Argumentation hinter Gleichungen in der Analyse elektrischer Schaltungen

Ich werde versuchen, die mathematischen Details der Entsprechung der Gleichung zur Schaltung anzusprechen, anstatt über das Gesamtbild des Schaltungsverhaltens zu sprechen, in der Hoffnung, die richtigen Verständnislücken zu schließen. Beachten Sie, dass ich einige nicht standardmäßige Terminologie verwenden kann, da ich die Schaltungsanalyse nicht formell studiert habe.

Das Spannungsgesetz von Kirchhoff besagt, dass die gerichtete Summe der Spannungen um einen Stromkreis gleich Null ist, aber was ist der Grund für die Terme der Gleichung?$-V_0 + RI + Q/C = 0$so strukturiert sein, wie sie sind? Warum bekommt die Spannung nämlich ein negatives Vorzeichen, …

Mathematisch gesehen müssen einige Terme positiv und einige Terme negativ sein, um eine Summe von Null zu haben (oder degeneriert müssen sie alle Null sein). Es spielt eigentlich keine Rolle, ob Sie Minuszeichen in die Gleichung einfügen oder die Variablen oder Konstanten mit negativen Werten versehen; Beides wird funktionieren, aber es wird immer irgendwo negative Zahlen geben . Sie sollten sie jedoch so anordnen, dass die Zahlen, mit denen Sie am Ende kommen, bequem zu handhaben sind, was normalerweise bedeutet, dass Sie sich beispielsweise dafür entscheiden, sie zu haben$V_0$,$R$, Und$I$positive Zahlen sein.

Aber wenn wir die Zeichen der Begriffe willkürlich wählen, erhalten wir natürlich nicht unbedingt die richtige Antwort; Nicht alle Schaltungen sind so einfach wie diese, bei der Ihnen jede gegebene Auswahl an Zeichen entweder eine richtige oder eine physikalisch unmögliche Antwort gibt.

In diesem Fall scheinen wir die Vorzeichenkonvention zu verwenden, dass , wenn wir um die Schleife herum in Richtung des Strompfeils fortfahren (der im Allgemeinen nicht die tatsächliche Richtung des Stroms angibt, sondern die Richtung von Strom, der positiven Werten der Stromvariablen entspricht$I$) steigt die Spannung (im typischen Fall für diese Komponente), dann ist der Term negativ, und entsprechend ist der Term positiv, wenn die Spannung abnimmt.

Lassen Sie uns nun überlegen, woher diese spezifischen Begriffe kommen.

Warum wird der Widerstand mit dem Strom multipliziert?

Das ideale Verhalten eines Widerstands wird durch das Ohmsche Gesetz beschrieben .$V = IR$. Der$V$In dieser Gleichung ist die Spannung über dem Widerstand, also können wir das einfach direkt in unsere Spannungssumme fallen lassen.

Warum wird die Ladung des Kondensators durch die Kapazität geteilt?

So wie das Ohmsche Gesetz ideale Widerstände beschreibt,

beschreibt ideale Kondensatoren (ohne dass der Name eines historischen Wissenschaftlers daran angehängt ist). Die Theorie besagt, dass ein Kondensator eine lineare Beziehung zwischen der Ladung auf ihm und der Spannung an ihm hat, und die Proportionalitätskonstante ist als Kapazität bekannt .$C$. Wenn wir also die Spannung wissen wollen, lösen wir auf$V$und bekomme$Q/C$.

Physikalisch geschieht dies, weil die Ladungsakkumulation der weiteren Ladungsakkumulation durch eine elektrische Feldkonzentration entgegenwirkt, die aus Sicht der Schaltungsanalyse nur eine weitere Spannungsdifferenz ist.

(Beachten Sie, dass wenn die Anfangsbedingung ist$Q = 0$dann spielt es keine Rolle, welches Vorzeichen wir dem Term des Kondensators geben – das Ändern des Vorzeichens entspricht einer Umkehrung des Kondensators in der Schaltung, was, da er symmetrisch ist, nichts ändert.)

Schließlich ist eine ideale Spannungsquelle eine Komponente, an der eine feste Spannung anliegt, sodass ihr Term in der Gleichung gerecht ist$V_0$, die Festspannung. (Es wird wegen der Wahl der Vorzeichen gegenüber der Stromrichtung, die ich zuvor erwähnt habe, negiert.) Das gibt uns alle drei Terme unserer Summe von Spannungen.

Warum ist die Rate, mit der sich Ladung auf dem Kondensator ansammelt,$\dot{Q}$, eine Funktion der Ladung des Kondensators,$f(Q)$?

