Gibt es eine Möglichkeit, die klassische Zustandssumme aus der Quantenzustandssumme im Grenzwert h→0h→0h \rightarrow 0 zu erhalten?

Ich sehe es lieber so:

$$\begin{equation} Z_{quantum} \equiv \sum_{m} e^{-\beta E_m} \end{equation}$$

Wo$m$ist ein Quantenmikrozustands-Eigenzustand des Hamiltonoperators. Jetzt können Sie die Summe in zwei Teile aufteilen; eine Summe über Quantenmikrozustände, die den gleichen Energieeigenwert ergibt$E_n$und eine Summe über alle möglichen Werte von$E_n$:

$$\begin{equation} Z_{quantum} = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{-\beta E_n} \sum_{m \rightarrow E_n} 1 = \sum_{n = 0}^{\infty} g(E_n) e^{-\beta E_n} \end{equation}$$

wo$n$bezeichnet die verschiedenen Ebenen des Energiespektrums des Systems und$g(E_n)$ist die Entartung einer gegebenen Ebene$n$. Wenn das Energiespektrum gleichmäßig verteilt ist, ist es ziemlich einfach zu sehen, was passiert:$g(E_n)$ist eine zunehmende Funktion von$n$und in der thermodynamischen Grenze können wir annehmen, dass:

$$\begin{equation} g(E_n) = e^{S(E_n)/k_B} \end{equation}$$ Am Ende des Tages sieht die Summe so aus: $$\begin{equation} Z_{quantum} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta F(E_n)} \end{equation}$$

wo$F(E_n) = E_n - k_B T S(E_n)$. Seit$E_n$nimmt mit zu$n$durch Konstruktion u$S(E_n)$ist eine zunehmende Funktion von$n$auch,$F(E_n)$wird sichergestellt, dass es bei einem gewissen Wert ein Minimum hat$n^*$. Bei$T=0$, die Entropie hat kein Gewicht und die wahrscheinlichste Energie ist der Grundzustand$n^* = 0$. Wie$T$erhöht,$n^*$verschiebt sich zu größeren Werten von$n$. Bei sehr hoher Temperatur,$n^* \gg 1$und man kann anfangen zu denken, dass eine Annäherung gelten könnte.

Die Idee besteht darin zu sagen, dass die Partitionsfunktion hauptsächlich von den Staaten dominiert wird, die sich in der "Nachbarschaft" von befinden$n^*$.

Abgesehen davon, dass bekannt ist, dass Quantensysteme bei hohen Energien durch klassische Modelle gut beschrieben werden (kohärente Zustände für einen harmonischen Oszillator, klassische kinetische Energie für ein Teilchen in einer Box, Rhydberg-Zustände in Atomen usw.), kann man es versuchen etwas wie:

