implizite Differentiation, wenn die implizite Gleichung eine Differentialgleichung ist

Ich möchte eine Ableitung / Variation (ich denke, Variation ist korrekter) der Lösung einer Differentialgleichung in Bezug auf einen Parameter der Differentialgleichung finden, ohne die Differentialgleichung explizit zu lösen.

Betrachten Sie zB diese Differentialgleichung X ' ( T ) = A X ( T ) + B ( T ) , muss ich die Ableitung der Lösung in Bezug auf A finden (eine allgemeine parametrische Anfangsbedingung annehmen).

Tatsächlich ergibt sich das Problem aus einem eingeschränkten Optimierungsproblem, bei dem die Differentialgleichung die Einschränkung ist und die Zielfunktion eine explizite Funktion der Lösung der Differentialgleichung und somit eine implizite Funktion der Differentialgleichungsparameter ist und ich die optimalen Parameter finden muss.

Die eigentliche Differentialgleichung ist die Wellen-PDE, die durch eine Methode wie die endliche Differenz diskretisiert wird (die Wellen-PDE zweiter Ordnung wird als 2 simultane Gleichungen erster Ordnung und nach der Diskretisierung als 2 gestapelte Gleichungssätze betrachtet), sodass die Koeffizientenmatrix oder Parameter Eigenschaften von sind Medium, in dem sich die Welle ausbreitet (örtliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle).

Da die Lösung des Optimierungsproblems das Hauptziel ist und das Problem numerisch gelöst werden muss, wird jede Annäherung dieser Ableitung zur Verwendung in einem Gradientenabstiegsalgorithmus oder einer anderen iterativen Lösung begrüßt.

Ist X ( T ) Vektor oder Matrix?
@AlexFrancisco, X und b sind Vektoren und A ist eine Matrix, aber ich denke, wenn es eine allgemeine Methode für eine einzelne Skalargleichung gäbe, könnte ich sie auf den Vektorfall erweitern.
Es scheint, dass X ( T ) da muss noch irgendwas erstmal gelöst werden A ich , J In A ∈ M N × N ( R ) , Y = ∂ X ∂ A ich , J erfüllt die Gleichung
Y ' ( T ) = A Y ( T ) + E ich , J X ( T ) ,
Wo E ich , J ∈ M N × N ( R ) hat 1 als seine ( ich , J ) -ten Eintrag und 0 wie andere Einträge.

Antworten (3)

Lassen Y die Lösung sein Y ' = ( A + H ) Y + B , Dann

Y ' − X ' = ( A + H ) ( Y − X ) + H X
damit in erster reihenfolge für H = ϵ Δ A Und Y = X + ϵ Δ X erhalten wir für die Richtungsableitung
Δ X ' = A Δ X + H X
Dies hat eine explizite Lösungsformel, aber es wird Begriffe wie geben ∫ e − S A H e S A B ( S ) D S beteiligt, wo Sie nicht extrahieren können H da es im Allgemeinen nicht mit pendelt A .

Danke schön. Ich habe meine Frage nach Ihrer Antwort bearbeitet. Mein Hauptproblem besteht darin, ein eingeschränktes Optimierungsproblem zu lösen. Ich hatte gehofft, einen Gradientenabstiegsalgorithmus zu verwenden, nachdem ich diese Ableitung erhalten hatte, was unmöglich zu sein scheint.

Lassen

X ' ( T ) = A X ( T ) + B ( T ) , X ( T 0 ) = X 0 ,
X ^ ' ( T ) = A ^ X ^ ( T ) + B ( T ) , X ^ ( T 0 ) = X 0 ,
X ¯ ( T ) = X ^ ( T ) − X ( T ) ,
A ¯ ( T ) = A ^ ( T ) − A ( T ) ,
Dann
( e − A T X ( T ) ) ' = e − A T B ( T ) ,
( e − A ^ T X ^ ( T ) ) ' = e − A ^ T B ( T ) ,
( e − A ^ T X ^ ( T ) − e − A T X ( T ) ) ' = ( e − A ^ T − e − A T ) B ( T ) ,
( e − A ^ T X ^ ( T ) − e − A T X ( T ) ) | T 0 T = ∫ T 0 T ( e − A ^ T − e − A T ) B ( T ) D T ,
e − A ^ T X ^ ( T ) − e − A T X ( T ) = ( e − A ^ T 0 − e − A T 0 ) X 0 + ∫ T 0 T ( e − A ^ T − e − A T ) B ( T ) D T ,
X ¯ ( T ) = ( e A ¯ T − 1 ) X ( T ) + ( e A ¯ ( T − T 0 ) − e A ¯ T ) e A ( T − T 0 ) X 0 + e A ^ T ∫ T 0 T ( e − A ^ T − e − A T ) B ( T ) D T .

Wenn wir uns vermehren X ' ( T ) = A X ( T ) + B ( T ) von e − T A wir erhalten

e − T A ( X ' ( T ) − A X ( T ) ) = e − T A B ( T )
oder
( e − T A X ( T ) ) ' = e − T A B ( T ) ,
und daher das Fixieren von a τ im Bereich von B ( T ) , Dann
e − T A X ( T ) − e − τ A X ( τ ) = ∫ τ T e − S A B ( S ) D S
oder gleichwertig
X ( T ) = X ( T ; A ) = e ( T − τ ) A X ( τ ) + ∫ τ T e ( T − S ) A B ( S ) D S .
Wenn A = ( A ich J ) , Dann
∂ ∂ A ich J X ( T ; A ) = ∂ ∂ A ich J e ( T − τ ) A X ( τ ) + ∫ τ T ∂ ∂ A ich J e ( T − S ) A B ( S ) D S

Danke schön. Die Verwendung des Ausbreitungsoperators ist eine Art explizite Lösung. Das Problem ist die Berechnung der Ableitung dieses Operators in Bezug auf Elemente der A-Matrix, die unmöglich zu sein scheint, eine geschlossene Form zu geben (unter Berücksichtigung der Taylor-Erweiterung der Exponentialfunktion und der Ableitung in Bezug auf die Elemente von A).
implizite Differentiation, wenn die implizite Gleichung eine Differentialgleichung ist
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v