Gibt es eine thermodynamische Grenze dafür, wie effizient man einen Zauberwürfel lösen kann?

Angenommen, ich baue eine Maschine, die Rubiks Würfel erhält, die zu einem der verschlüsselt wurden ∼ 2 65 mögliche Positionen des Würfels, einheitlich zufällig gewählt. Kann die Maschine die Würfel lösen, ohne Wärme abzugeben?

Das Lösen des Würfels könnte aus der Zerstörung von etwa 65 Bits an Informationen bestehen, da 65 Bits benötigt werden, um den Zustand des Würfels zu beschreiben, bevor er in die Maschine eintritt, aber null Bits, um ihn danach zu beschreiben (da bekannt ist, dass er gelöst ist).

Wenn die auf einem Rubik's Cube gespeicherten Informationen mit jeder anderen Art von physisch gespeicherten Informationen äquivalent sind, dann könnten wir nach dem Landauer-Prinzip erwarten, dass die Maschine eine Wärme von abgeben muss T d S ∼ 65 T k B ln ⁡ ( 2 ) , aber ist es gültig, das Landauer-Prinzip auf die so gespeicherten Informationen anzuwenden? Welche Art von Argument braucht es, um zu sagen, dass eine bestimmte Art von Information physikalisch bedeutsam ist, sodass ihre Zerstörung woanders Entropiekosten zahlen muss?

Ich bin nicht überzeugt von Ihrer Behauptung, dass ein gelöster Würfel weniger Informationen enthält. Sie müssen die Position nur einer Teilmenge der Würfel identifizieren, um die Konfiguration des Würfels eindeutig zu identifizieren (weil zB eine verdrehte Ecke eine zweite Ecke dazu zwingt, ebenfalls verdreht zu werden). Sie wissen nicht, dass ein Würfel gelöst ist, bis Sie überprüft haben, dass sich jeder Würfel in einer gültigen Position befindet, also ändern Sie nie die Entropie des Würfels, nur ob die Konfiguration in einem ästhetisch "gefälligen" Zustand ist oder nicht.
@CarlWitthoft Wie immer ist die einem Ensemble zugewiesene Informationsmenge beobachterabhängig. Aus Sicht eines Beobachters, der weiß (und tatsächlich darauf vertraut), dass der Würfel nach der Maschine gelöst wird, hat der Zustand vor seiner Lösung eine höhere Entropie. Aus der Sicht eines Beobachters, der außer den Regeln, wie sich der Zauberwürfel bewegen kann, nichts weiß, stimme ich Ihnen zu, dass die Entropie vorher oder nachher gleich ist.
Ich bin auch skeptisch gegenüber der Behauptung, dass ein gelöster Würfel weniger Informationen enthält, nur weil er per Konvention "richtig" aussieht. Außerdem ist die Lösung nicht eindeutig. Wenn Sie Orientierungsmarkierungen auf den Flächen hinzufügen, werden Sie sehen, dass es mehr als eine "gelöste" Konfiguration für einen herkömmlichen Zauberwürfel gibt.
@200_successes - Selbst wenn Sie Orientierungsmarkierungen hinzufügen, gilt immer noch, dass die Gesamtzahl der Anordnungen, die sich als "gelöster" Würfel qualifizieren würden, viel kleiner als die Anzahl ist, wenn Sie die Anzahl der verschiedenen möglichen Anordnungen von farbigen Quadraten und Orientierungsmarkierungen zählen aller möglichen ungelösten Arrangements (oder aller ungelösten Arrangements, die durch eine Reihe von Bewegungen von einem neu hergestellten Würfel in einem gelösten Zustand erreichbar wären, da wir davon ausgehen können, dass ein anfängliches "zufälliges" Arrangement durch zufälliges Mischen erstellt wurde ein neu hergestellter Würfel).
Und natürlich ist es nur eine Frage der Konvention, welche Anordnungen wir als "gelöst" bezeichnen, aber der Punkt ist nur, dass, wenn wir eine Maschine entwerfen, die einen Würfel in einen beliebigen Anfangszustand nimmt und ihn immer in einen dieser Zustände versetzt, die wir willkürlich haben als "gelöst" gekennzeichnet, dann bringt diese Maschine den Würfel von einer großen Anzahl möglicher anfänglicher Würfel-Makrozustände zu einer kleineren Anzahl endgültiger Würfel-Makrozustände. Damit das Phasenraumvolumen erhalten bleibt, muss die Umgebung in einem Makrozustand enden mit mehr Mikrozuständen als in seinem anfänglichen Makrozustand (siehe meine Kommentare zu Nathaniel).

Antworten (6)

Nehmen wir an, Sie haben einen Rubik-Würfel, der aus einer kleinen Anzahl von Atomen bei niedriger Temperatur besteht, so dass Sie Bewegungen ohne jegliche Reibungsverluste ausführen können, und nehmen wir an, dass der Würfel auf einen zufälligen seiner initialisiert wird ∼ 2 65 mögliche Zustände. Wenn Sie nun diesen Würfel lösen wollen, müssen Sie seinen Zustand messen. Im Prinzip geht das ohne Energieverlust. Sobald Sie die Züge kennen, die Sie ausführen müssen, um den Würfel zu lösen, können diese auch ausgeführt werden, ohne Energie zu verbrauchen.

