Ersetzen von Variablen nach Legendre-Transformation

Question

AnonymAmateur

Ich habe die innere Energie eines Systems als Funktion der Entropie $S$ , Teilchenzahl $N$ und Lautstärke $V$ :

U (S, v, N) = (\frac{v_{0} θ}{R^{2}}) \frac{S^{3}}{N v}

$U(S,V,N) = \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{NV}$ Ich muss das chemische Potenzial finden

μ

$\mu$ als Funktion von

T

$T$ ,

V

$V$ Und

N

$N$ . Ich habe die folgende Legendre-Transformation durchgeführt:

F = U - T S = (\frac{v_{0} θ}{R^{2}}) \frac{S^{3}}{N v} - T S

$F = U - TS = \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{NV} - TS$ Aus dem ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik:

D F (T, v, N) = - S D T - P D v + μ D N

$dF(T,V,N) = -SdT - pdV + \mu dN$ Daher sind die natürlichen Variablen von

F

$F$ Sind

T

$T$ ,

V

$V$ Und

N

$N$ . Auch

F

$F$ mit einem exakten Differentialmittel kann ich schreiben:

μ (T, v, N) = \frac{\partial F}{\partial N} (T, v, N) = - (\frac{v_{0} θ}{R^{2}}) \frac{S^{3}}{N^{2} v}

$\mu(T,V,N) = \frac{\partial F}{\partial N}(T,V,N) = - \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{N^2V}$

Wie man rechnet $S(T,V,N)$ in obige Gleichung einzusetzen und damit das Explizite loszuwerden $S$ ?

Tobias Fünke · Answer 1

Beachten Sie, dass

T (S, N, v) = \frac{\partial U}{\partial S} (S, N, v)

$T(S,N,V) = \frac{\partial U}{\partial S} (S,N,V)$

und dass wir unter bestimmten Bedingungen für diese Funktionen diese Beziehung umkehren können, um zu finden $S(T,N,V)$ . Wir definieren dann

F (T, N, v) = U (S (T, N, v), N, v) - T S (T, N, v) .

$F(T,N,V) = U(S(T,N,V),N,V) - T S(T,N,V) \quad .$

Also alle $S$ die auf der rechten Seite der obigen Gleichung erscheinen, sind als Funktionen von zu verstehen $T,N,V$ . In der Tat finden wir

\frac{\partial F}{\partial T} (T, N, v) = - S (T, N, v) .

$\frac{\partial F}{\partial T} (T,N,V) = -S(T,N,V) \quad .$

Siehe zum Beispiel Statistische Theorie der Wärme. Florian Scheck. Springer , Kapitel 2.