Wie berechne ich elektrische Felder aufgrund von Strömen magnetischer Dipole?

Kurzfassung meiner Frage:

Verursachen Dipolströme Felder? Ich denke, Ströme ausgerichteter magnetischer Dipole verursachen ein elektrisches Feld, aber ich weiß nicht, wie ich dieses Feld berechnen soll, außer in den einfachsten Fällen. Ich möchte wissen wie!

Vollversion meiner Frage:

Angenommen, ich habe einen Draht (oder ein Rohr), der einen stetigen Partikelstrom führt, und der Draht hat die Form einer Sinuskurve in der X - Y Ebene mit räumlicher Periode P und Amplitude A . Ich möchte die elektrischen und magnetischen Felder berechnen, die durch den Strom im Draht erzeugt werden.

  1. Wenn die strömenden Teilchen geladen sind, kann ich das Biot-Savart-Gesetz verwenden, um ein Integral zu schreiben und (zumindest numerisch) das resultierende Magnetfeld zu berechnen. In der Grenze wo A = 0 , kann ich meine Ergebnisse mit einer Lorentz-Boost-Berechnung vergleichen und sehen, dass die beiden Methoden übereinstimmen.

  2. Wenn die strömenden Teilchen elektrische Dipole sind, die in die Richtung zeigen Z -Richtung sind die Dinge komplizierter, aber ich kann immer noch das Biot-Savart-Gesetz anwenden und die Magnetfelder von zwei gleichen, entgegengesetzten, verschobenen sinusförmigen elektrischen Strömen addieren, um ein Nettomagnetfeld zu erhalten, das jedoch viel schneller abfällt als im vorigen Fall. Ich kann meine Ergebnisse immer noch mit dem Lorentz-Boost im vergleichen A = 0 Grenze, und stellen Sie fest, dass die beiden Methoden übereinstimmen.

  3. Wenn jedoch die strömenden Teilchen magnetische Dipole sind, die in die Richtung zeigen Z -Richtung, ich weiß nicht, wie ich ihre elektrischen Felder berechnen soll, außer in der A = 0 Grenze. In dieser Grenze kann ich ein Lorentz-Boost-Argument verwenden, um zu zeigen, dass ein elektrisches Feld existiert, aber ich kenne kein Äquivalent zum Biot-Savart-Gesetz für Ströme magnetischer Dipole. Ich wäre sehr überrascht, wenn das elektrische Feld darin verschwinden würde A > 0 Fall. Wie gehe ich vor? Wird das in Grundschulbüchern behandelt und habe ich es irgendwie übersehen?

    Ich bin versucht, diesen dritten Fall ähnlich wie Fall 2 als ein fiktives Paar gleicher und entgegengesetzter "magnetischer Ströme" zu modellieren und eine elektrische Version von Biot-Savart zu verwenden. Dies ergibt das richtige Ergebnis in der A = 0 Fall, und erscheint vernünftig in der A > 0 Fall, scheint aber in keinem Lehrbuch oder keiner Referenz, die ich finden kann, eine Grundlage zu haben. Was vermisse ich?

Vorbehalte:

  1. Wenn möglich, stützen Sie Ihre Antwort bitte auf glaubwürdige Lehrbücher oder von Fachleuten begutachtete Arbeiten . Wenn Sie beispielsweise denken, dass in den Maxwell-Gleichungen a fehlt v → × M → Begriff, ich würde sehr gerne einen externen Link sehen, um es zu sichern.

  2. Dies mag aus dem „Geist“ der Frage ersichtlich sein, aber ich hänge nicht besonders an der Sinusform des stromführenden Drahtes. Jede nicht triviale Form des Drahts, die einen Lorentz-Boost ausschließt, ist für mich gleichermaßen interessant. Ändern Sie also die Form des Drahts, wenn dies die Mathematik erleichtert.

