Fluktuationsdissipationssatz im Keldysh-Formalismus

Worauf Sie sich beziehen, ist die Form des Fluktuations-Dissipations-Theorems (FDT), das den dynamischen Strukturfaktor mit einer verzögerten Anfälligkeit in Beziehung setzt. Die Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, gilt für bosonische Systeme, in diesem Fall kann die RHS als Suszeptibilität interpretiert werden, während die LHS durch die Beziehung mit dem dynamischen Strukturfaktor in Beziehung steht$G^{<} = G^{K}+\frac{1}{2}\left(G^A-G^R\right)$. Dies führt zu$G^{<}(\epsilon) = n_{B}(\epsilon)\mbox{Im}\left[G^R(\epsilon)\right]$, Wo$n_{B}(\epsilon)$ist die Bose-Verteilungsfunktion.

Für ein fermionisches System gilt jedoch$n_{B}(\epsilon)$muss ersetzt werden durch$n_{F}(\epsilon)$- die Fermi-Verteilungsfunktion - in der obigen Gleichung. Dies ergibt eine fermionische FDT. Die bekannte bosonische FDT kann in diesem Fall wiederhergestellt werden, indem die Zwei-Teilchen-Anregungen berücksichtigt werden, die unter Verwendung des Wick-Theorems als Produkt von Ein-Teilchen-Anregungen ausgedrückt werden können.

$\Pi^{R}(t,t^{'}) = G^{R}(t,t^{'})G^{K}(t^{'},t) + G^{K}(t,t^{'})G^{A}(t^{'},t)$ist die verzögerte Anfälligkeit , und ähnlich kann man auch einen Ausdruck schreiben für$\Pi^{<}$bezüglich$G^{R,A,K}$

Im Gleichgewicht kann man zeigen:$\Pi^{<}(\epsilon) = n_{B}(\epsilon)\mbox{Im}\left[\Pi^{R}(\epsilon)\right]$. Dies ist die bekannte Form von FDT. Eine ausführliche Diskussion finden Sie in Kamenevs Buch Kap. 9.

Lineare Antwort und Greensche Funktionen
In der linearen Antworttheorie, wenn wir Hamiltonian gegeben haben$H=H_0+\lambda (t)X$, die Antwort der Variablen$Y(t)$wird von gegeben

$$\langle Y^h(t)\rangle = \langle Y(t)\rangle+ \int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)\lambda(t_1),$$ wobei die Antwortfunktion nur eine verzögerte Funktion für Bediener ist$Y(t), X(t_1)$(Bei Operatoren ohne Index wird die Zeitentwicklung nur von bestimmt$H_0$): $$G_{YX}^r(t,t_1)= \left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)=\left[G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1)\right]\theta(t-t_1).$$ Die Suszeptibilität ist nur die Fourier-Transformation dieser Funktion, während die erweiterte Green-Funktion definiert ist als $$G_{YX}^a(t,t_1)= \left\langle\frac{i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)=\left[G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1)\right]\theta(t_1-t),$$ so dass $$G_{YX}^r(t,t_1) - G_{YX}^a(t,t_1) = G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1) = \left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle$$ Beachten Sie auch, dass der Frequenzraum (dh für Fourier-Transformationen): $$G_{YX}^r(\omega) - G_{YX}^a(\omega) = G_{YX}^>(\omega) - G_{YX}^<(\omega),$$ als einfache Folge der Definitionen.

Lehmann-Darstellung
In der Eigenbasis des ungestörten Hamilton-Operators$H_0|n\rangle=E_n|n\rangle$die größere Green-Funktion hat die folgende Darstellung

$$G_{YX}^>(t,t_1)=\frac{-i}{\hbar}\left\langle Y(t)X(t_1)\right\rangle= \frac{-i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_n}e^{-i(E_m-E_n)(t-t_1)/\hbar}Y_{nm}X_{mn},\\ G_{YX}^>(\omega) = \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_n}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)$$ Ähnlich $$G_{YX}^<(\omega) = \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_m}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)=\\ \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta (E_n+\hbar\omega)}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)=e^{-\beta\hbar\omega}G_{YX}^>(\omega)$$ Wir haben also $$G_{YX}^>(\omega)\pm G_{YX}^<(\omega)=\left(1\pm e^{-\beta\hbar\omega}\right)G_{YX}^>(\omega)\Rightarrow\\ G_{YX}^>(\omega)+ G_{YX}^<(\omega)=\frac{1+e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\left[G_{YX}^>(\omega)- G_{YX}^<(\omega)\right]=\\ \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\left[G_{YX}^>(\omega)- G_{YX}^<(\omega)\right].$$ Wenn wir den linken Teil dieses Ausdrucks als Definition der Keldysh-Green-s-Funktion erkennen, haben wir somit $$G_{YX}^K(\omega)= \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\left[G_{YX}^r(\omega)- G_{YX}^a(\omega)\right]$$

Ist das die FDT?

• Beachten Sie, dass die von uns definierte Keldysh-Funktion gegeben ist durch $$G_{YX}^K(t,t_1) - G_{YX}^a(t,t_1) = \frac{-2i}{\hbar}\left\langle\frac{1}{2}\{Y(t),X(t_1)\}\right\rangle,$$ das heißt, es ist einfach die Korrelationsfunktion (bis auf einen Faktor), deren Fourier-Transformation die Rauschintensität ist. Damit haben wir die Aussage des Fluktuations-Dissipations-Theorems.
• Diese Beziehung gilt auch, wenn$X$Und$Y$sind Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, bei denen die Green-Funktionen die vertrautere Form annehmen. Seine Interpretation als FDT wird jedoch weniger zuverlässig, es sei denn, wir führen verallgemeinerte Anfälligkeiten ein. Herkömmlicher entspricht die Differenz zwischen der fortgeschrittenen und der verzögerten Green-Funktion der Zustandsdichte, während die Keldysh-Funktion die Teilchenverteilungsfunktion ist.
• Obwohl die Beziehung über die lineare Antwort hinaus gilt, ist sie immer noch eine Aussage über die linearen Antwortkoeffizienten! Dies steht im Gegensatz zur nichtlinearen FDT, die in der Regel Aussagen über das Ansprechverhalten höherer Ordnung impliziert (higher order in$\lambda(t)$).

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Alte Antwort
Der Unterschied der retardierten und der fortgeschrittenen Green-Funktion auf der rechten Seite dieser Gleichung ist eigentlich die Zustandsdichte, dh das, was Sie einen Strukturfaktor nennen könnten , während$G^K$testet die Möglichkeiten des Hinzufügens/Entfernens eines Partikels, dh die Anfälligkeit .

Was mich persönlich skeptisch gegenüber der Interpretation dieser Gleichung macht, ist, dass die Formulierung in Bezug auf den Keldysh-Formalismus oberflächlich die Illusion vermittelt, dass FDT außerhalb des Gleichgewichts angewendet werden kann (oder zumindest eine so einfache Form außerhalb des Gleichgewichts hat), während dies nicht der Fall ist Fall.