Es gibt eine Tatsache / Gleichung, die sie nicht ausdrücklich erwähnt haben: Strom ist der Ladungsfluss. Wie man es für einen Stofffluss erwarten könnte, Strom$I$für die Zeit fließen$t$bewegt eine Ladungsmenge$Q = It$; oder ganz allgemein für einen zeitlich veränderlichen Strom,

Wenn ein Strom durch einen Kondensator fließt, ist die Ladung auf dem Kondensator genau dieses Integral, da die einzelnen Ladungen physikalisch nicht durch den Kondensator fließen können, sondern stattdessen einen Ladungsüberschuss und ein Ladungsdefizit auf den beiden Kondensatorplatten verursachen (was was ist Die Variable$Q$für einen Kondensator bezeichnet).

Zurück zur Gleichung: Wenn$Q = \int I(t) dt$dann auch$\dot{Q} = \frac{dQ}{dt} = I(t),$und wenn wir das anstelle von ersetzen$I$in unserer Schaltungsgleichung$-V_0 + RI + Q/C = 0$wir bekommen

Löse das für$\dot{Q}$und Sie bekommen den letzten Schritt in Ihr Angebot geschrieben,

Lösen Sie dann diese Differentialgleichung, um eine Formel für zu erhalten$Q(t)$und Sie haben das Problem abgeschlossen.

1) Die Versorgungsspannung V0 muss mit der Spannung über Widerstand und Kondensator übereinstimmen, um die Schleife zu vervollständigen. Da das Ohmsche Gesetz R = U / I besagt, kann es in U = RI umgeordnet werden, was die Spannung über dem Widerstand ist. Die Ladung des Kondensators ist Q=CU, also umgeordnet, Spannung U=Q/C. Somit muss die angelegte Versorgungsspannung minus Widerstandsspannung minus Kondensatorspannung zu allen Zeiten null sein. Ordnen Sie die Terme neu an, um dieselben Zeichen zu erhalten. Manchmal muss man beim Erstellen eines Buches eine Notation auswählen und sich daran halten, auch wenn es wenig Sinn zu machen scheint.

2) Wenn sich der Kondensator auflädt, steigt die Spannung darüber, daher liegt weniger Spannung über dem Widerstand und weniger Strom durch den Widerstand. Je mehr Spannung über dem Kondensator liegt (dh Ladung darin), wird er mit weniger Strom aufgeladen, sodass sich die Spannung langsamer ändert (er wird langsamer aufgeladen).

Sie haben bereits eine ausgezeichnete Antwort, aber vielleicht wären ein paar weitere Informationen von Interesse. Das RC-Tiefpassfilter hat ein Energiespeicherelement (den Kondensator) und einen dissipativen Pfad (den Widerstand). Bevor der Schalter geschlossen wird, ist der Eingang Null Volt und es wird angenommen, dass die Kappe keine gespeicherte Ladung hat, also ist ihre Spannung Null. Bei t = 0 schließt der Schalter und die Eingangsspannung springt auf etwas$V_0$Volt. Dieses System unterliegt also einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit Anfangsbedingung.

Alle Systeme mit einem einzigen Energiespeicherelement, einem einzigen dissipativen Weg und einer Anfangsbedingung unterliegen der gleichen Differentialgleichung. So gilt dies für viele Systeme, zB eine Tasse heißen Kaffee abkühlen (Newtonsches Abkühlungsgesetz); radioaktiver Zerfall erster Ordnung; Fluoreszenzzerfall eines angeregten Atoms und so weiter. Es ist überall.

Hier ist meine Abbildung, die die Differentialgleichung und ihre Lösung zeigt, unter der Annahme, dass eine Einheitssprungfunktion bei t = 0 s eingegeben wird:

In der Abbildung ist auch mein numerisches Simulationsmodell (mit Extend) mit RC = 2 s und$V_0$= 1 V. Alles funktioniert genau so, wie @Justme in seiner Antwort sagt.

1. Es hilft, die Spannung des Widerstands zu kennzeichnen. Wenn Strom fließt, in diesem Fall von links nach rechts, ist die linke Seite des Widerstands die + Spannung und die rechte Seite die -. Es ist das Gegenteil der Spannungsquelle.

2. Betrachten Sie die stationäre Spannung am Kondensator. Was wird es sein? Wird in diesem Fall Strom fließen? Gibt es einen Punkt, an dem die Akkumulation aufhört (stellen Sie sich dies sowohl im ungefähren als auch im genauen Sinne vor, da dies zu zwei unterschiedlichen Antworten führt).