Nur ein heuristischer Gedanke: Wenn Sie sich magnetische Dipole als "kleine Stromschleifen" vorstellen, heben sich bei vielen gleichen Dipolen nebeneinander die internen Ströme auf und Sie haben einen Kantenstrom. Sie kehren also zu Ihrem Bild von zwei sich gegenläufig ausbreitenden elektrischen Strömen zurück, die infinitesimal getrennt sind, nur jetzt in der xy-Ebene. Das ist für statische Dipole. Um einen Strom zu erhalten , stellen Sie sich vor, Sie machen einen Lorentz-Boost, und Sie erhalten am Ende gegenläufige Ströme ungleicher Größe .
Es ist in Ordnung, sie als kleine Stromschleifen zu betrachten, aber ich denke nicht, dass dies die Berechnung einfacher oder schwieriger macht.
@MichaelBrown: Du hast dich im letzten Satz verirrt. Der Lorentz-Boost macht die Ladungsdichte auf beiden Seiten ungleich, nicht den Strom. Hier ist eine detailliertere Analyse zur Verstärkung einer Stromschleife: physicalforums.com/showthread.php?t=631446
Ich glaube nicht, dass Sie in Grundschulbüchern etwas verpasst haben: Die Situation, die Sie beschreiben, ist in hohem Maße "erfunden" (ich meine dieses Wort nicht negativ) in dem Sinne, dass es extrem schwierig wäre, sie im Experiment einzurichten world: Ich denke an Elektronen, deren Spins alle in Z-Richtung ausgerichtet sind. Ich bin mir also sicher, dass Autoren von Grundschulbüchern, wenn sie überhaupt daran denken, es nicht in ein erstes Lehrbuch aufnehmen würden. Die Frage ist ein ausgezeichnetes und faszinierendes Gedankenexperiment +1, und ich werde sicherlich darüber nachdenken, aber ich denke, BenCrowell und @MichaelBrown haben gute Ideen, also können sie gut antworten.
@BenCrowell Danke. Jetzt, wo ich den Lorentz-Boost tatsächlich mache, sehe ich, dass Sie gleiche und entgegengesetzte Ladungsdichten und Ströme in den Drähten erhalten (ich bekomme keine ungleichen Ladungsdichten, nur entgegengesetzte Vorzeichen). In der Konfiguration des OP erhalten Sie also orthogonale elektrische und magnetische Dipolfelder. Ein magnetischer Dipol entlang der z-Achse und ein elektrischer Dipol in der xy-Ebene orthogonal zum Strom.
@MichaelBrown: Jetzt, wo ich den Lorentz-Boost tatsächlich mache, sehe ich, dass Sie gleiche und entgegengesetzte Ladungsdichten und Ströme in den Drähten erhalten (ich bekomme keine ungleichen Ladungsdichten, nur entgegengesetzte Vorzeichen). Ich denke, die Diskrepanz liegt daran, dass ich nur an die Ladungsdichte der fließenden Ladungen gedacht habe, während Sie vermutlich die Gesamtladungsdichte im Sinn hatten, die einige entgegengesetzte Ladungen enthält, die nicht fließen und die die Dichte der fließenden Ladung aufheben der Ruherahmen.
@BenCrowell Ja, ich habe gerade eine Lorentz-Transformation der gesamten vier Ströme der beiden Drähte durchgeführt (einer ist nur das Negativ des anderen). Ich denke, es besteht keine Notwendigkeit, es weiter aufzuschlüsseln, da dies sowieso fiktive Drähte sind. :)

Antworten (2)

Da anscheinend einige Zweifel darüber bestanden haben, ob das elektrische Feld eines verstärkten magnetischen Dipols nicht Null ist, kann diese Arbeit von Hnizdo (was für ein großartiger Name!) Hilfreich sein. Abschnitt 3 berechnet explizit das Feld. Dies alles hängt auch tangential mit dem Mansuripur-Paradoxon zusammen.

Ich denke, die Technik von dj_mummy funktioniert, aber sie hat den Nachteil, dass Sie eine Berechnung für einige Endliche durchführen müssen l und nehmen Sie die Grenze l → 0 . Hier ist eine andere Technik, die das vermeidet.

Das Vektorpotential aufgrund eines magnetischen Dipols in Ruhe ist A μ = ( ϕ , A ) , mit ϕ = 0 Und A = M × R ^ / R 2 . Machen Sie einen Lorentz-Boost auf diesem Vektor, und Sie erhalten ein Potenzial A μ ' für einen beweglichen Dipol. Tatsächlich interessiert Sie nur die zeitliche Komponente davon, sodass Sie den Rest nicht berechnen müssen. Integrieren Sie dies über alle Dipole (jeder mit seinem eigenen Positions- und Geschwindigkeitsvektor) und nehmen Sie dann den Gradienten, um das elektrische Feld zu erhalten. Beachten Sie, dass obwohl das elektrische Feld ist − ∇ ϕ − ∂ A / ∂ T , der zweite Term kann vernachlässigt werden; der integrierte Wert von A ist konstant in der μ ' Rahmen, da der Dipolstrom in diesem Rahmen statisch ist.

Eine andere Herangehensweise, die von Art Brown in einem Kommentar unten vorgeschlagen wird, geht so. Hnizdo zeigt, dass wir in ausreichender Näherung und unter Vernachlässigung einiger Feinheiten im Zusammenhang mit der Definition von Multipolen einen magnetischen Dipol annehmen können M im Laborrahmen elektrische Eigenschaften zu haben, die durch ein elektrisches Dipolmoment gekennzeichnet sind P ' = v × M (in Einheiten mit C = 1 ). Dies lässt das ganze Problem direkt analog zu der Idee aussehen, das Biot-Savart-Gesetz durch Zusammenstellen einer Sammlung magnetischer Dipole zu entwickeln. Obwohl ich es nicht im Detail ausgearbeitet habe, klingt es so, als könnten Sie etwas bekommen, das ein genaues Analogon von ist das Biot-Savart-Gesetz.

