Homöomorphismus vom Nebenklassenraum G/GxG/GxG/G_x zum Orbit xGxGxG

Ich arbeite gerade eine Reihe von Notizen zu Faserbündeln durch und kämpfe darum, etwas zu beweisen, das in meinen Notizen erwähnt wird.

Frage

Lassen G sei eine topologische Gruppe und X Sei ein Hausdorff, parakompakter topologischer Raum mit Recht G − Aktion. Das heißt, es existiert eine kontinuierliche Karte, μ : X × G → X : ( X , G ) ↦ X G die die Gruppenaktionsaxiome erfüllt.

Für X ∈ X , lassen X G = { X G : G ∈ G } Und G X = { G ∈ G : X G = X } . Betrachten Sie schließlich die Menge G / G X = { G X G : G ∈ G } , wobei die Quotiententopologie durch die Projektion definiert ist P : G → G / G X : G ↦ G X G . Ich möchte die Behauptung beweisen, dass G / G X ist homöomorph zu X G ⊂ X .

Meine Versuche

Betrachten Sie die Karte ϕ : G / G X → X G : G X G ↦ X G . Ich konnte beweisen, dass diese Abbildung wohldefiniert, bijektiv und stetig ist. Damit es sich also um einen Homöomorphismus handelt, muss noch bewiesen werden, dass es sich um eine offene Abbildung handelt.

Nun, wenn G / G X kompakt wären, dann wäre die Behauptung bewiesen, weil stetige bijektive Funktionen von einem kompakten Raum zu einem Hausdorff-Raum Homöomorphismen sind. Allerdings weiß ich nicht ob G / G X ist in der Tat kompakt und ich konnte mir keinen Weg vorstellen, diese Tatsache zu beweisen/widerlegen. Also habe ich eine andere Methode ausprobiert.

Vermuten U ⊂ G / G X ist eine offene Menge. Dann, P − 1 ( U ) = { G : G X G ∈ U } ist geöffnet G Und ϕ ( U ) = { X G : G X G ∈ U } = { X G : G ∈ P − 1 ( U ) } . Wenn die Karte G → X G ist dann geöffnet ϕ ( U ) ist offen und der Satz ist bewiesen. Allerdings weiß ich auch nicht, wie ich das beweisen soll.

Zusammenfassung

Konkret stelle ich folgende Fragen.

Lassen G sei eine topologische Gruppe und X Sei ein Hausdorff, parakompakter topologischer Raum mit Recht G − Aktion, die sowohl kontinuierlich als auch angemessen ist.

  1. Ist G / G X unbedingt kompakt? Wenn ja, wie könnte ich das beweisen?

  2. Ist die Karte G → X G ist offen? Wenn ja, wie kann ich das beweisen?

  3. Wenn 1 und 2 falsch sind, wie beweise ich das? G / G X ≃ X G ?

Hinweis: Dank des Kommentars von Moishe Kohan habe ich die Bedingung eingefügt, dass die G-Aktion korrekt ist.

Was Sie zu beweisen versuchen, ist einfach falsch. Sie sollten von der Richtigkeit der Aktion ausgehen.
@MoisheKohan Danke. Ich nehme an, die Notizen, aus denen ich lese, haben diese Annahme übersehen. Ich werde die Annahme zu meiner Frage hinzufügen. Ich habe versucht, den Homöomorphismus mit dieser zusätzlichen Annahme zu beweisen, aber ich konnte den Beweis immer noch nicht abschließen. Können Sie einen Ansatz vorschlagen?
Der Beweis, dass ich weiß, funktioniert für metrisierbare X , was für deine Zwecke ausreichen sollte. Gib mir Bescheid. Übrigens, Anspruch 1 in Ihrem Beitrag ist falsch.

Antworten (1)

Statt der Parakompaktheit von X Ich gehe davon aus X ist 1. abzählbar (zB metrisierbar). Ich werde die Hausdorff-Annahme für behalten X . Davon gehe ich auch aus G ist metrisierbar (äquivalent ist Hausdorff und 1. zählbar). Ich bin mir ziemlich sicher, dass alle diese Annahmen ausreichen, um in den Notizen, die Sie gerade lesen, Faserbündel zu diskutieren.

Lemma. Nehme an, dass G × X → X ist eine richtige Aktion. Dann für jeden X ∈ X , die Bahnkarte Ö X : G → G X geht in einen Homöomorphismus über ϕ : G / G X → G X (wo die Umlaufbahn G X ist mit der aus induzierten Unterraumtopologie ausgestattet X ).

Nachweisen. Das weißt du bereits ϕ ist bijektiv (klar) und stetig. Daher müssen wir nur verifizieren, dass es invers ist ψ : G X → G / G X ist kontinuierlich. Seit X als 1. abzählbar angenommen wird, genügt es, dies für jede Folge zu beweisen G N ∈ G , Wenn G N X konvergiert zu j = G X ∈ G X , dann die Folge [ G N ] ∈ G / G X konvergiert zu [ G ] ∈ G / G X . Beachten Sie zunächst, dass die Teilmenge

K = { j } ∪ { G N X : N ∈ N }
ist kompakt. Daher sein Urbild in G (unter Ö X ) ist kompakt C (durch die Richtigkeit der Aktion). Deutlich, G N ∈ C für jede N . Nach der Extraktion können wir davon ausgehen G N konvergiert zu einigen H ∈ C (Hier gehe ich von der Annahme aus, dass G ist metrisierbar). Durch die Kontinuität der Bahnkarte, Ö X ( H ) = j , somit, [ H ] = [ G ] In G / G X . Dies beweist die Kontinuität von ψ . qed

Siehe auch meine Antwort hier für einen Beweis, der nur davon ausgeht G X ist geschlossen (anstelle der Korrektheit der Aktion), macht aber weitere Annahmen: G ist lokal kompakt und X ist vollständig metrisierbar.

Homöomorphismus vom Nebenklassenraum G/GxG/GxG/G_x zum Orbit xGxGxG
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