Gilt Münchhausens Trilemma für die Mathematik?

Münchhausens Trilemma wird oft als eine Art skeptisches Argument präsentiert, das vorgibt zu zeigen, dass Wissen oder Demonstration oder bestimmte Überzeugungen oder etwas, das damit verwandt ist, unmöglich sind. Aber es kann hilfreicher sein, es einfach als Weggabelung zu betrachten. Wenn Sie mit der naiven Vorstellung beginnen, dass Überzeugungen einer Rechtfertigung bedürfen und dass eine solche Rechtfertigung die Form einer Überzeugung annimmt, dann bleiben Ihnen drei Möglichkeiten. 1. Ihre Kette rechtfertigender Überzeugungen geht ins Unendliche zurück. 2. Ihre Überzeugungen werden zirkulär begründet. 3. Ihre naive Idee muss angepasst werden, um Ausnahmen zuzulassen, dh eine Sammlung grundlegender Überzeugungen, die keiner Rechtfertigung bedürfen. Man kann natürlich auch den drastischeren Schritt unternehmen, die Forderung nach Rechtfertigung ganz abzulehnen, was einige Philosophen tun.

Die gleiche Struktur ergibt sich in anderen Kontexten. Wenn Sie mit der Idee beginnen, dass alle Ereignisse eine Ursache haben und eine Ursache selbst ein Ereignis ist, dann erreichen Sie die gleiche Art von Trilemma. Entweder gibt es eine unendliche Regression von Ursachen oder ein kreisförmiges Muster von Ursachen oder eine privilegierte Sammlung von einem oder mehreren unverursachten Ereignissen, die die Ausnahme darstellen. Dasselbe passiert mit Wortbedeutungen. Wenn alle Wörter eine Definition haben und die Definition in Wörtern angegeben ist, benötigen Sie entweder eine unendliche Regression der Definitionen, oder die Definitionen sind kreisförmig, oder es gibt einige Wörter, die grundlegend sind und keine Definition erfordern.

Auf das Trilemma hinzuweisen, dient nicht als Argument dafür, dass das Konzept der Ursache fehlerhaft ist oder dass Wörter keine Definitionen haben können, es sagt nur, dass es hier eine Weggabelung in drei Richtungen gibt und wir eine Wahl treffen oder die Annahmen ablehnen müssen das hat uns auf diese Straße gebracht. Bei den Ursachen wurden alle drei Optionen verteidigt. Bei den Definitionen erscheint die kreisförmige Variante am plausibelsten: Wenn Sie ein Wort in einem Wörterbuch nachschlagen und dann die Definiens nachschlagen, drehen Sie sich im Kreis. Es macht das Wörterbuch nicht nutzlos.

Im Falle der Erkenntnistheorie gibt es viele Verteidiger der zweiten und dritten Option. Die zweite Option heißt Kohärenzismus , die dritte Fundamentalismus . Kohärenzisten sind der Ansicht, dass es keine nicht-zirkuläre Rechtfertigung von Überzeugungen gibt, also können wir höchstens auf ein konsistentes Netz von Überzeugungen hoffen, das mit unseren Beobachtungen und Erfahrungen übereinstimmt. Foundationalisten sind der Ansicht, dass einige Überzeugungen unwiderlegbar und unbestreitbar sind. Für Rationalisten könnten dies grundlegende Prinzipien der Vernunft sein; für Empiriker könnten diese die Form einer Art Phänomenalismus annehmen.

Die Mathematik entgeht dem Trilemma nicht. Ein Formalist könnte sagen, dass er nur ein Spiel spielt, in dem Symbole manipuliert werden, und dass es keine Rechtfertigung dafür gibt, dieses Spiel zu spielen, aber diese extreme Vielfalt des Formalismus scheint der schieren Nützlichkeit der Mathematik nicht gerecht zu werden. Mathematische Theorien haben Interpretationen, unter denen ihre Sätze wahr oder falsch sind. Es ist also sinnvoll zu fragen, wie wir mathematisches Denken rechtfertigen, und es ergeben sich dieselben drei Optionen. Die verschiedenen Ansätze zur Philosophie der Mathematik, nämlich Platonismus, Formalismus, Intuitionismus, Logikismus, Konventionalismus, Strukturalismus, Konstruktivismus, Fiktionalismus, Empirismus usw., geben unterschiedliche Antworten auf diese erkenntnistheoretische Frage.

