Definitionen

Beginnen wir zunächst mit der Definition einiger Parameter:

• $\mu_{o}$ist die Durchlässigkeit des freien Raums
• $\varepsilon_{o}$ist die Permittivität des freien Raums
• $\mathbf{E}$ist das elektrische Feld mit 3 Vektoren
• $\mathbf{B}$ist das 3-Vektor-Magnetfeld
• $\mathbf{S}$ist der 3-Vektor- Poynting-Fluss (auch Poynting-Vektor genannt)
• $\mathbf{j}$ist die elektrische Stromdichte mit 3 Vektoren
• $\partial_{\alpha}$ist die partielle Ableitung in Bezug auf den Parameter$\alpha$
• $q_{s}$Ladung von Teilchenarten$s$
• $n_{s}$Anzahldichte von Teilchenarten$s$(d. h. Anzahl pro Volumeneinheit)
• $\mathbf{v}_{s}$Volumenströmungsgeschwindigkeit von Teilchenarten$s$

Hintergrund

Der Satz von Poynting ist mathematisch (in Differentialform) definiert als:

$$\partial_{t} \left( w_{B} + w_{E} \right) + \nabla \cdot \mathbf{S} = - \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \tag{1}$$ Wo $\partial_{t}$ist die partielle Zeitableitung, $w_{B} = B^{2}/\left( 2 \mu_{o} \right)$, $w_{E} = \varepsilon_{o} E^{2}/2$, $\mathbf{S} = \left( \mathbf{E} \times \mathbf{B} \right)/\mu_{o}$, Und $\mathbf{j} = \sum_{s} \ q_{s} \ n_{s} \mathbf{v}_{s}$. $^{\mathbf{A}}$Wir können den Satz von Poynting oft in Differentialform schreiben, weil das Volumen, über das integriert wird (dh die Oberfläche, durch die $\mathbf{S}$geht/eintritt) ist im Allgemeinen willkürlich [zB siehe Seiten 258-264 in Jackson [1999]].

Wir können den Satz von Poynting in Bezug auf physikalisch signifikante Ausdrücke wie die folgenden definieren:

1. die zeitliche Änderungsrate der Energiedichte der elektromagnetischen Felder ; Plus
2. die Rate des elektromagnetischen Energieflusses, der aus einer beliebigen Oberfläche herausfließt ; gleich
3. die Energie, die aufgrund der Impulsübertragung zwischen Teilchen und Feldern verloren geht .

Genauso gut könnten wir 1. als die Energieübertragungsrate pro Volumeneinheit , 2. als die aus einem Volumen durch eine definierte Fläche fließende Leistung und 3. als die pro Volumeneinheit an den Ladungen verrichtete Arbeit beschreiben Volumenelement .

Zu beachten ist, dass der Satz von Poynting in Differentialform wie in Gleichung 1 ein Beispiel für eine Kontinuitätsgleichung ist . Alle Kontinuitätsgleichungen werden ausgedrückt als:

1. die zeitliche Änderungsrate einer Dichte; Plus
2. die Flussrate, die aus einer beliebigen Oberfläche herausfließt; gleich
3. Quellen und Verluste.

In Bezug auf Einheiten ist ein Fluss nur eine Dichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit. In einfachen (lockeren/nachlässigen) Begriffen gibt die Geschwindigkeit die Richtung und Geschwindigkeit an, während die Dichte das Volumen und die Anzahl liefert.

Wie bezieht sich der Satz von Poyntings auf solche Systeme?

Der Satz von Poynting ist, kurz gesagt, eine Aussage über die Erhaltung elektromagnetischer Energie.