Also entscheiden Sie sich jetzt, eine Maschine zu bauen, die den Würfel löst, ohne Energie zu verbrauchen. Zuerst misst es den Zustand und speichert ihn in einem digitalen Speicher. Dann berechnet es die Züge, die erforderlich sind, um den Würfel von dieser Position aus zu lösen. (Im Prinzip muss das auch keine Wärme erzeugen.) Dann macht es diese Züge und löst den Würfel.

Keiner dieser Schritte muss im Prinzip Wärme abgeben, aber Ihre Maschine endet in einem anderen Zustand als in dem Zustand, in dem sie gestartet wurde enthält noch die Informationen über den Anfangszustand des Würfels. Wenn Sie die Maschine zurücksetzen möchten, damit sie einen weiteren Würfel lösen kann, müssen Sie diese Zustandsbits auf ihre Anfangsbedingungen zurücksetzen, und das ist es, was nach dem Landauer-Prinzip Energie dissipieren muss.

Am Ende lautet die Antwort nur, dass Sie in allen Fällen, in denen Sie diese Informationen tatsächlich löschen müssen, Entropiekosten zahlen müssen, um Informationen zu löschen. Wenn Sie nur eine endliche Anzahl von Würfeln lösen möchten, können Sie den Speicher einfach groß genug machen, um alle resultierenden Informationen zu speichern, sodass sie nicht gelöscht werden müssen und keine Wärme erzeugt werden muss. Aber wenn Sie eine endlich große Maschine bauen wollen, die auf unbestimmte Zeit Würfel lösen kann, dann wird es schließlich eine Notwendigkeit sein, Entropie in die Umgebung abzugeben.

Dies gilt auch für Maxwells Dämon: Wenn es dem Dämon erlaubt ist, ein unendliches Gedächtnis zu haben, das alles auf einen bekannten Zustand initialisiert ist, muss er niemals Energie verbrauchen. Aber ihm ein unendliches Gedächtnis zu geben, ist so ziemlich dasselbe wie ihm eine unendliche Energiequelle zu geben; Es ist nur in der Lage, die thermodynamische Entropie seiner Umgebung unbegrenzt zu reduzieren, indem es die Informationsentropie seines eigenen inneren Zustands unbegrenzt erhöht.

