Geborene Regel für Photonen: Geht, soll aber nicht?

Ich habe keine gute Referenz dafür, also habe ich versucht, es selbst auszuarbeiten. Meine Analyse hat einige lose Enden, aber sie schlägt zumindest eine plausible Antwort auf die Frage vor.

Klärung der Bornschen Regel

Die allgemeine Version der Bornschen Regel bezieht sich auf Observablen und Zustände. Es gilt für alles von der relativistischen QFT bis zur nicht-relativistischen Einzelteilchen-QM. Es bezieht sich nicht auf eine Ein-Teilchen-Wellenfunktion. Im Sonderfall einer Positionsmessung in der nichtrelativistischen Einzelteilchen-QM kann die Bornsche Regel in Bezug auf die Einzelteilchen-Wellenfunktion ausgedrückt werden, aber dieser Sonderfall der Bornschen Regel (auf den in der Frage Bezug genommen wird) tut dies nicht. t gelten in der relativistischen QFT. Das Argument von Peierls ist eine Möglichkeit zu sehen, warum dies nicht möglich ist.

Die folgende Antwort berechnet Erwartungswerte einiger Observablen in der relativistischen QFT. Die Erwartungswerte werden mit der allgemeinen Version der Bornschen Regel definiert. Das ist alles, was wir brauchen. Der Versuch, eine Einzelphotonen-Wellenfunktion zu erfinden, die die tiefere Theorie (relativistische QFT) wie eine ihrer eigenen begrenzten Annäherungen (nicht-relativistische Einzelteilchen-QM) aussehen lässt, ist nicht notwendig, und wir müssen nicht an den Annahmen von basteln Quantentheorie. Das OP stellt jedoch eine gute Frage, die wie folgt formuliert werden kann:

• Warum scheint das Quadrat des EM-Felds, das wie ein klassisches Feld behandelt wird, ein so guter Prädiktor für die räumliche Verteilung von Photonendetektionen zu sein?

Zwei No-Go-Ergebnisse, nicht nur eines

Peierls Argument ist nicht das einzige Argument gegen die Behandlung von Photonen als streng lokalisierte Teilchen. Im Zusammenhang mit der relativistischen Quantenfeldtheorie (QFT) haben wir einen weiteren Satz, der eine solche Möglichkeit ausschließt. Dies ist das Reeh-Schlieder-Theorem , dessen Implikationen in meiner Antwort überprüft werden

Was ist die physikalische Bedeutung der Aussage, dass "Photonen keine Positionen haben"?

Die relativistische QFT hat sich als zuverlässige Grundlage für die Beschreibung aller bekannten Phänomene im Labormaßstab bewährt, einschließlich dieses aus dem OP:

Wir können Doppelspaltbeugung mit Photonen beobachten, mit Licht von so geringer Intensität, dass immer nur ein Photon gleichzeitig fliegt. Auf einem empfindlichen CCD wird jedes Photon bei genau einem Pixel beobachtet. ...wenn Pixel A getroffen wird, wird Pixel B garantiert nicht getroffen.

Wie kann dieses Phänomen mit Peierls' No-Go-Argument oder mit dem Reeh-Schlieder-Theorem vereinbar sein? Es muss konsistent sein, aber wie?

Sich nähern

Um diese Fragen mithilfe der Quantentheorie anzugehen, müssen wir sie zunächst in Form von Observablen ausdrücken . Dazu möchten wir wissen, welche Observable von einem realistischen Photonendetektor gemessen wird, beispielsweise einem Pixel in einer CCD-Kamera. Woher wissen wir, welche Observable verwendet werden sollen? Im Prinzip könnten wir die richtige Observable entdecken, indem wir ein Modell wie QED (sogar nicht-relativistische QED) verwenden, um die Dynamik des Detektors als physikalisches Gerät zu untersuchen, aber das ist sehr schwierig.

