen)
In Bezug auf Zeeman stimme ich jedoch zu, dass dies zu widersprechen scheint. Ich mache mir gerade Gedanken über die $U = 0$ Fall - sollte nicht $\rho = C$ dann eine Lösung sein?
Ich fand den Fehler, ich hatte einen verloren $\nabla \times$ in der drittletzten Zeile.
Oh, ich sehe jetzt, dass Sie Recht haben, dass die Rotation / Curl äquivalent sind - danke für den Hinweis. Ja, ich denke, da hast du Recht $\rho = C$ ist eine Lösung in der $U = 0$ Fall, und nach Zeemans Theorem 3 ist dies die eindeutige Lösung bis zu einem konstanten Multiplikator, wie Sie sagen.

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