Führt Strom beim Entladen in Kondensatoren zu Spannung?

Die Rede von „stromführender Spannung“ oder „Phasendifferenz“ gilt nur für die AC-Analyse. Im allgemeineren Fall könnte man sagen, was ein Kondensator wirklich tut, ist die Spannung zu differenzieren , gemäß:

$$i = C\frac{dv}{dt}$$

Daraus lässt sich allerhand Bekanntes über Kondensatoren ableiten. Wenn Sie beispielsweise eine sich linear ändernde Spannung an einem Kondensator wünschen, müssen Sie eine Konstantstromquelle daran anlegen. Betrachten Sie als Beispiel eine 1-Ampere-Stromquelle, die mit einem 1-Farad-Kondensator verbunden ist:

$$\require{cancel} \begin{align} 1A &= 1F \frac{dv}{dt} \\ 1A &= \frac{1 A \cdot s}{V} \frac{dv}{dt} \\ \frac{1\cancel{A}\cdot V}{1\cancel{A}\cdot s} &= \frac{dv}{dt} \\ \frac{1V}{s} &= \frac{dv}{dt} \end{align}$$

Betrachtet man den Fall, dass die angelegte Spannung sinusförmig ist, dann ist es auch der Strom:

$$\begin{align} i &= C\frac{dv}{dt} \\ i &= C\frac{d\sin(t)}{dt} \\ i &= C\cos(t) \end{align}$$

Weil$\cos$ist die Ableitung von$\sin$.

Sie werden auch sehen, wenn Sie diese Funktionen grafisch darstellen , dass$\cos$(aktuelle) Leitungen$\sin$(Spannung) um 90 Grad, wie ein Elektrotechniker sagen würde:

Sie können nur dann realistisch über Phasenwinkel sprechen, wenn Sinuswellen angelegt werden, und wenn Sie eine Sinuswellenspannung anlegen, führt der Kappenstrom die Spannung die ganze Zeit um 90 Grad.

Aktuell =$C\dfrac{dV}{dt}$und das Differential einer Spannungssinuswelle ist eine Kosinuswelle der Größe C. Der Kosinus eilt dem Sinus um 90 Grad voraus.

Im Allgemeinen kann man nur dann sinnvoll von einer relativen Phasendifferenz zwischen Wellenformen sprechen, wenn die beiden Wellenformen die gleiche Form haben, aber zeitlich verschoben sind.

Nun, wie andere darauf hingewiesen haben, ist der Strom durch einen Kondensator proportional zur Änderungsrate der Spannung über, so dass im Allgemeinen der Strom und die Spannung, die einem Kondensator zugeordnet sind, nicht die gleiche Form haben .

Wenn beispielsweise die Kondensatorspannung eine Rampe ist, ist der Kondensatorstrom eine Konstante. Wenn die Kondensatorspannung parabelförmig ist, ist der Kondensatorstrom eine Rampe.

Wie können wir sinnvoll über die relative Phase zwischen einer parabolischen Spannung und einer Stromrampe sprechen?

Um sinnvoll von einer Phasendifferenz sprechen zu können, benötigen wir also eine ganz spezielle Art von Wellenform; eine Wellenform, die die gleiche Form wie ihre Änderungsrate hat.

Ein Beispiel für eine solche Wellenform ist

$$v_C(t) = \sin( \omega t)$$

Die Änderungsrate (die zeitliche Ableitung) davon ist

$$\dot v_C(t) = \omega \cdot \cos (\omega t) = \omega \cdot \sin(\omega t + 90^\circ)$$

So

$$i_C(t) = C \,\dot v_C(t) = \omega C \cdot \sin(\omega t + 90^\circ)$$

Nun ist leicht zu erkennen, dass in diesem Fall die Spannung über und der Strom durch einen Kondensator die gleiche Form haben und dass es eine relative Phase von gibt$90^\circ$.

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Beachten Sie im Fall der Lade- und Entladewellenformen der RC-Schaltung, dass die Lösungen für die DC-Erregung sind:

$$v_C(t) = V_{DC}(1 - e^{-t/RC}) + v_C(0)\cdot e^{-t/RC}$$

$$i_C(t) = \dfrac{V_{DC} - v_C(0)}{R}e^{-t/RC}$$

Für den Anfangszustand Null (der Kondensator lädt) sind dies:

$$v_C(t) = V_{DC}(1 - e^{-t/RC})$$

$$i_C(t) = \dfrac{V_{DC}}{R}e^{-t/RC}$$

Für Null-DC-Erregung (der Kondensator entlädt sich) sind dies:

$$v_C(t) = v_C(0)\cdot e^{-t/RC}$$

$$i_C(t) = - \dfrac{v_C(0)}{R}e^{-t/RC}$$

Wie Sie sehen können, gibt es in beiden Fällen keinen offensichtlichen relativen Phasenparameter, den wir in den obigen Spannungs- und Stromwellenformen identifizieren können.

Das hat einen subtilen Grund. Im Fall einer sinusförmigen Wellenform können wir dem Argument eine Konstante hinzufügen, die bewirkt, dass die Wellenform zeitlich verschoben wird; Das Hinzufügen dieser Konstante ändert die Phase der Sinuswellenform:

$$\sin(\omega t + \phi)$$

ist eine Sinuswellenform, die zeitlich verschoben ist um$\frac{\phi}{\omega}$Sekunden.

Wenn wir jedoch dem Argument für die Exponentialfunktion eine Konstante hinzufügen, ist das Ergebnis keine zeitliche Verschiebung, sondern eine Skalierung (Multiplikation mit einer Konstanten).

$$e^{-t/RC + \phi} = e^{-t/RC}e^\phi = Ke^{-t/RC}$$