Fourier-Transformation in einem halbunendlichen Ferromagneten

Ich habe eine (einfache?) Frage zu Fourier-Transformationen.

Betrachten Sie einen 1D-Hamiltonoperator der Form

H = − J S ∑ J = 1 N − 1 A J + 1 † A J + A J † A J + 1 − A J + 1 † A J + 1 − A J † A J
Wo J ist eine Kopplung zwischen zwei nächsten Nachbarn, und S ist die Spinprojektion entlang einer z-Achse, also einer ferromagnetischen Standardkette mit N Gitterplätze und Gitterabstände D .

Um dies zu diagonalisieren, führt man typischerweise die fouriertransformierten Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren ein

A J = 1 N ∑ k e ich k J D A k .
Das ist in Ordnung, solange wir solche periodischen Randbedingungen annehmen A J + N = A J .

Betrachten wir nun den Fall, wenn wir lassen N → ∞ . In diesem Fall ist es nicht mehr sinnvoll, periodische Randbedingungen zu verwenden. Wie definieren wir dann eine Fourier-Transformation, um ein solches Problem zu diagonalisieren?

Ist es so einfach wie nur zu schreiben

A J = ∫ D k e ich k J D A k
?

Antworten (1)

"Betrachten Sie nun den Fall, wenn wir N→∞ lassen. In diesem Fall macht es keinen Sinn mehr, periodische Randbedingungen zu verwenden."

Warum macht es keinen Sinn? Ich meine, aus physikalischer Sicht nehmen Sie einfach an, dass die Anzahl der Gitterplätze ziemlich groß ist, dh Sie nehmen die Kontinuumsgrenze (mathematische Unendlichkeit ist nicht akzeptabel und, sagen wir, für die Physik unpraktisch). Warum können Sie also nicht dieselben Randbedingungen aufstellen, um Ihr Problem für große N zu lösen?

Und die Fourier-Transformation wird genau das, was Sie geschrieben haben.

Stimmt, okay. Lassen Sie mich die Sache interessanter machen. Betrachten Sie das bei J = 1 es gibt eine Grenze. Zum Beispiel ein Normalmetall, das einem eng bindenden Hamiltonian gehorcht. Die Gitterpunkte interessieren uns nicht J < 1 , ich habe es nur so eingeführt, dass wir nicht "schummeln" und periodische Randbedingungen verwenden können. Wissen Sie, ob wir den Hamilton-Operator noch für diagonalisieren können? J ≥ 1 durch einen Ansatz ähnlich einer Fourier-Transformation? Ich dachte an den Ansatz A k † = ∑ A = 1 N a A k A † A im endlichen Fall, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich mit dem unendlichen Fall umgehen soll.
Mein vorheriger Kommentar war zu lang, aber ich dachte daran, ihn zu lassen
a A k = R k e ich π k A / N + l k e − ich π k A / N .
Wie Sie sehen, gerät man in Schwierigkeiten, wenn man es zulässt N nähern sich der Unendlichkeit.
Sie können in diesem Fall keine Fourier-Transformationen verwenden. Sie müssen über Übersetzungsinvarianz verfügen, um es verwenden zu können, und deshalb erlegen wir periodische Prämienbedingungen auf. Wenn Sie eine Grenze berücksichtigen, müssen Sie Oberflächeneffekte berücksichtigen, und ich denke, die gesamte Analyse ändert sich drastisch. Hoffe, ich habe geholfen.
Fourier-Transformation in einem halbunendlichen Ferromagneten
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