$$\begin{equation} Z_{quatum} \sim \sum_{n \sim n^*} e^{-\beta F(E_n)} \end{equation}$$ Nun, da $F(E_n)$ist an einem Extremum bei $n^*$dann variiert es sehr langsam in seiner Nachbarschaft, was eine gute Sache ist, wenn man die Summe durch ein Integral approximieren möchte. Um dies zu sehen, betrachten wir den Begriff $e^{-\beta F(E_{n+1})} = g(E_{n+1})e^{-\beta E_{n+1}}$. Der Entartungsfaktor $g(E_n)$ist eine zugeordnete Zahl $n$und hätte auch angerufen werden können $g_n$. Stellen wir uns das einmal vor $g(E_n)$ist nichts anderes als eine stetige Funktion $\Omega(E)$bei Spektralwerten ausgewertet $E_n$. Wir sehen, dass es hilfreich sein kann, sich so etwas vorzustellen, denn wenn der Energieabstand $\delta E \ll E_n$dann $g(E_{n+1}) = \Omega(E_n+\Delta E) = \Omega(E_n)+\Omega'(E_n)\delta E + \mathcal{O}(\delta E^2)$. Jetzt, $e^{-\beta E_{n+1}}=e^{-\beta E_n}e^{-\beta \delta E} = e^{-\beta E_n}\left(1-\beta \delta E + \mathcal{O}(\delta E^2) \right)$. Am Ende des Tages: $$\begin{equation} e^{-\beta E_{n+1}} = \Omega(E_n)e^{-\beta E_n}\left(1 + (\beta_n-\beta)\delta E \right) + \mathcal{O}(\delta E^2) \end{equation}$$ wo $\beta_n \equiv \partial S/k_B \partial E_n$ist die inverse Temperatur, die einem System bei Energie zugeordnet ist $E_n$und wo ich die Tatsache verwendet habe, dass $\Omega'(E_n)=\Omega(E_n)\beta_n$. In der thermodynamischen Grenze, solange die Energieniveaus in der Nähe von sind $n^*$, $\beta_n$liegt ganz in der Nähe $\beta$und damit, wie ich vorher qualitativ gesagt habe, die freie Energie $F(E_n)$variiert sehr sehr langsam. Die Idee ist dann, die Nachbarschaft einzuteilen $m$Klumpen $\{\mathcal{L}_{i}\}_{i=1..m}$von Größe $\Delta n$wo $F(E_n)$variiert nicht. Es gibt: $$\begin{equation} Z_{quantum} \approx \sum_{i =1 }^{m} \sum_{n \in \mathcal{L}_i} \Omega(E_n) e^{-\beta E_n} = \sum_{i =1 }^{m} \Omega(E_i) e^{-\beta E_i} \Delta n \end{equation}$$ Lassen Sie uns dann definieren $\rho(E_i)\Delta E \equiv \Omega(E_i)\Delta n$es ergibt sich schließlich: $$\begin{equation} Z_{quantum} \approx \sum_{i =1 }^{m} \rho(E_i) e^{-\beta E_i} \Delta E \approx \int_0^{+\infty} dE\:\rho(E)e^{-\beta E} \end{equation}$$

Wie ich in den Kommentaren sagte, die Dauerfunktion$\Omega(E)$und deshalb$\rho(E)$kann unter Verwendung eines klassischen Integrals über den Phasenraum bestimmt werden.

Mit obiger Herleitung sehen wir, dass das Kriterium im klassischen Limes zu liegen liegt$\delta E \ll E_n$(für unterscheidbare Partikel). Wenn das System in unabhängige Hamiltonianer zerlegbar ist, wird dieses Kriterium wesentlich$\delta E \ll k_B T$.

Das ist nett, bedeutet aber leider, dass man das volle Quantenenergiespektrum eines Teilchens im konformsten Fall (dem trennbaren Fall) berechnen muss.

Kürzlich habe ich versucht, einen heuristischen Weg (im trennbaren Fall) zu finden, um Gültigkeitskriterien des klassischen Regimes aus klassischen Größen zu erhalten, wobei ich jedoch weiß, dass das System wirklich Quanten ist.

Die Idee ist wie folgt.

Die Quantenzustandsfunktion eines Teilchens in einem Potential$U(\mathbf{x})$ist:

$$\begin{equation} z_{quantum} = {\rm Tr}\left(e^{-\beta (\hat{K}+U(\hat{\mathbf{x}}))} \right) \end{equation}$$ wo $\hat{K}$ist der kinetische Energieoperator. Der Quantencharakter der Zustandssumme ist eingebettet in die Nichtkommutativität von Orts- und Impulsoperator, die dies impliziert $[\hat{K},U(\hat{\mathbf{x}})] \neq 0$ist nicht null. Um das zu sehen, kann man als erste Näherung die Glauber-Formel verwenden (das ist eine verkürzte Version der exakten Zassenhaus-Formel): $$\begin{equation} e^{-\beta (\hat{K}+U(\hat{\mathbf{x}}))} \approx e^{-\beta \hat{K}}e^{-\beta U(\hat{\mathbf{x}})}e^{\frac{\beta^2}{2}[\hat{K},U(\hat{\mathbf{x}})]} \end{equation}$$ Wenn $\beta^2 [\hat{K},U(\hat{\mathbf{x}})] \rightarrow 0$dann verschwinden die Quantenkorrelationen zwischen Impulsen und Positionen effektiv und wir erhalten die klassische Zustandssumme. Um das zu sehen, ist die Idee, dass Trace auf jedem Basissatz berechnet werden kann und wir die Basis auswählen $\{| \hat{\mathbf{x}} \rangle \}$wir haben dann: $$\begin{equation} Tr\left[e^{-\beta \hat{K}} e^{ -\beta U(\hat{\mathbf{x}})} \right] = \int \:d\mathbf{x}\: \langle \mathbf{x} |e^{-\beta \hat{K}} e^{-\beta U(\hat{\mathbf{x}}} |\mathbf{x} \rangle \end{equation}$$ fügen Sie dann die Identität ein $\mathbf{1} = \int \:d\mathbf{p}\:|\mathbf{p} \rangle \langle \mathbf{p}|$zwischen den beiden Exponentialfunktionen, die für die Partitionsfunktion ergibt $z_{quantum}$: $$\begin{eqnarray} z &\approx& \int \:d\mathbf{x}\: \langle \mathbf{x} |e^{-\beta \hat{K}}| \int \:d \mathbf{p}\: | \mathbf{p} \rangle \langle \mathbf{p} |e^{ -\beta U(\hat{\mathbf{x}})} |\mathbf{x} \rangle \nonumber \\ &\approx& \int\:d\mathbf{x} d\mathbf{p}\: |\langle \mathbf{x}| \mathbf{p}\rangle|^2 e^{-\beta K} e^{ -\beta U(\mathbf{x})} \end{eqnarray}$$ Indem man die Tatsache nutzt, dass $\langle \mathbf{x}| \mathbf{p}\rangle$ist eine ebene Welle mit einer konstanten Amplitude $C$, erhalten wir schließlich das klassische Ergebnis: $$\begin{equation} z \approx C^2 \:\int\:d\mathbf{x} d\mathbf{p}\: e^{-\beta( K+U(\mathbf{x}))} \end{equation}$$

Am Ende des Tages muss man diese "typischen Werte" aufzeigen$\beta^2 [\hat{K},U(\hat{\mathbf{x}})]$klein sind, damit der klassische Grenzwert eingehalten wird. Eine Möglichkeit besteht darin, die Robertson-Ungleichung zu verwenden, die dies für jeden Quantenzustand besagt$|\psi \rangle$, hat man:

$$\begin{equation} \beta^2 \sigma_{\hat{K}}(\psi)\sigma_{U(\hat{\mathbf{x}})}(\psi) \geqslant \frac{1}{2}|\langle \psi |\beta^2[\hat{K},U(\hat{\mathbf{x}})] | \psi \rangle| \end{equation}$$ Das Problem besteht nun darin, Quantenfluktuationen der kinetischen und potentiellen Operatoren abzuschätzen. Erstens, wenn wir uns die Eigenzustände des Hamiltonian ansehen, weil die Energie konstant ist, dann bedeutet das $\sigma_{\hat{K}}(\psi) \approx \sigma_{U(\hat{\mathbf{x}})}(\psi)$. Wir brauchen also eine Möglichkeit, Schwankungen der kinetischen Energie abzuschätzen, und hier wird es vorerst wieder zum Handschwenken. Ein Weg dazu ist meiner Meinung nach die Zeit-Energie-Heisenberg-Beziehung $\sigma_{\hat{K}}(\psi) \Delta t \geqslant \hbar$. ich denke, dass $\Delta t$ist ein Merkmal des betrachteten Systems und sollte sich insbesondere auf das Potenzial beziehen $U$. Lassen Sie uns anrufen $l$die typische Längenskala, die das Potential charakterisiert $U$und $v$ein typischer Wert seiner Geschwindigkeit. Wir nutzen nun die Tatsache, dass ein typischer Eigenzustand um das Energieniveau liegen wird $n^*$was höchstwahrscheinlich darauf hindeutet $v \sim \sqrt{k_B T/m}$. Wir schätzen also $\Delta t \sim v/l \sim l \sqrt{m/k_B T}$. Der Quantenfall (genannt Sättigung der Heisenberg-Ungleichungen) ist wann $\sigma_{\hat{K}}(\psi) = \hbar/\Delta t \sim \hbar \sqrt{k_B T/ml^2}$. Am Ende des Tages lautet das volle Kriterium nun: $$\begin{equation} \beta^2 \sigma_{\hat{K}}(\psi)\sigma_{U(\hat{\mathbf{x}})}(\psi) \sim \beta^2 \frac{\hbar^2 k_B T}{ml^2}\sim \frac{\hbar^2 }{k_B T ml^2}\ll 1 \end{equation}$$ Bei einem idealen Gas der Abstand $l$ist nichts als die Größe der Box $L$und man findet $L >> \lambda_{beta}$wobei ich hier die Schreibweise von Peter verwendet habe. Diese Formel lässt sich gut auf alle Fälle anwenden, die ich kenne, ist aber nicht sehr streng, wie ich zugebe, und auch hier ist jeder Rat, sie strenger zu gestalten, sehr willkommen.

Ich gehe davon aus, dass das System ist$N$Teilchen mit potentieller Energie$U(\vec{R})$und kinetische Energie$\frac{1}{2}(\dot{\vec{R}},M\dot{\vec{R}})$wo$R$ist ein$3N$-dimensionaler Vektor im Konfigurationsraum und$M$ist die Massenmatrix. Insbesondere gehe ich davon aus, dass die Partikelzahlen festgelegt sind – es gibt keine Wechselwirkungen, die neue Partikel usw. erzeugen. Um Verwirrung zu vermeiden – überlege ich$m$-Partikel Wechselwirkungen$U_m(r_1,..,r_m)$, es ist alles ordentlich in der Funktion codiert$U$.

Ein solches System wird von der Lagrange-Funktion beschrieben (Anmerkung: hier schreibe ich$+U$weil ich den Docht-rotierten Lagrange dort unten brauche, allgemeiner Punkt in der Quantenstatistik)

$$L=\frac{1}{2}(\dot{\vec{R}},M\dot{\vec{R}})+U(\vec{R})$$ und der entsprechende Hamiltonoperator $$H=\frac{1}{2}({\vec{P}},M^{-1}{\vec{P}})+U(\vec{R})$$ Die Quantenpartitionsfunktion ist so ziemlich per Definition $$Z=Tr\{\exp(-\beta H)\}$$ Wir wissen, dass der klassische Grenzwert bequem durch Sattelpunkte eines funktionalen Integrals beschrieben wird, daher ist es nützlich, die obige Formel über ein funktionales Integral umzuformulieren. Dies ist tatsächlich möglich und das Ergebnis ist: $$Z=\frac{1}{N!}\int d^{3N}\vec{R}_0\sum_{\sigma\in S_N}\int_{\vec{R}_0}^{\sigma\vec{R}_0}\mathcal{D}[\vec{R}]\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}\int_0^{t_\beta}Ldt\right\}$$ Zunächst einmal, was sind die Annahmen. Die Hauptannahme ist, dass alle Teilchen identische spinlose Bosonen sind, es gibt geringfügige Modifikationen für den Fall mehrerer Arten. Ganz ähnlich verhält es sich auch mit nichtrelativistischen Fermionen. Das Funktionsintegral wird übernommen $\mathcal{D}[R]$wo Teilchen an Positionen beginnen $R_0$zum Zeitpunkt $t=0$und enden bei Positionen $\sigma R_0$zum Zeitpunkt $t=t_\beta=\beta\hbar$. Das funktionale Integral selbst ist so ziemlich der Kern von $\exp(-\beta H)$mit Argumenten $R_0$, $\sigma R_0$. Die verbleibende Summe und gewöhnliches Integral über $R_0$entsprechen der Aufnahme der Spur im Raum bossymmetrischer Zustände. Summe vorbei $\sigma$ist die Summe über Permutationen von $N$Teilchen (Fermionischer Fall enthält zusätzlichen Faktor von $-1$für ungerade Permutationen). Nun wird das Integral über die übernommen $R_0$- Anfangspositionen der Teilchen.

