Lösen eingeschränkter Euler-Lagrange-Gleichungen mit Lagrange-Multiplikatoren (Geodätik)

Ich versuche, ein geodätisches Problem der Variationsrechnung mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren zu lösen und zu zeigen, dass die Geodäten einer Kugel die sogenannten Großkreise sind. Ich verwende einen eingeschränkten Lagrangian

$$\int_{a}^{b}\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+\lambda(t)G(x(t),y(t),z(t))dt$$

wobei G(x,y,z) die Kugel ist

$$x^2+y^2+z^2 = 1$$

Wenn ich die Euler-Lagrange-Gleichungen berechne, erhalte ich die drei Gleichungen:

$$\ddot{\vec{r}}=\frac{\lambda(t)}{2}\nabla G$$

und die Einschränkung bleibt:

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1\ \text{ or equally }\ x^2+y^2+z^2=1$$

Angewandt auf den Kreis finden wir:

$$\ddot{\mathbf{r}}=\lambda(t)\mathbf{r}$$

Jetzt haben wir also vier Gleichungen, eine unbekannte Lambda-Funktion und drei Variablen. Wie bestimme ich Lambda und vereinfache es genug, um es in Mathematica zu lösen? Das ist sehr ungewohntes Material für mich, daher ist Hilfe willkommen.

Danke

$\textbf{Edit: expanding on the solution provided by Qmechanic}$ Das zweimalige Differenzieren der Beschränkung ergibt das Vertraute

$$\mathbf{\ddot{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}=-\frac{v^2}{r}$$

Und nimmt das Skalarprodukt der EL-Gleichungen mit$\mathbf{\hat{r}}$und Ersatzerträge

$$-\frac{v^2}{r^2}=\lambda(t)$$

Setzen Sie dies wieder in die ursprüngliche Gleichung für ein$\lambda(t)$, wir glauben, dass

$$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{v^2}{r}\mathbf{\hat{r}}$$

Dies ermöglicht eine unendliche Anzahl von Geodäten, aber die Wahl der Parametrisierung, die v konstant lässt, vereinfacht dies

$$\mathbf{\ddot{r}}=-\mathbf{r}$$

die nach den kartesischen Koordinaten aufgelöst werden können:

$$\begin{matrix} x=C_1 \sin (t)+C_2 \cos (t) \\ y=C_2 \sin (t)+C_4 \cos (t) \\ z=C_3 \sin (t)+C_6 \cos (t) \\ \end{matrix}$$

Die bei entsprechenden Anfangsbedingungen einen Großkreis zwischen den beiden Punkten bildet.