Frage zur Frequenznäherung eines Pendels

Ich habe ein Problem mit der Formel für die Frequenz einer Pendelschwingung für kleine Winkel.

Wenn ich Drehmoment und Drehimpuls verwende, näherungsweise Sünde ⁡ θ Zu θ mit einem Taylorpolynom 2. Ordnung erhalte ich die Standardformel von

ω = G L .

Wenn ich jedoch die potentielle Energie verwende, erhalte ich anscheinend eine unsinnige Antwort. Einstellung der 0 Potenzial an der Decke, die j Koordinate der Masse M als Funktion von θ Ist:

H = − L cos ⁡ θ ,
daher ist die Gravitationspotentialenergie
U ( θ ) = − M G L cos ⁡ θ .
Unter Verwendung eines Taylor-Polynoms 2. Ordnung erhalte ich diesmal:
U ( θ ) ≈ − M G L ( 1 − θ 2 2 ) = − M G L + 1 2 M G L θ 2 = C + 1 2 k e F F θ 2 .
Damit sollte eigentlich die Frequenz des Pendels für kleine Winkel sein
ω = k e F F M = G L ,
was bei den Abmessungen nicht einmal Sinn macht. Also was habe ich hier falsch gemacht?

Antworten (2)

Die allgemeine Regel (eine Baby-Version der Lagrange-Mechanik) lautet, wenn Sie in Bezug auf eine Variable arbeiten Q , und die kinetische und potentielle Energie haben die Form

K = 1 2 M eff ( D Q D T ) 2 , v = 1 2 k eff Q 2
dann ist die Frequenz der Schwingungen
ω = k eff M eff .
Das Problem mit Ihrer Ableitung ist, dass Sie das Recht nicht verwendet haben M eff . Sie arbeiten in Bezug auf die Variable Q = θ . Die kinetische Energie ist
K = 1 2 M v 2 = 1 2 M L 2 ( D θ D T ) 2
was bedeutet M eff = M L 2 . Das Einstecken gibt die gewünschte Antwort.

Die Gesamtsystemenergie ist potentiell + Kinetik: E = ( 1 / 2 ) M v 2 − M G L + ( 1 / 2 ) M G L θ 2

Da es sich mit der Zeit nicht ändert: D E D T = M v ( D v D T ) + M G L θ ( D θ D T ) = 0

M ω L ( D 2 θ D T 2 ) L + M G L θ ω = 0

( D 2 θ D T 2 ) = − G L θ

So, ω 2 = G L

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