Euler-Lagrange-Gleichung, Lagrange-Multiplikatoren und Optimierung

Ich lese gerade einen Abschnitt mit Notizen über Lagrange-Multiplikatoren und die Euler-Lagrange-Gleichung durch und könnte ein wenig Klarstellung gebrauchen, um sicherzustellen, dass mir nichts fehlt:

Wir suchen nach den Extrema von

$$J(\textbf{u}) = \int_{0}^{\pi} \frac{|u'|^{2}}{2} dx$$ für$u \in U = \{u \in C^{1}[0,\pi]: u(0) = u(\pi) = 0\}$der Einschränkung unterliegen $$\int_{0}^{1} u^{2}(x)~dx = 1$$

Jetzt verstehe ich, dass das Verfahren darin besteht, Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichung zu finden, wenn sie auf das erweiterte Funktional angewendet werden$\Lambda_{\lambda} = \Lambda + \lambda \Gamma$Wo$\Lambda$ist der Lagrangian der Funktion, von der wir die Extrema finden möchten (in diesem Fall J),$\Gamma$ist der Lagrange-Operator der Beschränkungen, und$\lambda$ist der Lagrange-Multiplikator.

Da suchen wir die Einschränkungen auch verschwinden, dh für

$$K(\mathbf{u}) = \int_{a}^{b} \Gamma(x,\mathbf{u},\mathbf{u'})~dx = 0$$ Die Noten haben somit K als definiert $$K(\mathbf{u}) = \int_{0}^{\pi}\left[ \frac{u^2}{2}-\frac{1}{2 \pi}\right] dx$$

Das erscheint mir so nicht offensichtlich. Wenn es einfach ist, weil wir verlangen, dass die Beschränkung verschwindet, und bisher haben wir es getan

$$\int_{0}^{1} u^{2}(x)~dx = 1$$ dann scheint es naheliegend zu setzen $$K(\mathbf{u}) = \int_{0}^{\pi} u^{2}(x)~dx - 1 \implies \int_{0}^{\pi} u^{2}(x)~dx - \int_{0}^{\pi}\frac{1}{\pi} dx \implies \int_{0}^{\pi} u^{2}(x) - \frac{1}{\pi}~dx$$ hat den Faktor von$\frac{1}{2}$wurde einfach wegen J eingeführt? ich meine seit$K(\mathbf{u}) = 0$Dies scheint eine legitime Operation zu sein. und gibt eine nette erweiterte Funktion von $$J_{\lambda} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left[ |u'|^2 + \lambda \left( u^{2}-\frac{1}{\pi}\right)\right] dx$$ und so scheint dies alles in Ordnung und der Mühe wert zu sein. aber da es keine Erklärung gab, möchte ich sicherstellen, dass es keinen anderen Grund für diese Wahl von K gibt

Vielen Dank im Voraus, ich weiß es zu schätzen.

Als freche Randnotiz: Als Engländer behalte ich mir das Recht vor, es mit einem s zu schreiben!!! :P