Fallende geladene Objekte: Energieerhaltungsparadoxon?

Stellen Sie sich vor, wir beginnen mit zwei entgegengesetzt geladenen Objekten auf dem Boden, die durch einen Abstand voneinander getrennt sind D , mit Gebühren + Q , − Q und Massen M .

Wir heben sie beide auf eine Höhe H .

Dabei bewegen wir sie nur mit konstanter Geschwindigkeit, sodass keine Ladung in der Nähe der anderen ein strahlendes elektromagnetisches Feld erzeugt.

Nehmen Sie außerdem an, dass sich die Objekte gleichzeitig auf reibungsfreien Polen bewegen, sodass ihre Coulomb-Anziehung immer horizontal ist und daher im Experiment keine Rolle spielt.

Die Energie, die wir in das System gesteckt haben, ist einfach:

E G R A v = 2 M G H

Jetzt lassen wir die beiden Objekte gleichzeitig los und sie fallen zurück auf den Boden.

Die Schwerkraft oder das Gewicht, M G , wirkt auf jedes Objekt über die Distanz H so dass wir am Ende die endgültige kinetische Energie der Objekte erhalten, wenn wir nur die Wirkung der Schwerkraft annehmen , gegeben durch:

K E G R A v = 2 M G H

Daher scheinen wir eine Energiebilanz wie erwartet zu haben.

Aber dies ist nicht das Ende der Geschichte. Wenn die geladenen Objekte zum Boden hin beschleunigt werden, erzeugen sie in einiger Entfernung jeweils ein elektrisches Strahlungsfeld D gegeben von:

E R A D = − ± Q 4 π ϵ 0 C 2 D G

Daher wirkt auf jedes Objekt eine zusätzliche nach unten gerichtete Kraft, die gegeben ist durch:

F e M = Q 2 4 π ϵ 0 C 2 D G

Denn diese Kraft wirkt auf jedes Objekt über eine Distanz H dann ist die zusätzliche kinetische Energie der Objekte, wenn sie den Boden erreichen, aufgrund der gegenseitigen Wirkung ihrer elektrischen Strahlungsfelder:

K E e M = 2 Q 2 G H 4 π ϵ 0 C 2 D

Wir scheinen mehr Energie herauszuholen, als wir in das System gesteckt haben.

Was ist falsch an dieser Rechnung?

Nachschrift

Mark Mitchison hat darauf hingewiesen, dass ich die Beschleunigung für den Fall finden muss, in dem sowohl die elektromagnetische Kraft als auch die Gravitationskraft wirken. Ich kann nicht davon ausgehen, dass es nur die Gravitationsbeschleunigung ist G .

Lassen Sie mich versuchen, die Bewegungsgleichung für eines der Objekte auszuarbeiten, wobei beide Objekte eine Abwärtsbeschleunigung haben A .

Wir haben:

F = M A

Die Gesamtkraft F auf einem der Objekte ist die Summe der gravitativen und elektromagnetischen Komponenten:

F = M G + Q 2 A 4 π ϵ 0 C 2 D

Wenn wir definieren:

M e = Q 2 4 π ϵ 0 C 2 D

dann ist die Gesamtkraft auf ein Objekt gegeben durch:

F = M G + M e A

Die Bewegungsgleichung lautet dann:

M A = M G + M e A

Also die Beschleunigung A wird gegeben von:

A = M G M − M e

Die Gesamtenergie, die ein Objekt unter dem Einfluss sowohl der Gravitationskraft als auch der elektromagnetischen Kraft gewinnt, wenn es über eine Entfernung fällt H ist dann:

E = F H

E = ( M G + M e ⋅ M G M − M e ) H

E = M G H ⋅ M M − M e

Das ist mehr Energie als die M G H die wir überhaupt erst in das Objekt gesteckt haben.

Das Paradoxon besteht also immer noch.

PS Wenn M e klein ist, dann haben wir:

E ≈ M G H + M e G H

was mit meiner ursprünglichen Berechnung oben übereinstimmt, wo ich die Beschleunigung als einfach angenommen habe G .