Ich werde einen anderen Ansatz wählen. Ich werde ein Modell verwenden, in dem alles genau berechnet werden kann, nämlich relativistische QED ohne Materie – nur das Quanten-EM-Feld an sich. Ich nenne dieses Modell QEM. Dieses Modell kann den physikalischen Messprozess (der Materie beinhaltet) nicht beschreiben, daher können wir es nicht verwenden, um zu bestimmen, welche Observable die richtige ist, aber wir können einige Kandidaten für Observable in Betracht ziehen. Dann können wir fragen, ob sich diese Observablen genug wie lokalisierte Photonendetektoren verhalten, um das Verhalten eines CCD-Sensors zu erklären.

Voraussetzungen

Hier ist ein kurzer Überblick über QEM. Alle seine Observablen können durch elektrische und magnetische Feldoperatoren ausgedrückt werden$E_j(\vec x,t)$und$B_j(\vec x,t)$mit$j\in\{1,2,3\}$. Der einzige zeitgleiche Kommutator ungleich Null ist

$$[E_j(\vec x,t),\,B_k(\vec y,t)]\propto i\partial_\ell\delta^3(\vec x-\vec y) \tag{1}$$ Wenn$j,k,\ell$sind alle verschieden. Die Bewegungsgleichungen sind nur die üblichen Maxwell-Gleichungen. Damit ist die Definition des Modells abgeschlossen, mit Ausnahme der technischen Einzelheiten über die mathematische Bedeutung von Feldoperatoren an einem Punkt, der durch die Behandlung des Raums als sehr feines Gitter gehandhabt werden könnte.

Hier ist ein kurzer Überblick darüber, wie Photonen in QEM definiert sind: der Hamilton-Operator$H$, der Generator von Zeitübersetzungen, kann diagonalisiert werden, indem man ihn in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren schreibt, einen pro Wellenvektor und Polarisation. Für jeden gegebenen Wellenvektor ist das Spektrum von$H$ist diskret: Jede Anwendung des Erzeugungsoperators fügt dem Zustand ein Energiequantum hinzu, und jede Anwendung des Vernichtungsoperators entfernt ein Energiequantum. Diese Energiequanten nennen wir Photonen. Der Vakuumzustand, der durch die Vernichtungsoperatoren vernichtet wird, ist der Zustand mit der niedrigsten Energie. Es hat per Definition keine Photonen.

Nicht ganz lokale Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren

Ein Photon ist ein Energiequantum, nicht unbedingt eine lokalisierte Einheit. Dies wird aus Experimenten deutlich, bei denen ein Beugungsmuster Photon für Photon akkumuliert wird. Bis zu welchem ​​Grad kann ein Photon vor der Detektion lokalisiert werden?

Lassen$F_n(\vec x,t)$bezeichnen eine beliebige Komponente eines Operators für elektrische oder magnetische Felder. Wir können schreiben

$$F_n(\vec x,t)=F_n^+(\vec x,t)+F_n^-(\vec x,t) \tag{2a}$$ wo$F_n^+$ist der Teil, an dem Erstellungsoperatoren und beteiligt sind$F_n^-$ist der Teil mit Vernichtungsoperatoren. Dies sind die Adjungierten des jeweils anderen.

Die ursprünglichen Feldoperatoren sind lokale Observablen, aber die Operatoren$F_n^\pm(\vec x,t)$sind nicht lokal. Ein Symptom dafür ist, dass der Kommutator von$F_n^\pm(\vec x,t)$mit$F_m(\vec y,t)$nicht Null ist, wenn$x\neq y$. Allerdings fällt der Kommutator wie eine Potenz ab$|\vec x-\vec y|$, speziell

$$\left[F_n^\pm(\vec x,t),\,F_m(\vec y,t)\right] \sim \frac{1}{|\vec x-\vec y|^4}. \tag{2b}$$ Dieser schnelle Abfall legt nahe, dass bei ausreichend grober Auflösung die Einzelphotonen-Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren$F_n^\pm(\vec x,t)$könnte auch lokal sein.