Dieses Integral bedeutet Folgendes: Nehmen Sie ein Funktionsintegral, bei dem Teilchen ihre Ausgangsposition verlassen und in kurzer Zeit wieder zurückkehren$t_\beta$. Je höher die Temperatur, desto kürzer die Zeit. Um die Austauscheffekte einzubeziehen, lassen Sie die Teilchen ihre Positionen tauschen. Bilden Sie dann das Integral über Anfangspositionen. Dann erhalten Sie die exakte Quantenverteilungsfunktion.

Schalten wir jetzt unsere Intuition ein. Die Zeit$t_\beta$enthält die Plank-Konstante – sie ist „quantenklein“. Teilchen in unserem funktionalen Integral, die klassischerweise signifikante Entfernungen zurücklegen, müssen sich also mit sehr hoher Geschwindigkeit bewegen, um in die Vergangenheit zurückzukehren. Das bedeutet, dass solche Trajektorien eine extrem große Wirkung haben, also werden sie unterdrückt (denken Sie daran: wir integrieren$\exp(-S/\hbar)$). Wir müssen also nur die Trajektorien betrachten, die sich nicht weit von der Ausgangsposition entfernen$R_0$. In der Tat können Sie zeigen, dass die charakteristische Entfernung von$R_0$ist etwa die thermische de Broglie-Wellenlänge$\lambda_\beta$. Für die klassische Näherung stellen wir folgende Forderung:$U$ändert sich bei solchen Maßstäben nur unwesentlich. Wir gehen auch davon aus, dass die Abstände zwischen den Teilchen statistisch viel größer sind als$\lambda_\beta$. Die letztere Annahme gibt den Bahnen, die Teilchen austauschen, eine exponentielle Unterdrückung. So effektiv müssen wir nur überlegen$\sigma=1$die Identitätspermutation.

Die Annahme über$U$erlaubt uns zu schreiben, sobald die Teilchen nicht sehr weit reisen,

$$U(\vec{R})\simeq U(\vec{R}_0)+(\nabla U(\vec{R}_0),\vec{R}-\vec{R}_0)+...$$ die klassische Annäherung entspricht dem ersten Term. Terme höherer Ordnung entsprechen Quantenkorrekturen. Nutzen wir diese Erweiterung im Funktionsintegral. Dann ist klar, dass der erste Term unter dem Funktionsintegral extrahiert werden kann und das Funktionsintegral nur mit Termen höherer Ordnung übrig bleibt: $$Z\simeq\frac{1}{N!}\int d^{3N} \vec{R}_0\exp\left\{-\frac{t_\beta}{\hbar}U(\vec{R}_0)\right\}\int_{\vec{R}_0}^{\vec{R}_0}\mathcal{D}[\vec{R}]...$$ Wenn wir uns nun der klassischen Näherung zuwenden und alle Terme höherer Ordnung vergessen, hängt das funktionale Integral nicht von ab $U$und kann leicht als eine Konstante ausgewertet werden $C_q$. Uns bleibt dann übrig $$Z\simeq\frac{C_q}{N!}\int d^{3N} \vec{R}_0\exp\left\{-\frac{t_\beta}{\hbar}U(\vec{R}_0)\right\}$$ was das klassische Konfigurationsintegral ist. $C_q$ist eigentlich das Ergebnis der Integration von Impulsen in die klassische Zustandssumme (in diesem Problem ist das Impulsintegral Gaußsch).

