Fragen zum zusammenhängenden und Hausdorff-topologischen Raum

1: lassen$X$sei ein Hausdorff-topologischer Raum ,$Y \subseteq X$ist nichtleer und dicht in$X$. lassen$f: X \longrightarrow X$eine stetige Funktionen sein, so dass$\forall y \in Y, f(y) = y$.

Ist$f$eine identische Funktion?

Meine zweite Frage ist:

2: Lass$A$eine zusammenhängende Teilmenge des topologischen Raums sein$X$Und$Y \subseteq X$.

Können wir sagen, ob$A \bigcap Y \neq \emptyset$Und$A \bigcap Y^{c}\neq \emptyset$, Dann$A \bigcap \partial Y \neq \emptyset$? Warum?