Zwei Kandidaten Observables

Wie vom Reeh-Schlieder-Theorem versprochen, ist die Beziehung zwischen den Feldoperatoren und den Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren nicht strikt lokal. Eine in einem streng begrenzten Raumbereich lokalisierte Observable kann den Vakuumzustand nicht vernichten. Betrachten Sie vor diesem Hintergrund diese beiden komplementären Kandidaten für die Beobachtungsgröße, die einem Pixel in einer CCD-Kamera entspricht:

• Beobachtbar Nr. 1: Beginnen Sie, wie im OP vorgeschlagen, mit dem quadratischen Feld

  $$H_n(\vec x,t)\propto F_n^2(\vec x,t)+\text{constant}. \tag{3}$$ Der Operator (3) stellt die Energiedichte in der gegebenen Komponente des Feldes dar, weil$H=\sum_n\int d^3x\ H_n(\vec x,t)$ist der Hamilton-Operator – die Observable, die die Gesamtenergie des Systems darstellt. Um zu versuchen, die Empfindlichkeit eines CCD-Pixels endlicher Größe darzustellen, können wir das Observable betrachten $$H(\beta,t) := \sum_n\int d^3x\ \beta_n(\vec x)H_n(\vec x,t) \tag{4}$$ mit einer reellwertigen Schmierfunktion$\beta_n(\vec x)$das ist nur innerhalb des CCD-Elements ungleich Null. Diese Observable ist in diesem Raumbereich enthalten, weil die Feldoperatoren$F_n(\vec x,t)$sind lokale Observables. Nachdem man den konstanten Term so gewählt hat, dass der Vakuumzustand eine Gesamtenergie von Null hat, beträgt der Vakuumerwartungswert$H(\beta,t)$ist auch null. Jedoch,$H(\beta,t)$vernichtet den Vakuumzustand nicht. Das Reeh-Schlieder-Theorem hat uns davor gewarnt, und wir können es explizit durch Schreiben sehen$H(\beta,t)$in Bezug auf Erstellungs-/Vernichtungsoperatoren. Der Erwartungswert von$H(\beta,t)$in manchen Zuständen negativ sein kann (dank des konstanten Terms in (3)), also auch mit Peierls' Argument vereinbar.

• Beobachtbares #2: Das Beobachtbare

  $$C(\beta,t) := \sum_n\int d^3x\ \beta_n(\vec x)F_n^+(\vec x,t)F_n^-(\vec x,t) \tag{5}$$ ist streng positiv und vernichtet den Vakuumzustand, ist aber nicht in einem streng begrenzten Bereich lokalisiert, selbst wenn die Funktion$\beta_n(\vec x)$ist. Dies steht wiederum im Einklang mit dem Argument von Peierls und dem Reeh-Schlieder-Theorem. Als Operator auf dem Hilbert-Raum ändert die Observable (5) die Anzahl der Photonen im Zustand nicht. In einem Einzelphotonenzustand wird eine Messung dieses Observablen niemals zu mehr als einem detektierten Photon führen: "Wenn Pixel A getroffen wird, wird Pixel B garantiert nicht getroffen." Ich habe mich für den Buchstaben entschieden$C$für dieses Observable, weil es Photonen genau "zählt".

Erwartungswerte in kohärentem Zustand

Jetzt haben wir zwei Kandidaten für Observablen, die das Verhalten eines Pixels in einem CCD-Sensor darstellen könnten, und sie ergänzen sich gegenseitig: Die Quadratfeld-Observable (4) ist in einem streng begrenzten Bereich lokalisiert, und die Observable (5) ist strikt positiv und vernichtet den Vakuumzustand. Da QEM keine Wechselwirkungen hat, kann es uns nicht sagen, welche dieser beiden Observablen (wenn überhaupt) die beste ist, um das Verhalten eines CCD-Pixels darzustellen, aber vielleicht spielt es keine Rolle. Vielleicht sind beide Observables für alle praktischen Zwecke nahe genug.

