Form einer Umlaufbahn innerhalb eines Planeten

Question

Form einer Umlaufbahn innerhalb eines Planeten

SE - hör auf, die Guten zu feuern

Wenn Sie unter der Oberfläche eines Planeten kreisen und den Widerstand von Felsen ignorieren (oder in einem Vakuumtunnel kreisen), wie ist die Form der Umlaufbahn? Üblicherweise gilt das Proportionalitätsgesetz für die Schwerkraft $\frac{1}{r^2}$ , aber in diesem Fall skaliert es mit dem Radius $r$ , die an Stärke zunimmt, wenn Sie sich von der Mitte entfernen. Die potentielle Energie ist einfach zu berechnen, ebenso der Drehimpuls, aber die Gesamtform ist mir nicht ganz klar. Wenn ich dies mit Zeitinkrementen simuliere, scheint mir, dass die Form eine Ellipse ist, mit dem Zentrum des Planeten als Zentrum (nicht Fokus). Dies ist jedoch nur eine Spekulation meinerseits, da eine solche Methode keine zuverlässigen Ergebnisse liefert.

Vereinfachungen vorgenommen: Einheitliche Dichte, Planet dreht sich nicht, Masse des umkreisenden Körpers vernachlässigbar für die Hauptmasse und umkreisendes Objekt, das nicht von anderen Kräften wie Luftwiderstand beeinflusst wird. Natürlich schätze ich auch Antworten, die diese Faktoren abdecken und auch, wie sich ein Objekt verhält, das sowohl innerhalb als auch außerhalb des Planeten umkreist. Aber das ist nur ein Bonus

Beispiel einer Umlaufbahn mit proportionaler Schwerkraft $r$ :

HopDavid

Ich hatte eine ähnliche Frage gestellt: math.stackexchange.com/questions/834143/…

SE - hör auf, die Guten zu feuern

@ HopDavid Aber ist das eine Ellipse?

HopDavid

@Hohmannfan Ich weiß es nicht.

TildalWelle

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

Antworten (1)

Form einer Umlaufbahn innerhalb eines Planeten

Ich hatte eine ähnliche Frage gestellt: math.stackexchange.com/questions/834143/…
Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

schweber · Answer 1

Sie haben Recht, es ist eine perfekte Ellipse mit dem Mittelpunkt des Planeten im geometrischen Mittelpunkt der Ellipse.

Ein bisschen Physik:

Die Kraft auf einen Körper mit Masse $m$ im Gravitationsfeld eines Planeten mit Radius $R$ und Schwerkraft $g$ an seiner Oberfläche ist:

\vec{F} (\vec{R}) = {\begin{cases} - M \cdot G \cdot \frac{\vec{R}}{R} & für & | \vec{R} | \leq R \\ - M \cdot G \cdot R^{2} \cdot \frac{\vec{R}}{| \vec{R} |^{3}} & anders \end{cases}

$\vec{F}(\vec{r})=\begin{cases}-m\cdot g\cdot \frac{\vec{r}}{R} &\text{for} &|\vec{r}|\le R\\ -m\cdot g\cdot R^2\cdot\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} &\text{else}\end{cases}$

Außerhalb des Planeten müssen Sie die Differentialgleichung lösen

M \ddot{\vec{R}} = - M \cdot G \cdot R^{2} \cdot \frac{\vec{R}}{| \vec{R} |^{3}}

$m\ddot{\vec{r}}=-m\cdot g\cdot R^2\cdot\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}$

das ist ein bisschen schwierig aufgrund der $\frac{1}{|\vec{r}|^3}$ . (Tatsächlich verwendet man andere Ansätze)

Aber innerhalb des Planeten ist es einfach

M \ddot{\vec{R}} = - M \cdot G \cdot \frac{\vec{R}}{R}

$m\ddot{\vec{r}}=-m\cdot g\cdot \frac{\vec{r}}{R}$

Oder mit $\vec{r}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ in der Ebene des bewegten Körpers:

\begin{aligned} \ddot{X} (T) & = - \frac{G}{R} X (T) \\ \ddot{j} (T) & = - \frac{G}{R} j (T) \end{aligned}

$\begin{align}\ddot{x}(t)&=-\frac{g}{R}x(t) \\ \ddot{y}(t)&=-\frac{g}{R}y(t)\end{align}$

Das sind zwei unabhängige lineare Differentialgleichungen, die Lösung ist einfach

\vec{R} (T) = (\begin{matrix} X \\ j \end{matrix}) = (\begin{matrix} A Sünde (ω T + φ) \\ B Sünde (ω T + ψ) \end{matrix})

$\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A\sin(\omega t+\varphi)\\B\sin(\omega t+\psi)\end{pmatrix}$

Dies ist eine Ellipse mit den Halbachsen A und B. $\omega=\sqrt{g/R}$ definiert den Zeitraum

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{R}{G}}

$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{ R}{g}}$

Anmerkungen:

Dies setzt natürlich voraus, dass sich der Körper immer innerhalb des Planeten befindet, dh $A,B\le R$ . Es wäre interessant, Flugbahnen zu sehen, wo der Körper den Planeten verlässt.
Es ist bemerkenswert, dass die Periode für einen bestimmten Planeten konstant ist und nicht von den Bahnparametern abhängt.
Setzt man zB $A=0$ Und $B=R$ , erhalten Sie den in seinem Kommentar erwähnten Sonderfall @hopDavid
Wenn Sie Schwierigkeiten haben, dies zu verstehen / sich vorzustellen: Die Gleichungen für ein Pendel sind identisch (mit $\omega=\sqrt{g/l}$ ), also verhalten sich ein Pendel und der Körper gleich.
Wie bei normalen Umlaufbahnen haben Körper und Planet beide eine elliptische Flugbahn mit den geometrischen Zentren im Schwerpunkt.

Form einer Umlaufbahn innerhalb eines Planeten

SE - hör auf, die Guten zu feuern

HopDavid

SE - hör auf, die Guten zu feuern

HopDavid

TildalWelle

Antworten (1)

schweber

Ein bisschen Physik:

Anmerkungen:

Wie berechnet man die Apoapsis der suborbitalen Flugbahn?

Wie viele Stunden dauert der längstmögliche suborbitale Flug der Erde?

Wie kann ich das Gewicht berechnen, das ein Insasse eines Luft-Raumfahrzeugs während suborbitaler, aber nicht ballistischer Flugbahnen erfährt?

Falcon 9 maximale Punkt-zu-Punkt-Landereichweite

Bereitstellung mehrerer Satelliten aus einer zweiten Stufe

Wackelt die ISS nach Norden/Süden?

Wahre Anomalie der kreisförmigen Umlaufbahn

Wie hat die Mondlandefähre an den Rest von Apollo 11 angedockt und was ist das „CSM“?

Woher weiß ich eher mathematisch als durch Beobachtung, ob ein Mond voll ist?

Was ist das Delta-V-Äquivalent zum Überqueren der Kármán-Linie im vertikalen (suborbitalen) Flug?