Geschwindigkeit, die sich aus der tangentialen Krafteinwirkung auf feste Kugeln mit unterschiedlichen Massenverteilungen ergibt

Bei gleicher Gesamtenergie und gleicher Kraft ist die Gesamtzeit unterschiedlich, was zu unterschiedlichen Translationsgeschwindigkeiten führt. Dies liegt daran, dass der Energieanteil bei der Translation gegenüber der Rotation unterschiedlich ist. Und das wirkt sich darauf aus, wie viel Energie pro Zeit benötigt wird, um die gleiche Kraft bereitzustellen.

Für gleiche Kraft für gleiche Zeit (nicht gleiche Energie) muss die Geschwindigkeit gleich sein. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, sich vorzustellen, dass die Kraft von einem Teilchen an der Kante ausgeübt wird, das irgendwie tangential kollidiert. Das Teilchen spürt eine entgegengesetzte und gleiche Kraft und entwickelt dadurch einen Impuls. Die Kugeln müssen, unabhängig von ihrem Inhalt, den gleichen totalen Gegenimpuls haben, damit der Kugel+Teilchen-Impuls 0 bleibt. Ist die Kraft bei gleicher Zeit gleich (ungleiche Arbeit), dann haben beide Kugeln den gleichen totalen Impuls und Masse, also gleiche Translationsgeschwindigkeit.

Bearbeiten: Hinweise zur Energie

Notiz$Fr = I\dot{\omega}$Und$F = m\dot{v}$.

$2E = I\omega^{2} + mv^2$

$2\dot{E} = 2I\omega\dot{\omega} + 2mv\dot{v}$

$= 2\omega Fr + 2vF$

$= 2F(\omega r + v)$

Was ist$\omega r + v$? Die momentane Geschwindigkeit des Teils der Kugel am äußersten Rand, der die Kraft erfährt.

Rechtzeitig$\Delta{}t$es bewegt sich eine Strecke von$(\omega r + v)\Delta{}t$so ist die geleistete Arbeit$\dot{E}\Delta{}t = F(\omega r + v)\Delta{}t = F\Delta{}x$.

Beachten Sie in der Partikelanalogie, dass die Partikel eine höhere Geschwindigkeit haben müssen, die der Kantengeschwindigkeit entspricht, damit ein Partikelstrom die gleiche Kraft durch Kollisionen liefert$\omega{}r+v$. Es erfordert Teilchen mit höherer Energie, um die gleiche Kraft auf eine sich schneller bewegende Kante auszuüben, sodass die Energieerhaltung nicht gebrochen wird - es ist nur so, dass der Energieeintrag höher ist, um dieselbe Kraft bereitzustellen$F$, in einem Fall, wo$\omega r + v$ist größer. Aber mit Angabe von Kraft und Zeit anstelle der Gesamtenergie gilt intuitiv, dass die Translationsgeschwindigkeit beider Sphären gleich sein sollte. Bei angegebener Leistung (Energie/Zeit) würden sich die Kugeln unterscheiden, da sie zur Zeit die gleiche Energie hätten$t$aber ein anderer Bruchteil der Energie wäre Rotation gegenüber Translation.

Bearbeiten 2:

Ich werde versuchen, das Relevante zu argumentieren$F\cdot{}s$ist die Kante des Balls, nicht der Schwerpunkt des Balls, und hängt von der Geschwindigkeit der Kante ab. Lassen Sie uns eine Stange verwenden, um die Kugel so zu fixieren, dass sie sich um ihren Schwerpunkt dreht, so dass$s_{COM}=0$. Die COM bewegt sich offensichtlich nicht. Die Stange, die das COM fixiert, um sich nicht zu bewegen, liefert eine Kraft, bewegt sich jedoch nicht und verrichtet keine Arbeit. Die Kraft$F$dreht den Ball und erhöht die Energie des Balls und macht Arbeit am Ball, aber$F \cdot s_{COM}=0$. Wenn Sie also glauben würden, dass die relevante Distanz die COM-Distanz ist, würden Sie einen Widerspruch finden. Wenn Sie stattdessen das glauben$F\omega r dt$ist die momentan hinzugefügte Energie, weil sich die Kante mit der Geschwindigkeit bewegt$\omega r$über eine Distanz$\omega r dt$, dann kannst du integrieren.$E = \int F\omega r dt = \int F \dot{\omega}trdt = \int I\dot{\omega}^{2}tdt = \frac{1}{2}t^{2}I\dot{\omega}^{2} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$

