Gibt es in der Physik „Momente höherer Ordnung“?

Ich muss damit beginnen, dass ich nichts über die in diesem Auszug gezeigte Ableitungsmethode weiß. Ich habe einige Berechnungen ausprobiert, aber es scheint nicht einmal das gleiche Ergebnis wie die Standarddefinition zu geben, also vermute ich, dass er etwas anderes berechnet als das, was wir in der modernen Physik "Momente" nennen. Wie auch immer, zur Erklärung:

Das Wort "Moment" wird in der Physik für verschiedene Zwecke verwendet, daher kann es ein etwas verwirrender Begriff sein, weil Sie wissen müssen, was mit dem Kontext gemeint ist. Aber all die verschiedenen Bedeutungen des Moments ergeben sich aus seiner Definition in der Mathematik.

In der Mathematik ist ein Moment eine Möglichkeit, eine Verteilung zu charakterisieren. Es könnte eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Massenverteilung, eine Ladungsverteilung oder etwas Ähnliches sein; Alles, was Sie brauchen, ist eine Funktion$f(x)$die die Dichte der betreffenden Größe (Masse/Ladung/Wahrscheinlichkeit) definiert. Mit anderen Worten,$\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x$ist die Menge an "Zeug" zwischen$a$Und$b$.

Der$n$mathematisches Moment einer Verteilung mit Dichtefunktion$f(x)$um einen Punkt$c$wird nach einer ganz einfachen Formel berechnet:

(als leichter Notationsmissbrauch, wenn$n = 0$der Moment ist unabhängig von$c$also schreibe ich es so$I^{(0)}$) Dies lässt sich auf höherdimensionale Räume verallgemeinern, aber dann wird der Moment zu einem$n$-Indextensor:

In physikalischen Anwendungen sind die verwendeten Definitionen etwas anders, aber im Allgemeinen an$n$Moment beinhaltet das Integral von einigen$n$Potenz der Position multipliziert mit der Verteilungsfunktion$f(\mathbf{r})$. (Die oben genannten Unterschiede zeigen sich darin, wie Sie die verschiedenen Komponenten von verwenden$\mathbf{r}$das zu berechnen$n$te Kraft.)

Viele typische Maße zur Beschreibung physikalischer Systeme oder mathematischer Verteilungen lassen sich als Momente darstellen. Zum Beispiel:

• Wenn$f(x)$ist eine 1D-Wahrscheinlichkeitsverteilung:

  • Die Normalisierungskonstante (die 1 ist) ist$I^{(0)}$
  • Der Mittelwert ist$\langle x\rangle = I^{(1)}(0)$
  • Die Varianz ist$I^{(2)}(\langle x\rangle)$

• Wenn$f(\mathbf{r})$ist eine Massenverteilung:

  • Die Gesamtmasse ist$I^{(0)}$
  • Der Massenmittelpunkt ist$I^{(1)}(0)$(daher der Begriff "gewichteter Durchschnitt")
  • Das Trägheitsmoment um einen beliebigen Punkt$\mathbf{c}$ist ein zweiter Moment

• Wenn$f(\mathbf{r})$ist eine Ladungsverteilung:

  • Die Gesamtladung oder das Monopolmoment ist$I^{(0)}$
  • Das Dipolmoment ist$I^{(1)}(0)$
  • Das Quadrupolmoment ist ein zweites Moment
  • usw

Bei Gebührenverteilungen die Mengen$I^{(n)}(0),\ n=0,1,2,\ldots$(modifiziert mit den erforderlichen zusätzlichen Termen) werden als elektrische Multipolmomente bezeichnet $Q^{(n)}$. Diese Größen sind von besonderem Interesse, da man das elektrische Potential einer beliebigen Ladungsverteilung nach aufeinanderfolgenden Momenten erweitern kann:

In vielen Situationen$r$relativ groß ist, reicht es aus, nur den ersten Term ungleich Null dieser Reihe in einer Berechnung zu verwenden. Höhere Momente enthalten gewissermaßen detailliertere Merkmale der Ladungsverteilung, die "verschwimmen" und daher bei großen Entfernungen wenig Wirkung haben.