v nette antwort. Warum nicht aus Gleichung 46 Ihrer Referenz hinzufügen, dass ein B-Dipol M 0 mit Geschwindigkeit v erhält ein elektrisches Dipolmoment v × M 0 / C 2 (mks, nicht relativistisch), was kann dann über die "Schaltung" integriert werden? Sehr Biot-Savart-like...
@ArtBrown: Coole Idee! Erledigt.
Die Hnizdo-Referenz ist gut. Ich denke daran, ihm darüber zu schreiben; Es ist ein kleiner Effekt, aber ich bin überrascht, dass er in Jackson nicht erwähnt wird. (Wenn ja, habe ich es übersehen.)
Das erinnert mich: Ich habe eine alte Frage, die im Geiste dieser ähnlich ist, die Sie vielleicht interessieren könnte. physical.stackexchange.com/q/6581/2359

Ich denke, Ihre Prämisse 3) mit dem Lorentz-Boost-Argument ist nicht richtig. Betrachten wir die A = 0 Fall ein Strom magnetischer Dipole (orientiert in z -Richtung) einströmt X -Richtung. Dann ändert sich das Magnetfeld NICHT und mit Faradays ∇ ×   E → = − ∂ B → ∂ T , ∇ ×   E → verschwindet, also gibt es kein dynamisches elektrisches Feld. Aber aus Symmetriegründen gibt es auch kein statisches elektrisches Feld (stellen Sie sich vor, Ihre Dipole zeigen nach innen − z Richtung) und weil nirgendwo ein Überschuss an elektrischer Ladung vorhanden ist.

(Ein solches Symmetrie-Argument kann auch für Prämisse 2 gelten), daher wäre es schön zu sehen, dass es im Grenzfall funktioniert, wenn der Abstand der Ladungen gegen Null geht.)

Ich denke, das gilt auch für die Sinusform.

[Diese Antwort wurde bearbeitet, da ich keine Kommentarrechte habe]

Vielleicht lese ich deine Antwort falsch. "Das Magnetfeld ändert sich" ... meinten Sie "nicht"? Ich stimme zu, dass es kein dynamisches elektrisches Feld oder irgendetwas gibt, das sich mit der Zeit ändert.
Ihr Symmetrie-Argument würde jedoch gleichermaßen auf Fall 2 und Fall 3 zutreffen. Glauben Sie, dass es in Fall 2 ein Feld gibt?
@Andrew: Wenn Sie möchten, dass Classical Physicist auf Ihren Kommentar antwortet, müssen Sie seiner Antwort +1 geben .
Okay, zu Fall 2, fließende elektrische Dipole. Ich nehme an, wir sind uns einig, dass es ein elektrisches Feld gibt? Im A = 0 Im Ruhesystem der elektrischen Dipole ist das Magnetfeld null. Verwenden Sie einen Lorentz-Boost, um das Magnetfeld in einem Rahmen zu berechnen, in dem sich die Dipollinie bewegt (in jede Richtung), und Sie werden feststellen, dass das Magnetfeld in diesem Rahmen ungleich Null ist. Die Symmetrie wird durch die Bewegung der Dipole gebrochen.
Entschuldigung für das Fehlen nicht. Im Fall 2) stellt man sich einen elektrischen Dipol mit endlichem Ladungsabstand vor und erzeugt aus den Differenzen ein kleines Magnetfeld. Aber ich denke, Sie können sich keinen magnetischen Dipol vorstellen, der aus zwei Monopolen in endlicher Entfernung besteht.
Kennen Sie den Lorentz-Boost?
Aber aus Symmetriegründen gibt es auch kein statisches elektrisches Feld (stellen Sie sich vor, Ihre Dipole zeigen in -z-Richtung) OK, und lassen Sie den Dipol sich in +x-Richtung bewegen. Stellen Sie sich einen Punkt vor, der vom Dipol in z-Richtung verschoben ist, wo sich das Feld des Dipols befindet B z in einem eigenen Ruherahmen. Eine Lorentz-Transformation in den Laborrahmen ergibt E j ' = γ v B z , die aufgrund der Symmetrie nicht verschwindet und überhaupt nicht verschwindet.
es gibt nirgendwo einen Überschuss an elektrischer Ladung Stimmt nicht. Wenn Sie beispielsweise eine quadratische Stromschleife in der xy-Ebene nehmen und entlang der x-Achse verstärken, wird die Ladungsdichte entlang der beiden Seiten parallel zu x aufgrund ungleicher Lorentz-Kontraktionen ungleich. Mehr Details hier: physicalforums.com/showthread.php?t=631446
Ok Ben, du hast recht. Meine Symmetrie-Argumente waren nicht durchdacht genug.
Wie berechne ich elektrische Felder aufgrund von Strömen magnetischer Dipole?
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