Um dies zu untersuchen, betrachten Sie die Erwartungswerte dieser Observablen in einem kohärenten Zustand

$$|\alpha\rangle\propto\exp\left( i\sum_n\int d^3x\ \alpha_n(\vec x) F_n(\vec x,t)\right)|0\rangle, \tag{6}$$ wo$|0\rangle$ist der Vakuumzustand und die Funktion$\alpha$ist realwertig. Betrachten Sie nun einen Feldoperator$F_n$, über einen kleinen Bereich geschmiert, um eine endliche Auflösung zu berücksichtigen (und um mathematische Probleme zu vermeiden). In einem solchen Zustand

• Der Erwartungswert des verschmierten Feldoperators ist proportional zur Gesamtgröße von$\alpha$.

• Die Varianz desselben verschmierten Feldoperators ist unabhängig davon$\alpha$.

Als Ergebnis für groß genug$|\alpha|$nähert sich der Zustand einem klassischen EM-Feld an. Wie groß muss$|\alpha|$sein? Es kommt auf die Schmierfunktion an. Je punktförmiger die Schmierfunktion ist, desto größer ist sie$|\alpha|$muss sein.

Dies deutet darauf hin, dass der Erwartungswert der Quadratfeld-Beobachtbaren (4) angenähert werden kann, indem das Feld klassisch behandelt wird, wie im OP angegeben, solange das Feld nicht zu schnell im Raum variiert (mit anderen Worten, ausreichend verschmiert ist). ). Für klein$|\alpha|$, das$\geq 2$-Photonenterme im kohärenten Zustand sind vernachlässigbar. Der Erwartungswert ist im Vergleich zur Varianz nicht mehr groß, aber die räumliche Verteilung ist immer noch gleich. Aus diesem Grund ist die räumliche Verteilung von Photonenerkennungen dieselbe, unabhängig davon, ob sie mit hellem Licht gebildet oder mit einem Photon nach dem anderen akkumuliert wird.

Um Erwartungswerte in diesem Zustand zu berechnen, ist die Schlüsselidentität

$$F_n^-(\vec x,t)|\alpha\rangle =\alpha_n'(\vec x)|\alpha\rangle, \tag{7}$$ mit $$\alpha_n'(\vec x) := i\sum_m\int d^3y\ \alpha_m(\vec y)\left[F_n^-(\vec x,t),\,F_m^+(\vec y,t)\right]. \tag{8a}$$ Der Kommutator (8a) ist proportional zum Identitätsoperator, also ist dies eine gewöhnliche Funktion. Die Definitionen von$\alpha_n'$und$F^\pm$implizieren $$\alpha_n'(\vec x) +\text{c.c.}:= i\sum_m\int d^3y\ \alpha_m(\vec y)\left[F_n(\vec x,t),\,F_m(\vec y,t)\right] \tag{8b}$$ ("cc" bedeutet komplex konjugiert), wobei der Kommutator nun die ursprünglichen lokalen Feldoperatoren umfasst. Unter Verwendung der Identität (7) werden die Erwartungswerte der Observable (4) bestimmt $$\langle\alpha|H(\beta,t)|\alpha\rangle \propto \sum_n\int d^3x\ \big(\alpha_n'(\vec x)+\text{c.c.}\big)^2\beta_n(\vec x), \tag{9}$$ und der Erwartungswert von (5) ist $$\langle\alpha|C(\beta,t)|\alpha\rangle \propto \sum_n\int d^3x\ \big|\alpha_n'(\vec x)\big|^2\beta_n(\vec x). \tag{10}$$ Sie sind einander nicht gleich, aber sie sind ähnlich. Beide hängen von der Überschneidung zwischen den Funktionen ab$\alpha'$und$\beta$, und die Funktion$\alpha'$wiederum verhält sich zum "klassischen" EM-Feld wie folgt: $$\langle\alpha|F_n(\vec x,t)|\alpha\rangle =\alpha'_n(\vec x)+\text{c.c.}. \tag{11}$$ Dies zeigt, dass (9) im Wesentlichen das Quadrat des „klassischen“ EM-Felds (11) ist, das über das CCD-Pixel geschmiert ist. Weiterhin zeigen die Gleichungen (1) und (8b) den Zusammenhang zwischen diesem „klassischen“ EM-Feld und der Funktion$\alpha$in (6) ist strikt lokal.