Obwohl sich die Mathematik der Logik bedient, löst dies das Problem nicht, da sie uns nur einlädt, unsererseits zu fragen, wie wir die Logik rechtfertigen. Ungefähr einmal im Jahr bekommen wir auf dieser Seite die Frage, ob es möglich ist, die deduktive Logik zu rechtfertigen, und obwohl vieles gesagt werden kann, z. B. hier und hier , gibt es letztendlich keine nicht zirkuläre Rechtfertigung.

Aber meiner Meinung nach gilt dies nicht für die Mathematik: Wir brauchen eigentlich keine Axiome, um wahr zu sein, was auch immer Sie mit "wahr" meinen. Axiome sind nur Axiome. Sie akzeptieren sie entweder und machen die Theorie oder schlagen andere Axiome vor und machen eine andere Theorie.

Ein reiner Formalist kann versuchen , dies zu behaupten, aber es scheitert, weil man zumindest einige grundlegende Eigenschaften von endlichen binären Zeichenfolgen (oder Äquivalenten) annehmen muss, um überhaupt sinnvoll über sogar einfache FOL (Logik erster Ordnung) sprechen zu können, um nicht zu sagen kompliziertere axiomatische Systeme. Ich sage mehr in diesem Beitrag .

Daher muss jeder (außer denen, die logisches Denken vollständig ablehnen) an die Wahrheit einiger grundlegender Axiome über endliche binäre Zeichenfolgen glauben , wie z. B. TC (Theory of Concatenation) ( hier angegeben ). Dies ist das absolute Minimum. Aber dies öffnet die Tür zu natürlichen Fragen, ob andere Sätze über TC (mit höherer Quantorenkomplexität) auch sinnvoll sind und ob sie auch boolesche Wahrheitswerte haben. In gewissem Sinne bestimmt die Antwort auf diese Frage, ob Sie ein strenger Finitist sind oder nicht. Wenn Sie daran zweifeln, dass irgendetwas über rein finite Dinge hinausgeht, dann bleiben Sie möglicherweise nur bei TC hängen. Aber wenn Sie denken, dass die Quantifizierung über alle endlichen binären Strings boolesche Aussagen bewahrt, dann erhalten Sie TC plus Induktion, was äquivalent zu istPA (Peano-Arithmetik) .

Das ist nicht alles. Es gibt einige grundlegende Tatsachen der Logik, wie die semantische Vollständigkeit von FOL für zählbare Theorien und die syntaktische Unvollständigkeit formaler Systeme, die TC interpretieren können. Das erste kann einfach nicht ohne ein winziges bisschen Arithmetik zweiter Ordnung jenseits von PA bewiesen werden. Man kann argumentieren, dass die zweite Arithmetik Arithmetik zweiter Ordnung erfordert, um eine echte Bedeutung zu haben, obwohl PA selbst eine geeignet codierte Version nachweisen kann. Mehr dazu sage ich hier . Beachten Sie, dass der Logiker Peter Smith auch darauf hinweist, dass jeder, der PA akzeptiert, auch ACA akzeptieren sollte .

ACA steht tatsächlich sehr weit unten in der allgemeinen „ Hierarchie “ der grundlegenden Systeme für die moderne Mathematik. Es stellt sich jedoch heraus, dass jede bekannte Anwendung der Mathematik in der realen Welt als ein Satz ausgedrückt werden kann, der in ACA beweisbar ist, und umgekehrt scheint jeder Satz von ACA wahr zu sein, wenn er in Bezug auf die reale Welt (zumindest auf menschlicher Ebene) angemessen interpretiert wird. , wir haben also tatsächlich gute empirische Beweise für diesen Teil der Mathematik, und solche Beweise sind tatsächlich notwendig, um der Mathematik Sinn und Zweck zu verleihen, die über das bloße formale Drücken von Symbolen hinausgehen!