Woher wissen wir, dass es unmöglich ist, den Würfel zu lösen, ohne die Position im Zustand der Maschine aufzuzeichnen?
@MarkEichenlaub: Der Rührwürfel hat ca 2 65 mögliche Zustände; der gelöste hat nur einen. Auf der mikroskopischen Ebene ist die Physik umkehrbar. Wenn also der Würfel gelöst ist, müssen die Informationen, die benötigt werden, um die Lösung umzukehren und den ursprünglichen verschlüsselten Zustand aus dem gelösten zu rekonstruieren, irgendwohin gehen . Das heißt, es muss entweder in einem Teil des Systems gespeichert oder von diesem (als Wärme) abgegeben werden.
@IlmariKaronen Okay, ja, ich denke, das klingt überzeugend. Vielen Dank.
Das klingt für mich nach Unsinn - der Würfel hat einen Anfangszustand und einen Endzustand. Es ist nicht in 2^65 Staaten gleichzeitig. Ob es möglich ist, die Schritte zu berechnen, die zum Lösen des Würfels erforderlich sind, ist eine ganz andere Frage
@Jon Story - Kennen Sie die Idee des Phasenraums in der Thermodynamik und die Idee, die Entwicklung eines Ensembles verschiedener Punkte (von denen jeder ein „Mikrozustand“ ist) zu berücksichtigen, die ein gewisses Volumen des Phasenraums einnehmen, und von die Idee, dass das Volumen erhalten bleiben muss ( Theorem von Liouville )? Wenn ja, stellen Sie sich einfach ein Startensemble vor, das aus Mikrozuständen besteht, die zu allen möglichen Anfangsmakrozuständen des Würfels, des Geräts und der Umgebung gehören – wenn sie sich alle zu demselben Endmakrozustand entwickeln
(Fortsetzung) des Würfels und des Geräts, dann kann das Phasenraumvolumen hier nur gleich bleiben, wenn die Umgebung in einem Makrozustand mit einem größeren Volumen als ihrem ursprünglichen Makrozustand (dh höherer Entropie) endet.
@IlmariKaronen Es scheint, dass dieses Argument darauf beruht, sagen zu können, dass der Zustand des Würfels irgendwie mit Mikrozuständen identifizierbar ist. ZB wenn ich den Zustand des Systems als Tensorprodukt schreiben könnte s j s t e m = c u b e s t a t e ⊗ e v e r j t h ich n g e l s e , dann würde das Argument b/c funktionieren, indem es die Entropie reduziert c u b e s t a t e zwingt mich, es zu erhöhen e v e r j t h ich n g e l s e , aber woher weiß ich, dass ich so über den Zustand des Würfels sprechen kann?
@Mark Eichenlaub - Wenn Sie "irgendwie mit Mikrozuständen identifizierbar" sagen, meinen Sie damit identifizierbar mit einem einzelnen Mikrozustand, oder meinen Sie, dass der Zustand des Würfels (die Anordnung dessen, was als Quadrate auf jeder Seite verwendet wird) als a angesehen werden kann Art von Makrozustand, der aus vielen möglichen Mikrozuständen besteht? Ich glaube, letzteres meinte Ilmari Karonen.
Ja, ich denke, das ist richtig. Wir können uns die Menge aller Mikrozustände des gesamten Systems ansehen und sie basierend auf dem Zustand des Würfels in jedem Mikrozustand partitionieren. Dann sollte aufgrund der ungefähren Symmetrie des Würfels jeder Zustand des Würfels ungefähr die gleiche Anzahl von Mikrozuständen des gesamten Systems haben, die ihm zugeordnet sind. Somit ist die Entropiereduktion basierend auf dem Zählen von Mikrozuständen ungefähr dieselbe wie die basierend auf dem Zählen der Informationen im Würfel.
"Ihm ein unendliches Gedächtnis zu geben, ist so ziemlich dasselbe wie ihm eine unendliche Energiequelle zu geben" - das ist eine ziemlich faszinierende Aussage. Haben Sie dazu Referenzen?
"Es ist nur in der Lage, die thermodynamische Entropie seiner Umgebung unbegrenzt zu reduzieren, indem es die Informationsentropie seines eigenen inneren Zustands unbegrenzt erhöht." Können Sie eine Referenz für diese Behauptung angeben? Es ist interessant, aber ziemlich unglaubwürdig. Nur den Zustand eines Systems mit dem Zustand vieler Teilchensysteme zu korrelieren, scheint nicht ausreichend zu sein, um den Makrozustand des letzteren zu ändern.
@JánLalinský das könnte an meiner sprachlichen Ungenauigkeit liegen. Ich wollte sagen: "Es kann die thermodynamische Entropie seiner Umgebung auf unbestimmte Zeit reduzieren, aber nur durch Prozesse, die eine unbegrenzte Erhöhung der Informationsentropie seines eigenen inneren Zustands beinhalten." Es ist nicht nur die Korrelation, die die Entropie verringert, sondern die Tatsache, dass es Messungen durchführen und darauf reagieren kann, ohne Wärme erzeugen zu müssen. Ich denke, die Referenz wäre Landauers Artikel, obwohl ich zugeben muss, dass ich das Original nicht gelesen habe. (Link siehe nächster Kommentar)
@immibis Ich denke, die Referenz wäre Landauers Artikel ( pitt.edu/~jdnorton/lectures/Rotman_Summer_School_2013/… ), obwohl ich zugeben muss, dass ich ihn nicht gelesen habe. Jede neuere Behandlung des Maxwell-Dämons sollte eine gute Erklärung dafür enthalten, wie der Dämon die Entropie eines Gases verringern kann, sodass Arbeit geleistet werden kann, es sei denn, er muss die Informationen löschen, die er zwangsläufig über das Gas speichert, während er arbeitet.
@MarkEichenlaub (Antwort auf Ihren ersten Kommentar) Dies liegt nur daran, dass die Maschine den Zustand des Würfels kennen muss, um ihn zu lösen. Sobald diese Informationen in den Zustand der Maschine kopiert wurden, gibt es keine Möglichkeit, sie zu löschen, ohne Wärme zu erzeugen. Um es anders zu sehen, es gibt ∼ 2 65 mögliche anfängliche (Makro-)Zustände des Systems Würfel+Maschine, daher muss es dieselbe Anzahl möglicher Endzustände geben, es sei denn, es sind Informationen verloren gegangen. Der Würfel endet immer im selben Zustand, also muss die Maschine in einem von enden ∼ 2 65 Zustände, abhängig vom Anfangszustand des Würfels.