Eigentlich können wir es besser machen und anstatt die Terme höherer Ordnung zu vernachlässigen, hätten wir die Störungstheorie aufbauen können. Bei der Wigner-Kirkwood-Erweiterung stellt sich heraus, dass es genauso ist. Man sollte jedoch mit den Austauschbahnen vorsichtig sein - sie verringern / erhöhen effektiv die Lautstärke, denn wenn das Integral vorbei ist$R_0$durchläuft einen Konfigurationsraumpunkt, an dem zwei Teilchen sehr nahe beieinander liegen (Abstand um$\lambda_\beta$), wird die Austauschbahn signifikant und verstärkt entweder das funktionale Integral (Bosonen) – summiert sich mit der normalen Bahn oder hebt es auf (Fermionen). Dieser Effekt wird nicht exponentiell unterdrückt, er trägt zum$\hbar^3$bestellen (wenn ich mich richtig erinnere).

Ein letzter Punkt – wenn Sie das Impulsintegral in der klassischen Formel wiederherstellen wollen, sollten Sie sich fragen: zu welchem ​​Zweck? Bestimmte Durchschnittswerte von Impulsen kennen. In der Quantensprache entspricht dies den Spuren der Form$Tr\{f(p)\exp(-\beta H)\}$. Um es zu berechnen, betrachten Sie das erzeugende Funktional, wo statt$\exp(-S/\hbar)$wir integrieren$\exp(-S/\hbar+(\vec{J},M\dot{\vec{R}}(0))$. Dann kann mit demselben Verfahren wie oben gezeigt werden, dass es dem klassischen Fall entspricht. (Ich meine, dass$\langle f(p)\rangle=f(\partial_J)\langle\exp(J p)\rangle|_{J=0}$in beiden Fällen).

Der einzige Trick dabei ist, sich daran zu gewöhnen, wie diskrete Summen in Integrale umgewandelt werden.

Angenommen, Sie lassen Energie eine Funktion des Impulses sein$p$und Stellung$q$. Dann können Sie die diskrete Quantenpartitionsfunktion umschreiben als

$Z_{quantum}=\sum_{p,q}e^{- \beta E(p,q)},$

wo die Summe über jedem der ist$N$Positionen und$N$Impulse, und die einzige Herausforderung besteht darin, die geeigneten Konstanten für die Kontinuumsgrenze zu finden.

Dies ist am einfachsten, wenn Sie das System in einer Box der Länge nehmen$L$und Volumen$V=L^3$. Für die Position möchten Sie auf die Größe der Box normalisieren, dh

$$\sum_q \rightarrow \frac1V\int d^3q$$

für jedes Teilchen.

Zum$k$Beachten Sie, dass der Abstand der Wellennummern in einem Feld ist$2\pi n/L$in jede Richtung. Dies sagt Ihnen, dass die Korrespondenz hier ist$\sum_{k} \rightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int dk$für jedes Teilchen.

Setzen Sie alles zusammen und Sie erhalten

$$Z_{quantum}=\sum_{p,q}e^{- \beta E(p,q)} \rightarrow \left(\frac{V}{(2\pi)^3}\frac1V\right)^N \int \int e^{- \beta E(p,q)} dq^{3N} dk^{3N},$$

was, wenn Sie ersetzen$p=\hbar k$für jeden der 3N k's und Collect-Faktoren erhalten Sie den Standardausdruck.

