Wie kann ich den Matrixwert des Bindungsoperators ableiten?

Ich folge Abschnitt 7.3 in Wechselwirkung von Elektronen und Quantenmagnetismus von Assa Auerbach.

Die spinkohärenten Zustände in der Schwinger-Boson-Darstellung sind gegeben durch:

$$| \Omega \rangle_S = e^{iS\chi} \frac{ (u a^{\dagger}+ v b^{\dagger})^{2S}}{\sqrt{(2S)!}} | 0\rangle$$

Der Vernichtungsoperator$a$fungiert als Derivat in Bezug auf$a^{\dagger}$, daher:

$$a | \Omega \rangle_S = e^{iS\chi} u \frac{ (u a^{\dagger}+ v b^{\dagger})^{2S-1}}{\sqrt{(2S)!}} | 0\rangle = \sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} u| \Omega \rangle_{S-\frac{1}{2}}$$ Ähnlich: $$b | \Omega \rangle_S =\sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} v| \Omega \rangle_{S-\frac{1}{2}}$$ $$\langle \Omega|_S a^{\dagger} = \sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} u^{*} \langle \Omega|_{S-\frac{1}{2}}$$

Und

$$\langle \Omega|_S b^{\dagger} = \sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} v^{*} \langle \Omega|_{S-\frac{1}{2}}$$

Wenn alle vier Operationen durchgeführt werden, werden alle kohärenten Zustände transformiert$S-frac{1}{2}$Zustände, also ist ihr inneres Produkt eins. Damit erhalten wir die zweite Gleichheit: Die dritte Gleichheit ergibt sich aus den Definitionen der Schwingerbosonkoordinaten in Bezug auf die Kugelkoordinaten

$$u = \cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi}{2}}$$ $$v = \sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi}{2}}$$

Der Begriff$u_i^{*}u_j+ v_i^{*}v_j$:

Wenn einer der Punkte am Nordpol liegt ($u_i=1, v_i=0$) dieser Ausdruck ist gerecht$\cos\frac{\theta_j}{2}$. In diesem Fall ist das Skalarprodukt der beiden kohärenten Vektoren

$$\Omega_i \cdot \Omega_j = \cos\theta_j = 2 (\cos\frac{\theta_j}{2})^2-1$$ .

Da wir immer einen der Punkte auf den Nordpol legen können, gilt:

$$u_i^{*}u_j+ v_i^{*}v_j = \sqrt{\frac{1 + \Omega_i \cdot \Omega_j }{2}}$$ Bis auf eine Phase. Diese Phase wurde durch direkte Substitution der kohärenten Vektoren durch die Auerbach-Gleichung (7.19) berechnet, was genau die zweite Gleichheit in der Frage ergibt.