@MarkEichenlaub, es sieht so aus, als ob die Diskussion den Rest Ihrer Fragen gelöst hat - ist das richtig?
Intuitiv finde ich das richtig. Ich denke, es ist auch nicht ganz streng, weil die im Würfel gespeicherten Informationen offensichtlich nicht die gleiche Art von Informationen sind, die in mikroskopischen Freiheitsgraden gespeichert sind. Informationserhaltung ist ein Theorem, das wir aus der Hamiltonschen Dynamik ableiten können. Wenn wir es auf den Rubik's Cube anwenden wollen, brauchen wir eine Begründung dafür, dass unsere Ideen über Hamiltonsche Systeme angewendet werden können. Es muss eine eindeutige Verbindung zwischen den Zuständen eines Zauberwürfels und den Mikrozuständen hergestellt werden, für die wir relevante Theoreme über Informationen haben.
@MarkEichenlaub Ich denke, dein Kommentar ist richtig; Eine andere Sichtweise ist, dass die gesuchte Verbindung genau das Landauer-Prinzip ist. Es besagt, dass wir, obwohl Informationen auf makroskopischer Ebene nicht erhalten bleiben müssen, makroskopische Informationen nicht löschen können, ohne die Anzahl mikroskopischer Zustände zu erhöhen. Dies liegt im Wesentlichen an dem, was Sie in Ihrem Kommentar sagen: Der Gesamtzustand des Systems kann jederzeit unterteilt werden Makrozustand ⊗ Mikrozustand , also nach dem Satz von Liouville können Sie den ersten nicht verringern, ohne den zweiten zu erhöhen.
Wäre es möglich, einen "Dummy"-Würfel zu haben, bei dem der Zustand unwichtig ist? Dann könntest du es lösen n andere Würfel, indem Sie die Umkehrung der Bewegungen im Dummy-Würfel speichern. Sie müssten die Informationen niemals zerstören, da Sie sich einfach nicht darum kümmern.
@CJDennis das ist eine gute Idee, und ich habe eine Weile gebraucht, um zu sehen, warum es nicht funktionieren kann. Angenommen, Sie haben den Würfel gelöst und möchten nun die „verschwendeten“ Informationen über seinen Anfangszustand in den Dummy-Würfel auslagern. Wenn sich der Dummy-Würfel in einem bekannten Zustand befindet (z. B. bereits gelöst), können Sie einfach die Informationen im Speicher mit dem Zustand des Dummy-Würfels „tauschen“, wodurch der Speicher gelöscht wird. Aber wenn Sie (der Designer der Maschine) den Zustand des Dummy-Würfels nicht kennen, funktioniert dies nicht; es gibt 2 65 Bits unbekannter Informationen im Speicher und andere 2 65 Bits im Dummy-Würfel - es kann nicht alles in den Würfel komprimiert werden.
...wenn Sie also einen unerschöpflichen Vorrat an anfänglich gelösten Dummy-Würfeln haben, können Sie unendlich viele Würfel lösen, indem Sie ihre Scrableness in die Dummy-Würfel übertragen - aber mit einem Dummy-Würfel können Sie nicht mehr als einen anderen Würfel lösen.
@Nathaniel Wenn jede Bewegung ein Gesicht um 90, 180 oder 270 Grad dreht, können Sie diese Informationen nicht im Dummy-Würfel speichern, indem Sie ihn in die entgegengesetzte Richtung drehen? Wenn das der Fall ist, spielt es keine Rolle, wie der Anfangszustand des Dummy-Würfels ist oder in welcher Reihenfolge Sie Züge auf anderen Würfeln ausführen. Sie können abwechselnd bewegen oder einen zufälligen Würfel auswählen, um sich jedes Mal zu bewegen. Sie würden den Zustand jedes Würfels effektiv mit XOR auf den Dummy-Würfel setzen.
@CJDennis XOR ist nur dann umkehrbar, wenn Sie auch eine seiner Eingaben speichern. Wenn Sie nur den Endzustand des Dummy-Würfels angeben, können Sie den Anfangszustand von mehr als einem Eingabewürfel nicht rekonstruieren, sodass Informationen verloren gegangen sind.
@Nathaniel Sind die Informationen verloren gegangen oder verschlüsselt? Wenn ich 10 8-Bit-Werte mit XOR verknüpfe, erhalten Sie keinen davon mit Sicherheit zurück, es sei denn, Sie kennen bereits mindestens 9 der ursprünglichen Werte. Wenn Sie irgendeine 9 kennen, können Sie immer die zehnte rekonstruieren.
@CJDennis, das ist der Punkt - die Informationen befinden sich nicht im Ergebnis des XOR, sondern in den Korrelationen zwischen dem Ergebnis und den Eingaben. Wenn Sie alle Eingaben bis auf eine beibehalten, haben Sie die Informationen immer noch, aber wenn Sie mehr als eine der Eingaben löschen, nicht mehr. Daher können Sie XOR nicht verwenden, um Informationen über den Anfangszustand von mehr als einem Eingabewürfel in einem einzigen „Dummy“-Würfel zu speichern, da das Lösen der Eingabewürfel die Eingaben für das XOR löscht.
@Nathaniel Die ursprüngliche Lösung funktioniert also nur, weil Sie "wissen", dass der Startzustand des Dummy-Würfels gelöst wurde?
@CJDennis Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "der ursprünglichen Lösung" meinen. Meinen Sie einen Fall, in dem ein Eingabewürfel gelöst werden kann, indem Informationen über seinen Anfangszustand auf einen Dummy-Würfel übertragen werden? Das kann tatsächlich nur funktionieren, wenn die Maschine unter der Annahme konstruiert wird, dass der Dummy-Würfel einen bestimmten Anfangszustand hat. Andernfalls gibt es mindestens zwei verschiedene Eingaben, die an dieselbe Ausgabe gehen (wobei "Eingabe" den Zustand des zu lösenden Würfels und den des Dummy-Würfels umfasst), sodass dies nicht ohne einen Schritt zum Löschen von Informationen implementiert werden kann das würde Wärme erzeugen.