Der$\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$Der Term in Gleichung 1 zeigt, wie Energie von elektromagnetischer (teilchenmechanischer) in teilchenmechanische (elektromagnetische) Energie umgewandelt wird.$^{\mathbf{B}}$Sie können dies sehen, indem Sie sich daran erinnern, dass eine Form zum Ausdrücken von Leistung (dh Energie pro Zeiteinheit) gegeben ist durch:

$$P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$$ Wo $\mathbf{F}$ist eine Kraft, die auf ein Objekt wirkt und $\mathbf{v}$ist die Geschwindigkeit des Objekts. Beim Betrachten der $\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$Begriff, können Sie sehen, dass es dargestellt werden kann durch: $$\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right) = \mathbf{E} \cdot \left( \sum_{s} \ q_{s} \ n_{s} \mathbf{v}_{s} \right) \\ \sim \sum_{s} \ \frac{ \mathbf{F} }{ q_{s} } \cdot \left( q_{s} \ n_{s} \mathbf{v}_{s} \right)$$ wo ich gerade umgeschrieben habe $\mathbf{E}$als $\mathbf{F}/q$(aus der Lorentz-Kraft ). Dann können Sie sehen, dass es einen ähnlichen Begriff wie gibt $\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$innerhalb $\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$. Und so kam es dass der $\left( \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \right)$Der Begriff ist eindeutig eine Änderungsrate der Energie pro Volumeneinheit.

Zur Energieeinsparung beitragen?

Der Satz von Poynting ist Teil der Gesamtenergieerhaltung eines gegebenen Systems. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, dies zu behandeln, und viele können zu kompliziert sein, um hier darauf einzugehen, aber die einfache Antwort ist, dass sie die Umwandlung von Teilchenenergie in / aus elektromagnetischer Energie definiert. Beispielsweise kann man den Satz von Poynting mit dem verallgemeinerten Ohmschen Gesetz [zB siehe Seite 572 in Jackson [1999]] verwenden, wenn man die Transporteigenschaften (zB Leitfähigkeit ) eines gegebenen Systems beschreibt.

In gewissem Sinne, ja, trägt der Satz von Poynting zur Erhaltung der Energie bei, indem er ein Teil dieses Gesetzes ist.

Randnotizen

A. Ich habe den Ausdruck für die Stromdichte bereits in eine makroskopische Form umgewandelt. Weitere Einzelheiten zum Unterschied zwischen mikro- und makroskopischen Maxwell-Gleichungen finden Sie auf den Seiten 248-258 in Jackson [1999].
B. Beachten Sie, dass ich Wärme (dh zufällige kinetische Energie) und kinetische Massenstromenergie in meine Verwendung des Begriffs mechanische Energie hier eingeschlossen habe .

Verweise

• JD Jackson, Classical Electrodynamics , Dritte Ausgabe, John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 1999.

Ich habe eine Idee, weiß aber nicht, ob meine Analyse fehlerhaft ist oder nicht?

Anstatt mit einem Motor zu beginnen, möchte ich mit der Betrachtung eines Generators beginnen.

Eine leitende Spule$WXYZ$mit einer kleinen Lücke darin befindet sich in der Ebene des Bildschirms, der sich dreht, wie in der Abbildung mit Seite gezeigt$XY$kommt aus dem Bildschirm und der Seite$WZ$in den Bildschirm gehen.
Der Einheitsvektor$\hat n$kommt aus dem Bildschirm und definiert die positive Richtung.

Verwendung des Faradayschen Gesetzes$\int_S \vec E \cdot d\vec s = - \frac {d}{dt} \iint_A \vec B \cdot d\vec a$das induzierte E-Feld wird im Uhrzeigersinn vorhergesagt.
Das ist weil$\vec B \cdot d \vec a$positiv ist, und das Integral der E-Feldlinie muss gegen den Uhrzeigersinn erfolgen, wenn die Konvention für die rechte Hand verwendet wird.

Das induzierte E-Feld bewegt Ladungen im Draht, die dann ein elektrostatisches E-Feld gleicher Größe, aber mit entgegengesetzter Richtung in der Spule erzeugen.
Sobald das elektrostatische E-Feld aufgebaut ist, fließt kein Strom in der Schaltung und da kein B-Feld vorhanden ist, ergibt sich der Poynting-Vektor$\vec S$Null sein.

Das Integral$\int_S \vec E \cdot d\vec s$heißt induzierte EMK.

Das elektrostatische E-Feld wurde eingeführt, weil es ein konservatives Feld ist und daher bei der Anwendung des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes verwendet werden kann$\int_S \vec E \cdot d\vec s =0$.