Annehmen$\dot{\omega}t = \omega$(konstante Beschleunigung) und$Fr = I\dot{\omega}$(Drehmomentdefinition)

Konzeptionelle Einschätzung der Situation

Erstens muss sich die Kraft ein wenig mit der Oberfläche bewegen , um eine Drehung bereitzustellen (was sie tun wird) . Andernfalls wird die einzige von der Kraft übertragene Energie entlang der gesamten Translationsstrecke übertragen, was nicht die Arbeitsenergie erklären kann, die die kinetische Winkelenergie erzeugt hat.

Auf den ersten Blick scheint dies auf perfekt elastische Kollisionen zurückzuführen zu sein (elastisch bedeutet, dass während der Kollision kein Energieverlust auftritt und daher keine Schallenergie oder Wärmeenergie erzeugt wird, und die Nettoenergieübertragung aus der Änderung der Geschwindigkeit - also der Größenordnung - der Teilchen) von unendlich vielen unendlich kleinen Objekten oder einem Flüssigkeitsstrahl. Das funktioniert jedoch nicht, weil es unmöglich ist, auf diese Weise eine Tangentialkraft aufzubringen.

Eine einigermaßen vernünftige Vorstellung davon, wie dies geschieht, ist, dass sich eine kleine geladene Perle in der isolierenden Kugel direkt unter ihrer Oberfläche befindet und das gesamte Experiment in einem vertikalen elektrischen Feld stattfindet. Der Wulst kann sich frei am Umfang bewegen. Das Problem ist die Dynamik der Perle, die Schwung auf den Ball überträgt. Die reale Situation wäre nahe.

Das heißt, wie bei vielen solchen ist das Problem theoretisch (und technisch theoretisch unmöglich).

Konzept des Modells

Abgesehen vom Mechanismus besteht ein wichtiges Konzept darin, dass keine Rotationsenergie übertragen werden kann, wenn sich die Kraft nur mit der Kugel bewegt, dh so viel wie (und entlang eines parallelen Pfads mit) der Bewegung des Massenmittelpunkts der Kugel. Aber wir sehen aufgrund des radialen Versatzes der Kraft vom Zentrum, dass sich kinetische Winkelenergie entwickeln wird.

Daher sollte das konzeptionelle Modell sein, dass sich eine Kraft F über eine infinitesimale Distanz bewegt$dy$und springt dann gleich wieder runter$dy$es noch einmal zu tun, immer tangential zu bleiben. Beachten Sie, dass$dy$kommt sowohl von der Translation als auch von der Rotation, sodass die Kraft die beiden scheinbar widersprüchlichen Dinge tut, die wir tun müssen: 1. sich mit der Oberfläche bewegen, damit sie die gesamte erforderliche Arbeit leisten kann (genug, um die Energie für Rotation und Translation bereitzustellen) , und 2. vertikal bleiben. Berechnungen, die die Kraft nur um die Strecke bewegen, um die sich der Ball bewegt, verletzen zwangsläufig die Energieerhaltung.

Analyse

Das Drehmoment ist eine festgelegte Funktion der Kraft,$Fr$, also sind sowohl die Beschleunigung als auch die Winkelbeschleunigung auf dem gesamten Weg proportional zur Kraft. Dieses konstante Verhältnis von$a$Und$\alpha$bedeutet, dass die Winkel- und Translationsgeschwindigkeiten ebenfalls im gleichen Verhältnis stehen. Oder in Mathematik:

$$T=Fr=I \alpha,, F= \tfrac{I \alpha}{r}=ma$$ $$a = \frac{I}{mr} \alpha$$ $$v_0 , \omega_0 =0, a=k \alpha \implies v=k \omega, \forall t$$

(Weil$v = \int adt=\int k \alpha dt = k \omega$ohne Integrationskonstante. Am Ende einer beliebigen Dauer$v_f=k \omega_f$- Bedeutung$\forall t$)