Im Prinzip stimme ich Ihrer Analyse zu, aber ich stimme der Schlussfolgerung nicht zu. Aus algorithmischer Sicht können Sie den Würfel ohne Wärmeaufwand lösen, solange keine Informationen verloren gehen. Im Prinzip können Sie also einen zusätzlichen Würfel in einem bekannten Zustand haben, den Sie dann zusammen mit dem Würfel transformieren, den Sie zu lösen versuchen. Der Anfangszustand des ersten Würfels wird dann im Endzustand des zweiten Würfels kodiert. Im Bereich des reversiblen Rechnens repräsentiert der zweite Würfel eine Hilfsvariable.

Sicher, aber die Frage ist, wenn wir die Informationen nicht auf einem zweiten Würfel (oder anderswo) aufzeichnen, können wir dann die Schlussfolgerung rechtfertigen, dass die Maschine Wärme abgeben muss?
Der Punkt ist, dass es nicht umkehrbar ist. Wenn Sie Reibung usw. loswerden möchten, wird Ihr abstrakter Zauberwürfel irgendwann nur noch ein Haufen Qubits sein. Ich glaube jedoch nicht, dass das Landauer-Prinzip für allgemeine Informationsdarstellungen bewiesen ist.

Ich habe den Titel tatsächlich anders gelesen, also lassen Sie mich eine andere Frage beantworten: Was ist die thermodynamische Mindestanforderung, um einen Würfel zu lösen? Wenn Sie nun die Ausgangsposition analysieren (was einige Algebraiker getan haben), dann wissen Sie, wie viele Züge zur Lösung erforderlich sind. Wenn man über alle Ausgangszustände gewichtet summiert, also gewichtet nach der Anzahl der Lösungszüge aus jedem Zustand, findet man schnell die zu erwartende Energie (in „Zugeinheiten“), die std. Entwickler usw.

Ich denke, das ist langweiliger als die beabsichtigte Frage :-( .

Angenommen, ich baue eine Maschine, die Rubiks Würfel erhält, die zu einem der ~ verschlüsselt wurden 2 65 mögliche Positionen des Würfels, einheitlich zufällig gewählt. Kann die Maschine die Würfel lösen, ohne Wärme abzugeben?

Wenn Sie mit "Wärme abgeben" die Umwandlung von mechanischer / elektrischer Energie in innere Energie meinen, dann in der Praxis nein - in realen Maschinen gibt es immer eine gewisse Reibung und Dissipation von mechanischer / elektrischer Energie. Es ist äußerst schwierig, dies vollständig zu verhindern, wenn eine Bewegung im Spiel ist.

Wenn wir theoretisch eine Maschine bauen könnten, die Würfel ohne Energieverlust umwandelt (umkehrbare Mechanik befolgt, wo keine Wärme vorhanden ist oder mit vernachlässigbarer Energiemenge (langsam) arbeitet), dann lautet die Antwort meiner Meinung nach ja, da es Algorithmen zum Lösen von Rubiks gibt cube und ich sehe keinen Grund, warum diese Algorithmen nicht von dieser Art von Maschine ausgeführt werden könnten. Ich bin mir aber nicht sicher.

Das Lösen des Würfels könnte aus der Zerstörung von etwa 65 Bits an Informationen bestehen, da 65 Bits benötigt werden, um den Zustand des Würfels zu beschreiben, bevor er in die Maschine eintritt, aber null Bits, um ihn danach zu beschreiben (da bekannt ist, dass er gelöst ist).

Wenn Sie mit "Informationen zerstören" meinen, "den Würfel in den gelösten Zustand zurückversetzen und die Maschine in den Bereitschaftszustand zurücksetzen", dann stimme ich zu; in dem Sinne, dass nach dem Lösen des Würfels die Information über den Anfangszustand des Würfels nicht mehr daraus gewonnen werden kann.

Lassen Sie mich jedoch auf einen Punkt näher eingehen, der oft verwirrend ist; körperlicher Zustand ist keine Information. Die Verwendung des Begriffs "Informationen werden zerstört" verwirrt die Analyse, da der Prozess tatsächlich zu einer Zunahme von Informationen über den Würfel führt; Wir kannten den Anfangszustand nicht, aber am Ende wissen wir, dass es gelöst ist.

Deshalb ist es wichtig, zwischen dem physikalischen Zustand des Würfels und Informationen über den Zustand des Würfels zu unterscheiden. Was dabei zerstört wird, ist keine Information, sondern der physische Ausgangszustand; die Informationen nehmen tatsächlich zu.

Selbstverständlich kann die Information über den Anfangszustand weiterhin aus dem Zustand der Maschine oder ihrer Umgebung gewonnen werden.

...nach dem Landauer-Prinzip könnten wir erwarten, dass die Maschine eine Wärme von abgeben muss T d S ~ 65 T k B ln ⁡ ( 2 ) , aber ist es gültig, das Landauer-Prinzip auf die so gespeicherten Informationen anzuwenden?

Nein.