Das Einführen eines Widerstands über die Lücke bedeutet, dass ein Strom fließt$I$fließt in der Spule und es entsteht ein B-Feld.
Beachten Sie, dass dies im obigen Diagramm bedeuten würde, dass der induzierte Strom in der Schaltung im Uhrzeigersinn verläuft.
Dieser induzierte Strom erzeugt ein Magnetfeld innerhalb der Spule im Schirm und versucht so, den zunehmenden magnetischen Fluss, der ihn erzeugt, zu reduzieren – das Lenzsche Gesetz.

Betrachten Sie den Widerstand als Zylinder.

Anwendung des Ampereschen Gesetzes$\int_S \vec B \cdot d\vec s = \mu_o\iint_A \vec J \cdot d\vec a$gibt$B = \dfrac{\mu_oI}{2 \pi r}$.

Die Richtung des Poynting-Vektors ist die Richtung von$\vec E \times \vec B$und für den Widerstand zeigt es nach innen zum Widerstand.

Die Größe des E-Feldes ist$\frac{V_R}{L}$Angabe der Größe des Poynting-Vektors als$\frac{V_RI}{2 \pi r L}$.

Seit$2 \pi r L$ist die Oberfläche des Widerstands, durch die die Energie eintritt, ist die Energie pro Sekunde$V_RI$- wie erwartet.

---

Es ist der nächste Teil, bei dem ich mir nicht sicher bin und einige Kommentare dazu schätzen würde.

Für das elektrostatische E-Feld und das zugehörige B-Feld in der Spule zeigt der Poynting-Vektor nach außen.
Ist das die aus der Spule fließende Energie, die dann in den Widerstand eintritt?

Für das induzierte E-Feld und das zugehörige Magnetfeld zeigt der Poynting-Vektor nach innen und ist immer gleich groß wie der dem elektrostatischen E-Feld zugeordnete Poynting-Vektor.

Stellt der nach innen gerichtete Poynting-Vektor, der mit dem induzierten E-Feld verbunden ist, den Energiefluss in die Spule dar, der aus der Arbeit stammt, die von den externen Kräften geleistet wird, die die Spule drehen?

---

Wenn das, was ich oben geschrieben habe, richtig ist, kann das Einführen einer Spannungsquelle mit ihrem positiven Anschluss auf der rechten Seite im obigen Diagramm in Reihe mit dem Widerstand und der Spule dazu führen, dass eines von drei Dingen passiert.

Der erste ist, dass der Strom im Stromkreis weiterhin in die gleiche Richtung fließt.
Die Analyse der Spannungsquelle ist genau die gleiche wie die für den Widerstand, wobei der Poynting-Vektor nach innen zeigt und eine Leistung von zeigt$V_s I$in die Spannungsquelle.

Die Anwendung von KVL gibt$V_B - V_S - V_R= 0 \Rightarrow V_B I = V_S I + V_R I$

Was als Leistungsaufnahme des Generators interpretiert werden kann$V_B I$gleich der Verlustleistung im Widerstand und in der Spannungsquelle.

Die zweite Möglichkeit ist die$V_S$ist ein solcher Wert, dass kein Strom in der Schaltung fließt.

Die letzte Situation ist, wenn die Spannungsquelle$V_S$groß genug ist, um ein E-Feld in der Schaltung außerhalb davon zu erzeugen, das groß ist, um den Strom in die entgegengesetzte Richtung zu treiben.
Man ist von einem Generator zu einem Motor übergegangen$V_B$wird manchmal als Gegen-EMK bezeichnet.

Bei dieser Änderung der Stromrichtung hat der Widerstand wie die Spule einen Poynting-Vektor nach innen, aber für die Spannungsquelle ist der Poynting-Vektor nach außen gerichtet.

Die Anwendung von KVL gibt$V_S - V_B – V_R = 0 \Rightarrow V_S I= V_BI +V_R i$

Die von der Spannungsquelle abgegebene Leistung entspricht der mechanischen Arbeit, die der Motor pro Sekunde verrichtet, plus der im Widerstand verbrauchten Leistung.