Die Objekte bewegen sich auf Stangen? Was sind die Ladungen dieser Pole?
Ihre Aussage dazu K E = 2 M G H Die gewonnene kinetische Energie gilt nur dann, wenn beim Fallen keine Kräfte auf die Ladungen einwirken. Sie haben argumentiert, dass dies hier nicht zutrifft. Am Ende des Experiments sollte die gesamte kinetische Energie + Energie im Feld gleich sein 2 M G H . Dies folgt schon aus der Energieerhaltung.
Die Pole sind nur neutrale, reibungsfreie Pole, um die Objekte zu zwingen, sich nur vertikal zu bewegen.
Ich berechne zuerst die kinetische Energie der Objekte nur aufgrund der Schwerkraft, um zu zeigen, dass es eine Energiebilanz gibt, wenn nur die Schwerkraft berücksichtigt wird. Wenn die Kräfte aufgrund der elektrischen Felder addiert werden, erhalten wir am Ende mehr Energie, als wir hineingesteckt haben.
@JohnEastmond Du hast die kinetische Energie nicht wirklich "ausgearbeitet". Sie haben gerade einen (falschen) Ausdruck aufgeschrieben und ihn für wahr gehalten. Es stimmt, dass K E = 2 M G H wenn die Objekte ungeladen sind, genauer gesagt, wenn außer der Schwerkraft keine anderen Kräfte auf sie einwirken. Wenn sie aufgeladen sind, müssen Sie eine zusätzliche Beschleunigung aufgrund des Vorhandenseins elektrischer Felder einbeziehen. Dann wirst du das finden K E ≠ 2 M G H . Sie werden auch feststellen, dass Energie erhalten bleibt, wenn die Energie des Feldes richtig berechnet und einbezogen wird.
Lassen Sie es mich anders ausdrücken. Du kannst nicht einfach trainieren K E G R A v Und K E e M und dann schreiben K E = K E G R A v + K E e M . Sie müssen die Wirkung aller Kräfte auf die Ladungen gleichzeitig berücksichtigen, wenn Sie ihre Beschleunigungen und anschließenden Energieänderungen berechnen.
Ich denke, die Beschleunigung muss nach Einsteins Äquivalenzprinzip g sein.
Ich verstehe nicht wirklich, was du meinst. Sie haben bereits darauf hingewiesen, dass die Beschleunigung nicht g ist, weil es zusätzliche elektromagnetische Kräfte gibt. Bitte berechnen Sie einfach die Energieänderung aufgrund der Beschleunigung durch die gleichzeitig wirkenden elektrischen und Gravitationskräfte. Sie werden sehen, dass es kein Paradoxon gibt.
@MarkMitchison: Hallo! Ich denke, dass ich ihn verstehe. Die Beschleunigung von der Erde ist G , und es kümmert sich nicht um das em-Feld. Es gibt Erhaltung der Gravitationsenergie, kinetische + potentielle. Was das em-Feld betrifft, erzeugt es auch eine Beschleunigung, dh kinetische Energie, aber unter seinen separaten Erhaltungsgesetzen zwischen potentieller und der Ergänzung von kinetischer Energie. Jedes Feld mit seinen Erhaltungsgesetzen.
Hallo @MarkMitchison, ich habe die Beschleunigung neu berechnet, wie Sie vorgeschlagen haben - die Ergebnisse sind im Postscript oben. Soweit ich sehen kann, besteht das Paradoxon immer noch.
Ich denke, Sie müssen auch die Strahlungsreaktionskraft einbeziehen, um die richtige Antwort zu erhalten. Der zusätzliche Impuls, der dem Feld durch die Beschleunigung jeder Ladung unter der Schwerkraft verliehen wird, impliziert einen entsprechenden umgekehrten Impulsstoß für jede Ladung. Dies sollte genau richtig sein, um die Energieeinsparung wiederherzustellen.

Antworten (1)

Ihr Gedankenexperiment stößt auf eine wichtige Idee in der Elektrodynamik, die ziemlich kontraintuitiv ist. Das EM-Feld, das aufgrund der Ladung als Strahlung erzeugt wird, erzeugt tatsächlich eine Reaktionskraft auf die Ladung selbst.

Dies ist als Abraham-Lorentz-Kraft bekannt , die proportional zur Änderungsrate der Beschleunigung der Ladung ist.

In SI-Einheiten ist es gegeben durch,

F R A D = Q 2 6 π ϵ 0 C 3 A ˙

Wenn diese Kraft auch in Ihre Energieeinsparung einbezogen wird, wird sie halten.

Verweise

Abraham-Lorentz-Kraft

Aber die Erdbeschleunigung g ist konstant, so dass die geladenen Objekte keine Abraham-Lorentz-Reaktionskraft spüren sollten.
Sie können nicht einfach davon ausgehen, dass sie konstant ist. Fügen Sie die Abharam-Kraft in Ihre Kraftgleichung ein, und wir erhalten eine ODE für A was nicht impliziert A konstant sein.
Sie erhalten eine exponentielle Abhängigkeit von A mit der Zeit so, dass die A ˙ ist negativ und daher leisten die Abraham-Kräfte negative Arbeit, indem sie die positive Arbeit, die von den geleistet wird, zunichte machen M e A Gewalt.
Wenn wir lassen A ˙ anfangs nicht Null sein, dann erhalten wir eine unphysikalische außer Kontrolle geratene Lösung, die exponentiell ansteigt.
Fallende geladene Objekte: Energieerhaltungsparadoxon?
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