Wenn die Maschine durch die Einwirkung der Umgebung zurückgesetzt wird, nimmt die Informationsentropie der Maschine + des Würfels ab. Wenn die Informationsentropie dasselbe wäre wie die thermodynamische Entropie und der gesamte Prozess vernünftigerweise als reversibler thermodynamischer Prozess beschrieben werden könnte, könnte man meinen, dass dies mit einer Wärmeabgabe des Systems an die Umgebung einhergeht, da Clausius dies in diesem Fall gezeigt hat Δ S t h e r m Ö d j n a m ich c = ∫ d Q / T .

Aber das ist überhaupt nicht der Fall. Selbst wenn wir davon ausgehen, dass die Informationsentropie der Umgebung durch den Prozess zunimmt, reicht dies allein nicht aus, um darauf zu schließen, dass die thermodynamische Entropie dasselbe tut. Es ist möglicherweise nicht einmal auf die Umwelt anwendbar. Wenn dies der Fall ist, kann der gesamte Prozess immer noch mit einer beliebig kleinen Energieübertragung ablaufen, sodass keine Untergrenze für die Wärmemenge impliziert werden kann.

Ich verstehe nicht, warum manche Menschen so viel Glauben und Enthusiasmus in das Landauer-Prinzip setzen. Die Konzepte von Temperatur, Wärmeübertragung und thermodynamischer Entropie sind von begrenzter Anwendbarkeit und ihr richtiges Anwendungsgebiet ist die Thermodynamik makroskopischer Systeme. Es macht wenig Sinn, die Beschreibung von Rechenprozessen zu erschweren, indem nur begrenzte Begriffe der Thermodynamik oder der statistischen Physik verwendet werden.

Welche Art von Argument braucht es, um zu sagen, dass eine bestimmte Art von Information physikalisch bedeutsam ist, sodass ihre Zerstörung woanders Entropiekosten zahlen muss?

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie den Ausdruck "physikalisch sinnvoll" verwenden. Information ist keine physikalische Eigenschaft von Körpern. Es ist ein nicht-physisches Konzept. Informationen befinden sich ursprünglich im Kopf. Dann kann es in den physischen Zustand eines anderen Körpers wie eines Buches, einer Festplatte oder eines Zauberwürfels kodiert werden, aber der Verstand wird immer noch benötigt, um den Zustand in Informationen umzuwandeln.

Plausibel sind jedoch die Entropiekosten, also Informationsentropiekosten. Nachdem die Umgebung mit einem System unbekannten Zustands (Zauberwürfel) interagiert hat, nimmt die Menge an Informationen über die Umgebung, die wir haben, höchstwahrscheinlich ab. Dies bedeutet, dass die Informationsentropie (unser Unwissen über den Zustand der Umgebung) zunimmt, daher die Kosten.

Ich möchte hier jedoch noch einmal sagen, dass es in keinem dieser Systeme eine direkte Auswirkung auf die Änderung der thermodynamischen Entropie (oder der Wärmeerzeugung) gibt.

Informationsentropie und thermodynamische Entropie sind sehr unterschiedliche Konzepte und es gibt keine allgemein gültige Korrelation zwischen ihren Änderungen. Nur bei thermodynamisch reversiblen thermodynamischen Prozessen korrespondieren sie miteinander. Es ist nicht notwendig, dass die Umgebung einem solchen Prozess unterzogen wird, da die Maschine den Zauberwürfel löst.

