Fragen zur Ableitung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes

Ich folge dieser Ableitung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes:

https://thecuriousastronomer.wordpress.com/2013/10/28/derivation-of-the-rayleigh-jeans-law-part1/

Es gibt ein paar Punkte, die ich nicht ganz verstehe, und ich würde mich über Hilfe beim Verständnis freuen:

  • In Teil 2 wird erwähnt, dass das elektrische Feld an den Wänden Null sein muss, sonst würde das elektrische Feld Energie an die Hohlraumwände abgeben und selbst Energie verlieren. Aber warum ist dies erforderlich? Ich dachte, dass "thermisches Gleichgewicht" in dieser Situation bedeutet, dass Strahlung und Hohlraum die gleiche Temperatur haben; Also dachte ich, die Wand würde kontinuierlich eine gewisse Menge an Strahlung absorbieren, nur um sie wieder abzustrahlen und die gewonnene Energie wieder zu verlieren.

  • Es wird erwähnt, dass die Energie einer Mode ist k T . Dies ist das Ergebnis der Anwendung des Äquipartitionssatzes, der besagt, dass jeder Freiheitsgrad eine Energie hat 1 / 2 k T . Anscheinend hat also jeder Modus zwei Freiheitsgrade. Entsprechen diese zwei möglichen Polarisationen des Lichts? Aber aus anderen Quellen habe ich herausgefunden, dass die UV-Katastrophe aus der Idee entsteht, dass jede Mode diese Energie hat k T . Aber warum hat jeder Modus diese Energie? Würde dies bedeuten, dass die Freiheitsgrade tatsächlich die Zahlen sind N X , N j , N z ?

  • Und warum wenden wir überhaupt den Gleichverteilungssatz auf Strahlung an? Ich verstehe, dass für ein ideales Gas 1 / 2 k T ist die Energie pro Freiheitsgrad, aber weder die Strahlung noch der Hohlraum sind ideale Gase. Ich verstehe nicht einmal, was es bedeutet, dass Strahlung eine Temperatur hat T .

Ich würde mich sehr über Hilfe beim Verständnis dieser Ableitung freuen.

Antworten (1)

Ich dachte, die Wand würde ständig eine gewisse Menge an Strahlung absorbieren, nur um sie wieder abzustrahlen und die gewonnene Energie wieder zu verlieren.

Hier sind Sie verwirrt. Die Wand ist nach Annahme ein perfekter Strahlungsreflektor. Es absorbiert also keinen Teil der Strahlung. Es strahlt nach einer gewissen Thermalisierung keine Strahlung zurück - dies findet nicht statt. Die Wand kann eine völlig andere Temperatur als das System im Inneren haben oder überhaupt keine Temperatur haben. Zwischen dem System im Inneren und der Wand besteht kein thermisches Gleichgewicht. Der theoretische Zweck der perfekt reflektierenden Wände besteht darin, das System einschließlich der Strahlung vollständig einzuschließen, damit das System ein thermisches Gleichgewicht mit sich selbst erreichen kann. Ohne solche Wände würde das System durch Strahlung Energie aus der Umgebung verlieren oder gewinnen.

Anscheinend hat also jeder Modus zwei Freiheitsgrade. Entsprechen diese zwei möglichen Polarisationen des Lichts?

Nein, der quaderförmige Hohlraummodus hat nur eine Polarisation, aber immer noch zwei Freiheitsgrade, da er sowohl den Vektorpotentialwert als auch die Änderungsrate benötigt, um den Beitrag zur Netto-Poynting-Energie auszudrücken. Dasselbe gilt für jeden harmonischen 1D-Oszillator – er hat zwei quadratische Terme in seinem Hamiltonoperator, einen für die Position und einen anderen für die Geschwindigkeit.

Aber warum hat jeder Modus diese Energie?

Dies folgt aus der Annahme, dass die EM-Energie im Inneren durch die Poynting-Formel gegeben ist

H = ∫ v 1 2 ϵ 0 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 D v .

Wenn E, B unter Verwendung des Vektorpotentials A als Überlagerung von Modenschwingungen ausgedrückt werden, stellt sich heraus, dass H die Summe quadratischer Terme ist. Dann besteht der zweite Schritt darin, anzunehmen, dass diese dem Äquipartitionssatz gehorchen.

Warum wenden wir überhaupt den Gleichverteilungssatz auf Strahlung an? Ich verstehe, dass für ein ideales Gas die Energie pro Freiheitsgrad ist, aber weder die Strahlung noch der Hohlraum sind ideale Gase.

Aus Sicht der Physik des frühen 20. Jahrhunderts war dies ziemlich natürlich. Gasmoleküle erzeugen und interagieren mit EM-Strahlung. Wenn sich Gas im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, befindet es sich auch im Gleichgewicht mit EM-Strahlung. Es sollte also möglich sein, ähnliche statistische Ideen darauf anzuwenden, die für Gase so erfolgreich waren.

Ich verstehe nicht einmal, was es bedeutet, dass Strahlung eine Temperatur hat T Strahlung hat Temperatur T wenn es aus einem Körper kommt, der sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet und Temperatur hat T .

Sie fragen sich zu Recht, ob Ergebnisse der klassischen statistischen Physik wie Gleichverteilung so direkt auf EM-Strahlung angewendet werden können. Das Versagen der Rayleigh- und Jeans-Formel bei hohen Frequenzen zeigt, dass die Anwendbarkeit tatsächlich begrenzt ist.

Sehr ausführliche Antwort, danke! Aber eines stört mich: Sie sagen, dass Licht im quaderförmigen Hohlraum nur eine Polarisation hat, warum ist das so? Die Herleitung sagt (auf Seite 3): "Licht kann unabhängig voneinander in zwei verschiedenen Polarisationen im rechten Winkel zueinander existieren, also müssen wir die Anzahl der Lösungen unserer Stehwellengleichung verdoppeln, um dies zu berücksichtigen". Noch etwas: Was sind hier die Dinge, die im thermischen Gleichgewicht sind? Wenn der Hohlraum eine beliebige Temperatur haben kann, was tut das? T bedeuten? Befindet sich Gas im Hohlraum? Ich dachte, der Hohlraum umschließt einfach Strahlung, die von außen kommt.
Der Faktor 2 aufgrund der Polarisation ist in der Tat ein verwirrender Punkt in diesen Ableitungen; Ich denke, sogar einer der ursprünglichen Autoren hat darin anfänglich einen Fehler gemacht und ihn später korrigiert. Ich werde versuchen, dies später zu erklären. Hinsichtlich des thermodynamischen Gleichgewichts wird angenommen, dass dies zwischen der Strahlung und einem kleinen Materieteilchen im Inneren stattfindet. Ohne ein solches Teilchen würde die Strahlung von selbst kein thermodynamisches Gleichgewicht erreichen. Der Hohlraum wird in diese Betrachtungen nur eingeführt, um die Strahlung im Inneren einzufangen. Strahlung oder Materie von außen beeinflussen das Innere in keiner Weise.
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