Vorläufiger Abschluss

Das No-Go-Argument von Peierls und das Reeh-Schlieder-Theorem sagen, dass die Idee streng lokalisierter Photonen zu naiv ist. Die große Ähnlichkeit zwischen dem Erwartungswert der Beobachtungsgröße im quadratischen Feld und der Beobachtungsgröße der Photonenzählung, Gleichungen (9) und (10), legt jedoch nahe, dass das Quadrat des „klassischen“ EM-Felds ein guter Prädiktor für das räumliche sein kann Verteilung von Photonenerkennungen für die meisten praktischen Zwecke.

Diese Ergebnisse wurden unter Verwendung relativistischer QFT mit der allgemeinen Version der Bornschen Regel abgeleitet, und es war kein Herumbasteln an den Prinzipien der Quantentheorie erforderlich.

Loose Enden

Die Überschneidung zwischen$\alpha'$und$\beta$in den Gleichungen (9)-(10) ist eine etwas delokalisierte Version der Überlappung zwischen$\alpha$und$\beta$, wobei "etwas delokalisiert" durch die Gleichungen (2b) und (8a) quantifiziert wird. Stimmt dieser Grad der Delokalisierung mit dem von einer echten CCD-Kamera aufgezeichneten Beugungsmuster überein? Betrachten wir einen Zustand, an dem nur Photonen mit Wellenlängen beteiligt sind$\gtrsim\lambda$, dann neigt das kumulative Beugungsmuster dazu, nur Größenmerkmale zu haben$\gtrsim\lambda$, daher wird erwartet, dass das Muster sowieso etwas delokalisiert ist. Eine sorgfältigere Analyse dieses Punktes wäre jedoch schön. Das ist ein loses Ende.

Diese Analyse berücksichtigte nur das freie Quanten-EM-Feld. Solch ein triviales Modell kann die Dynamik des Erkennungsprozesses nicht beschreiben, also kann es uns nicht sagen, welche Observable die richtige ist. Ich habe versucht, dies zu kompensieren, indem ich zwei verschiedene Kandidaten-Observables betrachtete, aber dennoch: Dies ist ein weiteres loses Ende.

Was ist mit der Newton-Wigner-Idee?

Das Papier

• Newton und Wigner (1949), „Localized states for elementary systems“, https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.21.400

war ein früher Versuch, ein Konzept der Lokalität in der relativistischen Quantentheorie zu formalisieren. Es ist auf Teilchen mit Spin beschränkt$\leq 1/2$(was Photonen ausschließt), und es hat auch andere Einschränkungen. Neuere Versuche zur Erweiterung der Newton-Wigner-Idee wurden in analysiert

• Halvorson (2018), „Reeh-Schlieder besiegt Newton-Wigner: über alternative Lokalisierungsschemata in der relativistischen Quantenfeldtheorie“, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0007060

was zu dem Schluss kommt, dass Observable, die im Sinne von Newton-Wigner "lokal" sind, im Sinne der QFT nicht lokal sind, da sie nicht bei raumähnlicher Trennung miteinander pendeln. Mit anderen Worten, der Newton-Wigner-Ansatz schafft es, „lokalisierte“ Einzelteilchenzustände nur dadurch zu konstruieren, dass er an der Definition von „lokalisiert“ bastelt. Im Nachhinein ist das nicht nötig. Herkömmliche relativistische QFT scheint gut zu funktionieren. Seine Partikel sind nicht genau lokalisiert, aber sie sind so lokalisiert, wie sie sein müssen.

Die klassische Grenze für Licht ist eine Wellentheorie. Die (Quanten-)Amplitude der Wellenfunktionswelle wird zur (klassischen) Amplitude der Welle (z. B. die Größe des elektrischen Felds), und die (Quanten-)erwartete Anzahl von Photonen in einem Volumen wird zur (klassischen) Intensität der Welle ( zB das quadrierte elektrische Feld).