"Die Konzepte von Temperatur und Entropie sind von begrenzter Anwendbarkeit und ihr richtiges Anwendungsgebiet ist die (statistische) Thermodynamik. Der Computer muss nicht in Bezug auf dieses Schema beschrieben werden." Es muss nicht sein , aber die Frage ist, zu welchen Schlussfolgerungen Sie kommen, wenn Sie sich dafür entscheiden , es mit diesen Begriffen zu beschreiben. Wenn Sie die Anordnung der Quadrate auf dem Würfel und den Zustand des Computerspeichers als Makrovariablen verwenden, um den Makrozustand zu beschreiben (vielleicht zusammen mit anderen wie der Temperatur), dann wird das System garantiert den gleichen Wert dieser Variablen erhalten ,
(Fortsetzung), was impliziert, dass die Kombination der Makrozustände für den Würfel, den würfellösenden Computer und die Umgebung eine höhere Multiplizität (also eine höhere Entropie) als die anfänglichen Makrozustände haben muss, vermutlich aufgrund einer Temperaturerhöhung. Siehe meine Kommentare zu Nathaniels Beitrag über die Erhaltung des Volumens im Phasenraum für die Begründung.
Dies ist ein offensichtlicher Punkt, der nicht die Absicht der Frage war. Was ist, wenn der Computer sehr viele Würfel lösen muss und nicht genug Speicher hat, um sie alle zu speichern?
Ich habe die Antwort umformuliert und erweitert.
@MarkEichenlaub: Ich bin mir nicht sicher, ob es so offensichtlich ist, also denke ich, dass es gut ist, es in der Antwort auszudrücken. Wenn die Maschine nicht genug Speicher hat, muss sie zurückgesetzt werden, bevor der nächste Würfel gelöst wird. Also kommt die Umwelt ins Spiel - siehe oben.
@Hypnosifl: Ich denke, es macht wenig Sinn, Thermodynamik und Makrovariablen wie Temperatur und thermodynamische Entropie zu verwenden, um rein mechanische Prozesse zu beschreiben, selbst wenn Informationsentropie angewendet werden kann, deshalb habe ich das gesagt. Ich sehe keinen Sinn darin, Makrovariablen einzuführen, wenn Mikrovariablen notwendig sind, um Details des Prozesses zu definieren und zu diskutieren. Richtig, es kann für den Würfel gemacht werden, kaum für den Computer und vielleicht für ein begrenztes Modell der Umgebung. Ich sehe einfach keinen Sinn darin, das zu tun. Aber ich könnte mich irren.
Aber es geht nicht darum, eine realistische Schätzung der Wärme zu finden, die durch den mechanischen Prozess erzeugt würde, sondern nur um die statistische Mechanik zu verwenden, um zu zeigen, dass es eine absolute Untergrenze für die Entropie gibt, die durch jeden Prozess erzeugt werden könnte dieser Typ (einer, bei dem Makrovariablen, die sowohl mit der Anordnung des Würfels als auch mit dem Speicher des Geräts verbunden sind, unabhängig von den Anfangswerten garantiert einen bekannten Satz von Endwerten erhalten). Sind Sie tatsächlich mit der statistischen Argumentation für eine solche Untergrenze nicht einverstanden, oder sagen Sie nur, dass sie in der Praxis nicht nützlich ist?
Außerdem würde ich sagen, dass die thermodynamische Entropie eine bestimmte Art von Informationsentropie ist - Selbstinformation ist der Logarithmus der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses aus einem beliebigen Probenraum, den Sie möglicherweise verwenden möchten, während die thermodynamische Entropie eines Makrozustands dies ist k mal das -log der Wahrscheinlichkeit, dass das "Ergebnis" des Systems in einem bestimmten Mikrozustand ist, bei einem bekannten Makrozustand (oder kx log Gesamtzahl von Mikrozuständen). Es steht Ihnen jedoch frei, einen beliebigen Satz von Makrovariablen auszuwählen, um Ihren Makrozustand zu definieren.
@Hypnosifl, die Informationsentropie für das System (Würfel + Maschine) nimmt ab. Es macht wenig Sinn, die Informationsentropie für die Umgebung einzuführen, aber wenn wir dies tun und die Entwicklung des Supersystems hamiltonsch ist, dann bleibt die Gesamtinformationsentropie konstant. Wenn die Informationsentropie als additiv definiert wird, nimmt die Informationsentropie der Umgebung zu. Das ist nicht sehr interessant. Sie hängt von den genannten speziellen Annahmen ab und selbst wenn sie gültig ist, gibt es keine Implikationen für die Übertragung von Wärme oder thermodynamischer Entropie.
@Hypnosifl, k mal Log der Anzahl der Mikrozustände ist keine thermodynamische Entropie, sondern eine spezielle Instanz der Informationsentropie für den Fall, dass alle Zustände gleich wahrscheinlich sind. Durch zusätzliche Annahmen kann sein Wert für ein mechanisches Modell eines thermodynamischen Systems (Gas in einem Behälter) proportional zur thermodynamischen Entropie für Zustände des thermodynamischen Gleichgewichts gemacht werden. Aber der Würfel, die Maschine und die Umgebung sind keine Modelle irgendeines thermodynamischen Systems und es macht keinen Sinn zu sagen, dass sie sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden.
Ich habe mich eher auf die Selbstinformation eines individuellen Ergebnisses bezogen als auf die Informationsentropie H (die eigentlich der Erwartungswert der Selbstinformation für ein Ergebnis ist, bevor man weiß, was das Ergebnis ist). Die Selbstinformation entspricht etwa der Länge einer Nachricht, die benötigt würde, um ein Ergebnis zu übermitteln, wobei ein ideales Schema wie die Huffman-Codierung verwendet wird, das weniger Symbole für wahrscheinlichere Ergebnisse verwendet. In dieser Hinsicht ist der Stat-Mech. Die Entropie eines Makrozustands ist nur das k-fache der Länge einer Nachricht, die benötigt würde, um den Mikrozustand anzugeben, vorausgesetzt, Sie kennen den Makrozustand bereits.
Es ist auch eine Frage der Perspektive, aber ich würde sagen, die andere statistische Mechanik-Definition von Entropie, S = − k ∑ ich p ich Protokoll ⁡ p ich , basiert letztendlich immer noch auf der Idee, alle Mikrozustände als gleich wahrscheinlich zu behandeln, da Sie nach meinem Verständnis normalerweise die ableiten p ich für jeden Mikrozustand i Ihres Systems A, indem Sie davon ausgehen, dass es mit einem Reservoir B in Kontakt steht und dass sich das größere kombinierte System (A + B) mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem seiner Mikrozustände befindet.
Wenn Sie dann Makrozustände für das kombinierte (A + B) System in Bezug auf die Mikrozustände von A definieren (jeder Makrozustand besteht aus allen Mikrozuständen von A + B, in denen sich A in einem bestimmten Mikrozustand befindet), mit den so definierten Makrozuständen, S = − k ∑ ich p ich Protokoll ⁡ p ich gibt das k-fache des Erwartungswerts für die Länge einer Nachricht an, die benötigt wird, um den Makrozustand von A + B (oder äquivalent den Mikrozustand von A) anzugeben, ohne den vollständigen Mikrozustand A + B anzugeben, wobei Huffman-Codierung mit der Annahme verwendet wird, dass jeder voll ist Mikrozustand für A+B ist gleich wahrscheinlich.
Endlich, S = k Protokoll ⁡ Ω kann als Definition der Entropie eines Makrozustands genommen werden, die auch dann noch gilt, wenn das System aus dem Gleichgewicht heraus startet. Die Idee ist dann, den Satz von Liouville zu verwenden, der besagt, dass die Dynamik das Volumen im Phasenraum erhalten muss. Wenn Sie zum Zeitpunkt t0 ein Ensemble von Mikrozuständen haben, die sich alle in einem Satz von Makrozuständen A1, A2, … , An befinden, können sie sich nicht alle zu Mikrozuständen entwickeln, die alle Mitglieder der Makrozustände B1, B2, … , Bm zum Zeitpunkt t1 sind wenn die Summe der Entropien der zweiten Menge kleiner ist als die Summe der Entropien der ersten Menge,
(Forts.), da dies bedeuten würde, dass das Ensemble seine Lautstärke im Phasenraum reduziert hätte. Sind Sie nicht der Meinung, dass dies eine logische Folge des Satzes von Liouville ist? Dies ist die Art von Argumentation, die hier verwendet wird, um beispielsweise das Landauer-Prinzip abzuleiten. Ich glaube, Sie können auch eine ähnliche Art von Argument verwenden, um die Schlussfolgerung abzuleiten, dass sich ein isoliertes System, das in einem Makrozustand weit entfernt vom Gleichgewicht beginnt, wahrscheinlich in Richtung Makrozustände mit höherer Entropie entwickelt, siehe Abschnitt 2 hier .