Kinetische Energie:

$$E = \tfrac{1}{2} (mv^2+I \omega^2)= \tfrac{1}{2} [m( \frac{I}{mr} \omega)^2+I \omega^2]$$

$$= \tfrac{1}{2} (\frac{I^2}{mr^2} + I) \omega^2)$$

Für das Selbe$\omega$'s, die kinetische Energie wäre für Fall B höher, also$I_A <I_B,E_A=E_B \implies \omega_A > \omega_B$. Dies ist nicht überraschend. Es besagt, dass sich die Kugel mit geringerem Trägheitsmoment am Ende schneller dreht. Speziell

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \sqrt{ \frac{ \tfrac{I_B^2}{m_Br_B^2} + I_B}{\tfrac{I_A^2}{m_Ar_A^2} + I_A}} = \sqrt{ \frac{I_B^2 + I_B m r^2}{I_A^2 + I_A m r^2}}$$ Wenn$m_A=m_B,r_A=r_B, I_A<I_B$.

Einsteigen$\omega = \frac{mr}{I}v$stattdessen zeigt$v_A < v_B$. Und wir haben ein ähnliches Radikal und Verhältnis, außer diesmal basierend auf$m_i+ \tfrac{m_i^2r_i^2}{I_i}$.

Anmerkungen

Es gibt mehrere interessante Dinge im Vergleich$m_i+\tfrac{m_i^2r_i^2}{I_i}$(So ​​wirken sich Änderungen aus$v$), mit$I_i+\tfrac{I_i^2}{m_ir_i^2}$(wie sich Änderungen auswirken$\omega$). Zum Beispiel, warum würde die Erhöhung der Masse zunehmen$\omega$für diesen Fall? Sollte eine größere Masse nicht bedeuten, dass mehr Energie als zuvor in die Beschleunigung des Objekts fließt und weniger für die Rotation zur Verfügung steht?

Erstens, einmal unter dem Radikal, enthalten beide zwei Begriffe statt einen dafür, wie es mit ihren jeweiligen Trägheitswiderständen abnimmt ($m, I$). Das liegt zum Beispiel daran, dass sie zunimmt$m$(ohne Veränderung$I$) hat eine doppelte Wirkung auf$v$: Ein Effekt besteht darin, dass der Energieanteil, der in Richtung Translation geht, nun eine größere Masse beschleunigen muss (die$m^2$in einem Begriff), und ein weiterer Effekt ergibt sich aus der Tatsache, dass größer$m$macht weniger Energie für die Translation, da die Rotation gerade relativ einfacher geworden ist (die$m$Begriff).

Es ist dieser letztere Faktor, mehr Energie geht immer in Richtung Rotation$m$erhöht, das macht$\omega$ erhöhen , wenn$m$geht auf (die$m^{-1}$Begriff). Weil$I$sich nicht geändert hat, desto höher$\omega$bedeutet eine höhere kinetische Rotationsenergie, und weil$E$sich nicht geändert hat, bedeutet dies auch einen höheren Energieanteil, der in die Rotation geht. Zusammenfassend: Zunehmend$m$erhöht die Masse, die wir zum linearen Beschleunigen benötigen, und verringert die Energie für die Translation, der doppelte Effekt ist die Intuition für$m$Erscheint in zwei Begriffen in der$v$Verhältnis. Dasselbe für$I$Und$\omega$:$I$erscheint in zwei Begriffen in$\omega$für die beiden Effekte und steht in einem Begriff für den einzigen Effekt auf$v$.

Auf gewisse Art und Weise$m$taucht zweimal auf$v$'s Gleichung und einmal drin$\omega$'s macht es möglich, dass insgesamt mehr Bewegung stattfindet, wenn$m$verringert wird, für das gleiche$E$, (dh einer wird stärker steigen als der andere sinkt). Ähnlich für$I$. Beim Radius ist dies nicht der Fall. Daran erinnern$I$sich nicht ändert und der Radius zunimmt, sollten wir keine Verringerung der Gesamtbewegung haben. Steigt ein$r$Erleichtern Sie das Erzeugen eines Drehmoments, erhöhen Sie jedoch nicht die Energie oder verringern Sie den Gesamtwiderstand gegen die Bewegung. Dies bedeutet, dass mehr Energie in die Winkelbeschleunigung fließt, aber seitdem$m$Und$I$haben sich nicht geändert,$v$fällt eine entsprechende Menge ab. Daher haben wir$r$erscheinen nur einmal in jedem Verhältnis, als$r^2$.