Für das Beispiel, das Sie hier sehen, klingt es so, als würde Pearson die Flächenmomente in berechnen$x$Dimension um den Ursprung herum - also die Dichtefunktion$f(x)$ist die Funktion, die die Oberseiten der Rechtecke verfolgen würde.

(Sie können sich dies als Berechnung der Massenmomente eines Pappausschnitts der Binomialverteilung vorstellen, vorausgesetzt, der Karton hat eine gleichmäßige Dichte).

Sie können dies in die integrale Definition eines Moments einfügen, obwohl der resultierende Ausdruck ziemlich kompliziert ist und, wie gesagt, nicht die gleichen Ergebnisse zu liefern scheint wie die Ableitungsmethode, die Pearson verwendet. Also glaube ich, dass er etwas anderes berechnet.

Hier ist ein Beispiel dafür, wie höhere Momente nützlich sind:

Bei Schwerionenkollisionen zählen wir die Anzahl der bei jeder Kollision detektierten Protonen und Antiprotonen. Wir zeichnen auch die Netto-Protonenzahl auf, die einfach die Differenz der ersten beiden Zahlen ist. Wir setzen diese Daten zu einer Annäherung der Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen, eine gegebene Nettoprotonenzahl zu sehen.

Wir berechnen die zentralen Momente erster bis achter Ordnung dieser Verteilung und verwenden diese zur Berechnung der Kumulanten erster bis achter Ordnung. Die Verhältnisse dieser Kumulanten sind ein Indikator für das Vorhandensein von Quark-Gluon-Plasma, da sie signifikant anders wären, wenn die Kerne schmelzen würden. Eine ausführlichere Erklärung finden Sie unter https://arxiv.org/abs/1607.06602 .

Der$n$te Moment einer Verteilung ist

Welche physikalischen Werte verwendet werden sollen$x$Und$w$($\rho$) hängt davon ab, in welchem ​​Moment Sie rechnen. In der obigen Berechnung scheint das Gewicht eine gemessene Wahrscheinlichkeit und der Abstand die Position des Behälters zu sein.

Beachten Sie, dass das nullte Moment nur die Summe der Gewichte ist (Integral der Dichte), das erste Moment ist die Art der Berechnung, die Sie im "Trägheitsmoment" sehen , wenn wir es zulassen$x$Sei "der Abstand vom Zentrum" .

Wir können sagen, dass Momente höherer Ordnung die Form der Verteilung darstellen: Der Mittelwert des zweiten Moments stellt dar, wie stark die Streuung ist, wobei dies durch eine Punktstreuung zu sehen ist. der dritte steht für die Schiefe/Asymmetrie, der vierte für die Ebenheit der Kurve. Weitere Momente setzen sich auf diese Weise fort, aber es ist meines Wissens in Sprache nicht ausdrückbar, oder Sie können die ersten Momente des Quadrats der Variablen, des Würfels, betrachten ... Im Allgemeinen repräsentieren diese höheren Ordnungen die Details der Variablen: Going to höherer Ordnung stellen Sie die Daten in immer detaillierterer Ansicht dar. Diese Beobachtung hat praktische Auswirkungen: Wenn Sie eine Stichprobe mit einer endlichen Datenmenge haben, können Sie die Momente bis zu einer Ordnung berechnen: Die Berechnung der höheren Ordnung ist nutzlos und ein Fehler, weil Sie nicht genügend Daten haben. Oder besser gesagt, die Varianz des Moments im Großen und Ganzen betrachtet. Bei Interesse ist mein Buch (Doktorarbeit) "Construction of Random Signals from their Higher Order Moments",Ismail Chamseddine, 1997 .