Beachten Sie, dass hier keine spezielle klassische Annäherung vorgenommen wurde. Tatsächlich ist die klassische statistische Mechanik, zumindest meiner Ansicht nach, eine Fehlbezeichnung, da Sie alle möglichen Dinge wie die Diskretisierung des Phasenraums, die Plancksche Konstante und gelegentlich verwenden müssen$N!$Faktor, um das Gibbs-Paradoxon usw. zu vermeiden, das ohne Quantenphysik keinen Sinn ergibt. Wenn Sie dies verwenden, um so etwas wie das ideale Gasgesetz abzuleiten, ist die einzige echte klassische Annahme, dass Sie die Fermi- oder Bose-Statistik vernachlässigen können. (Diese Behauptung scheint in den Kommentaren ziemlich umstritten zu sein, ich werde bemerken, also werde ich den Haftungsausschluss geben, dass dies von meiner persönlichen und etwas willkürlichen Überlegung abhängt, was als „klassische“ Grenze angesehen wird und was nicht).

Bearbeiten: etwas mehr zum ersten Kontinuumslimit ...

Nehmen wir ein diskretes 1-d-System mit M Stellen. Dann$\sum_q e^{-\beta E}$ist besser geschrieben als$\sum_{i=1}^M e^{-\beta E_i}$, die das Exponential der Energie an jedem Ort summiert.

Nehmen Sie an, dass der Abstand zwischen den Orten 'a' ist. Dann$L=Ma$. Außerdem,

$\sum_{i=1}^M =\frac1L\sum_i^M a$

Sie können wahrscheinlich erraten, was Sie jetzt tun möchten - nehmen Sie a-> 0, während Sie die Anzahl der Standorte so erhöhen, dass L konstant ist. An dieser Stelle können wir a in 'dx' umbenennen und unsere Summe zur Identifizierung durch ein Integral darüber ersetzen$\sum_q=\frac1L\int dx$

was, wenn es auf drei Dimensionen und N Teilchen erweitert wird, das obige Ergebnis ergibt.

Ich werde sicherlich nicht behaupten, dass dies streng ist, aber gleichzeitig denke ich, dass Sie sich, wenn Sie in diese Richtung denken, in der Lage sein sollten, sich davon zu überzeugen, dass es nichts anderes sein kann. Skalierungsargumente wie dieses kommen überall vor, sowohl in der statistischen Mechanik als auch in anderen Bereichen der Physik.

edit2: Wie Peter in den Kommentaren zu Recht darauf hinweist, kann man einen Hamilton-Operator nicht gleichzeitig auf der Basis von x und p erweitern, wodurch unklar wird, wie diese klassische Korrespondenz durchgeführt werden soll.

Die Grenze, die wir nehmen, ist klar genug, denke ich. In der realen Quantenmechanik kann man sich aufgrund der Nichtkommutivität nicht vorstellen, dass jeder Zustand einen Punkt im Phasenraum einnimmt, sondern eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. In unserer Grenze gehen wir davon aus, dass diese Phasenraumvolumina klein genug sind, um als Punkte genommen zu werden – dies ist eine weitere Neuformulierung der obigen Kontinuumsgrenze.

Man könnte jedoch vernünftigerweise nach einer Vorschrift fragen, wie man die Wellenfunktion in einer Basis entwickelt, die Ort und Impuls gleich behandelt, um diese Grenze zu nehmen. Das kann gemacht werden. Das verwendete Werkzeug ist die Wigner-Funktion :

$W_n(x,p)=\frac1h \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x+y) \psi_n(x-y)e^{2ipy/\hbar} dy$

Der Erwartungswert eines Operators in diesem Formalismus ist

$\int \hat{A}(x,p) W(x,p) dx dp$

Wenn wir uns also die Partitionsfunktion als vorstellen$Z_{quantum}=tr(e^{- \beta \hat{H}(p,q)})$

Wenn man diesen Formalismus im Hinterkopf behält und wie zuvor die Grenze nimmt, bietet dies meiner Meinung nach eine plausible Möglichkeit, über die Beziehung zwischen der klassischen und der Quantenverteilungsfunktion nachzudenken.