Natürlich ist es richtig, die Intensität einer klassischen elektromagnetischen Welle auf die Wahrscheinlichkeit abzubilden, an einer bestimmten Stelle ein Photon zu messen.

Es scheint mir, als würde Peierls sagen, was ich oben gesagt habe: Die klassische Grenze der Photonen ist eine Wellentheorie, keine Teilchentheorie. Mit "Teilchentheorie" meine ich, dass es eine große Anzahl klassischer Teilchen gibt, die Photonen genannt werden und sich auf individuellen Flugbahnen bewegen. Es gibt viele Argumente dafür, dass eine Teilchentheorie für klassisches Licht nicht funktionieren kann – dasjenige, das Peierls verwendet, hängt mit den Eigenschaften der Lorentz-Transformation zusammen:

Wenn es eine klassische Teilchentheorie von Photonen gäbe, dann hätten Sie eine beobachtbare Größe namens "Anzahl der Photonen pro Volumen", und Sie würden erwarten, dass sie sich auf eine bestimmte Weise Lorentz-transformiert. Aber die Intensität einer klassischen Lichtwelle wird auf diese Weise nicht Lorentz-transformiert. QED. (Im Gegensatz dazu transformiert sich eine Elektronenwellenfunktion auf diese Weise.)

Peierls sagt nichts über die Quantentheorie des Lichts oder wie die Observablen definiert sind. Ich glaube wirklich nicht, dass Peierls bestreitet, dass der Erwartungswert der Anzahl der Photonen proportional zum Quadrat der Amplitude der Lichtwelle ist. So lese ich zumindest die Auszüge.

Sie brauchen die Quantenfeldtheorie, um Licht zu beschreiben, da es eindeutig ein relativistisches System ist. Photonen sind Anregungen des elektromagnetischen (EM) Feldes, das ein Spin-1-Bosonenfeld ist. Im Grenzfall großer Photonenzahlen erhält man den üblichen klassischen Grenzfall, dh man kann die Feldentwicklung in guter Näherung klassisch beschreiben. Es ist also nicht richtig, sich das EM-Feld einfach als eine quantenmechanische Wellenfunktion eines Photons vorzustellen, auf die man dann die Bornsche Regel anwenden könnte.

In der klassischen Grenze ist die Energiedichte des EM-Felds jedoch proportional zum Quadrat der Größe des EM-Felds. Wenn wir also ein monochromatisches EM-Feld haben, ist die Energie jedes Photons eine Konstante, die proportional zur Frequenz der EM-Welle ist, und daher ist die Photonenzahldichte proportional zum Quadrat der Größe des EM-Felds.

Wir können ein Teilchen nur anhand seiner Observablen wie Ladung, Energie-Impuls, Drehimpuls oder Spin beobachten. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist keine Observable. Die Born-Regel für Elektronen besagt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Auffinden eines Elektrons ist$|\psi|^2$, aber tatsächlich ist dies die nichtrelativistische Noether-Ladungsdichte dividiert durch$e$. Die Kontinuitätsgleichung ist nur die Erhaltung des Ladestroms.

Ein Photon hat keine Ladung. Es kann durch elektrische Dipolkopplung an beispielsweise eine aktive Stelle auf einem Detektor beobachtet werden. In diesem Fall ist die Verteilung von$E^2$wird beobachtet. Es kann auch über magnetische Dipolkopplung und die beobachtet werden$B^2$Verteilung beachtet wird. Im Allgemeinen sind diese beiden Distributionen nicht gleich ! Daher gilt die Born-Regel als solche nicht und muss verallgemeinert werden. Diese Verallgemeinerung deckt auch den Fall multichromatischer Photonen ab.

Dazu habe ich keine Referenz. Falls es sonst niemand hat, betrachten Sie dies bitte als Veröffentlichung und verweisen Sie darauf mit dem Link zu diesem Beitrag und dem Autor „AB van Oosten, unabhängiger Wissenschaftler“.