Die beiden Kugeln unterscheiden sich durch ihr Massenträgheitsmoment und haben die gleiche Masse und unterscheiden sich somit durch ihren Trägheitsradius$g$.

Überlegen Sie nun, wo das Rotationszentrum für diese Situation liegt. In der Abbildung unten befindet sich der COR am Punkt 0 .

Es besteht eine besondere Beziehung zwischen dem Abstand zum COR vom Massenmittelpunkt$a$und der Abstand, wo die Kraft (oder der Impuls) aufgebracht wird$b$. Diese Beziehung ist immer

$$\boxed{ a = \frac{g^2}{b} } \tag{1}$$

Das heißt, wenn der Schwerpunkt Geschwindigkeit hat$v_A$, dann muss der Angriffspunkt der Kraft eine Geschwindigkeit haben$v_B = \frac{a+b}{a} v_A$oder abhängig vom Verhältnis des geometrischen Radius$b$zum Trägheitsradius$g$

$$v_B = \left( 1 + \left( \tfrac{b}{g} \right)^2 \right) v_A \tag{2}$$

Analyse

Betrachten Sie die Kraft, die für eine kurze Zeit ausgeübt wird$\Delta t$und die Bewegungsgleichungen sind

$$\begin{aligned} m \frac{v_A}{\Delta t} & = F \\ (m g^2) \frac{\omega}{\Delta t} & = b F \end{aligned}$$ was den Zusammenhang zwischen Linear- und Rotationsgeschwindigkeit ergibt $$\omega = \frac{b}{g^2} v_A \tag{3}$$

Betrachten Sie schließlich die gesamte kinetische Energie$K = \tfrac{1}{2} m v_A^2 + \tfrac{1}{2} I \omega^2$entspricht der geleisteten Arbeit$W=F s$Wo$s$ist die gewaltsam zurückgelegte Strecke und ist für beide Szenarien fest.

$$F s = \tfrac{m v_A^2}{2} + \tfrac{m b^2 v_A^2}{2 g^2} \tag{4}$$

Verwenden Sie (2), um zu lösen$v_A$und ersetzen Sie oben. Dann löse auf$v_B$um die Tangentialgeschwindigkeit zu erhalten, nachdem die Kraft die Strecke zurückgelegt hat$s$als Funktion von$m$Und$g$

$$v_B^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{b^2+g^2}{g^2} \right) \tag{5}$$

Beachten Sie auch, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts ist

$$v_A^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{g^2}{b^2+g^2} \right) \tag{6}$$

$$\omega^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{b^2}{g^2 ( b^2+g^2)} \right) \tag{7}$$

Zusammenfassung

Als Kreiselradius$g$steigt ↑ (mehr Masse nach außen) passiert folgendes:

• Die Geschwindigkeit der Außenkante nimmt ab ↓ (Gl. 5)
• Die Schwerpunktsgeschwindigkeit steigt ↑ (Gl. 6)
• Der Spin nimmt ab ↓ (Gl. 7)

Die Translation des Schwerpunkts, der für beide Sphären im geometrischen Zentrum liegt, wird bestimmt durch${\bf F} = m {\bf a}$, Wo${\bf a}$verfolgt den CG. Man könnte sagen, da beide Kugeln die gleiche Masse haben, werden sie sich auf die gleiche Weise verschieben, aber${\bf F}$wird im Laufe der Zeit für jede Sphäre unterschiedlich.

Wenn Sie einen Einheits-Tangens-Vektor anhängen${\bf e}_t$bis zum Rand der Kugel, dann${\bf F}$kann dargestellt werden als${\bf F} = F {\bf e}_t$.$F$ist das gleiche für beide Sphären, aber die Entwicklung von${\bf e}_t$hängt davon ab, wie schnell sich jede Kugel dreht. Die Kugel mit dem höheren Trägheitsmoment dreht sich beispielsweise langsamer und so${\bf F}$wird anfangs mehr Zeit vertikal verbringen als im Fall der anderen Sphäre.

Daher ist die Übersetzung für jede Sphäre unterschiedlich.

Edit: Entschuldigung, ich habe die Frage falsch verstanden. Meine Antwort gilt für den Fall, dass es eine Folgekraft gibt, die für alle Zeiten am selben materiellen Punkt angreift. Die Frage bezog sich auf eine auf unterschiedliche Materialzeitpunkte aufgebrachte Eigenlast.