Je nachdem, wie weit Sie die Idee eines Zauberwürfels interpretieren, erfordert eine quantenmechanische Version weder zum Randomisieren noch zum Lösen Wärme. Angenommen, wir haben einen virtuellen Würfel, dessen Zustand durch 65 Qbits dargestellt wird. Es ist wünschenswert, dass verschiedene Zustände des Systems eine sehr geringe Kopplung haben, aber in der Praxis müssen sie einige haben, so dass sich ein System, das in einem Basiszustand beginnt, in dem jedes Bit einen bestimmten Wert hat, auf lange Sicht zu einer Überlagerung entwickelt. Um das System zu randomisieren, warten wir sehr lange (aber zufällig) und lesen dann die Qbits. Wir führen dann eine Reihe einheitlicher Operationen durch, um die Qbits an den Zustand zurückzugeben | 0 , 0 , 0...0 ⟩ , die einen gelösten Würfel darstellt. Da im Prinzip beide Vorgänge keine Energie benötigen, entstehen keine thermodynamischen Kosten.

Rubik's Cube kann Informationen speichern. Die Angaben können geändert werden. Zauberwürfel ist ein Speichergerät. Das Ändern einer Information in einem Zauberwürfel erfordert mindestens Energie kT ln 2. Das ist das Landauer-Prinzip.

Die Energie, sich in einem Rubik-Würfel ein wenig zu verändern, wird zur Wärmeenergie des Rubik-Würfels.

Ein virtueller Zauberwürfel im Computerspeicher gehorcht demselben Gesetz.

Ich bin damit nicht einverstanden. Der Zustand des Zauberwürfels kann (im Prinzip) mit einer einheitlichen Operation geändert werden, die keine Energie kostet. Der Wechsel zwischen reinen Zuständen muss keine Energie kosten. Aber das Randomisieren des Zustands (Löschen von Informationen) kostet Energie. Das ist Landauers Prinzip, siehe Nathaniels Antwort.
Sie überschreiben alte Informationen, wenn Sie etwas in einem Zauberwürfel speichern. Zauberwürfel ist ein irreversibles Gerät. Um den Zauberwürfel umkehrbar zu machen, muss der Zauberwürfel verändert werden, genauso wie ein Laptop ziemlich viel verändert werden muss, wenn wir einen umkehrbaren Computer daraus machen wollen.
Ein normaler physischer Zauberwürfel ist natürlich irreversibel. Allerdings sehe ich prinzipiell nichts, was Sie davon abhält, einen mit sehr geringer Reibung herzustellen und die Konfiguration quasi statisch zu ändern, was offensichtlich verschwindend wenig Energie kostet.
Thermische Vibrationen würden den Rubik-Würfel mit geringer Reibung während des langsamen Schreibversuchs randomisieren ... Aber siehe die Antwort von Lionelbrits.
Klar, dann muss man das Ding bei Nulltemperatur machen. Oder wenn Sie möchten, bei einer solchen Temperatur ℏ / k B T ist viel länger als die Zeit, die zum Schreiben benötigt wird.
Gibt es eine thermodynamische Grenze dafür, wie effizient man einen Zauberwürfel lösen kann?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v