Mit anderen Worten, es ist unhaltbar zu sagen, dass Mathematik genauso willkürlich ist wie etwa die Schachregeln. Wir müssen uns also der Frage stellen, ob das von uns gewählte Grundsystem überhaupt sinnvoll ist, weshalb die obigen Überlegungen alle wichtig sind.

Was ist mit höherer Mathematik, die sich mit sehr abstrakten Objekten befasst? Nun, Logiker, die sich mit der Aussagekraft von Grundlagen befasst haben, sind sich im Allgemeinen einig, dass prädikativistische Konzepte ungefähr ATR0 erreichen können (was etwas über ACA liegt, aber bei weitem nicht in der Nähe von Z2). Da das Hinzufügen von Abschlussprinzipien ungefähr Π[1,1]-CA0 erreichen kann, könnten einige argumentieren, dass Π[1,1]-CA0 auch wahr ist, aber das ist ein wackeliger Boden. Klar ist, dass Z2 imprädikativ ist, sodass man berechtigterweise an seiner Bedeutung zweifeln kann, selbst wenn man glaubt, dass es konsistent ist.

Andererseits kümmern sich die durchschnittlichen Mathematiker nicht um Prädikativismus und sagen normalerweise, dass sie ZFC verwenden. Was die meisten von ihnen nicht wissen, ist, dass die gewöhnliche Mathematik sehr natürlich in einem sehr schwachen Fragment von ZFC bleibt, das als gebundenes ZFC bekannt ist, wo Sie grob gesagt eingebaute Funktionssymbole für Paarung, Potenzmenge, Vereinigung und eingebaute Konstante ω haben können , und kann jede Menge der Form { E : x∈S ∧ ... ∧ y∈T ∧ Q } konstruieren, wobei E ein Term und Q eine Formel mit nur beschränkten Quantoren ist. Ein beschränkter Quantor in der Mengentheorie hat die Form "∀x∈A" oder "∃x∈A", wobei A ein Term ist.

Wenn wir vollen Potenzmengen sinnvoll zusprechen, kommen wir an Z2 vorbei, da die imprädikative Quantifizierung über die Potenzmenge von ℕ kein Thema wäre. Aber selbst dann scheint es keinen nicht zirkulären Weg zu geben, um viel mehr als begrenzte ZFC zu rechtfertigen. Um eine vollständige ZFC zu erreichen, muss man an die Bedeutung der imprädikativen Quantifizierung über das gesamte (vollständige) mengentheoretische Universum glauben, und diese Imprädikativität impliziert auch, dass wir das iterative Konzept nicht verwenden können, um eine vollständige ZFC zu rechtfertigen.

Wenn Sie gewöhnliche Mathematiker fragen, ob sie glauben, dass ihre Theoreme wahr sind oder nur der Endzustand eines Symbol-Pushing-Spiels, werden sie Ihnen höchstwahrscheinlich sagen, dass sie glauben, dass ihre Theoreme in gewissem Sinne Wahrheiten sind , die sie entdeckt haben. Aber wie oben erklärt, erreicht selbst dieser Beweis aus tatsächlicher mathematischer Arbeit nur begrenzte ZFC. Natürlich nutzen moderne Logiker oft die volle Aussagekraft von ZFC, besonders wenn sie ZFC selbst studieren, aber nicht alle glauben, dass es ein „wahres mengentheoretisches Universum“ gibt (was auch immer das bedeuten mag).

Also, nein, Sie können der Frage nach Sinn und Wahrheit wirklich nicht entkommen, egal wie niedrig oder hoch Sie in der „Hierarchie“ der Grundlagen der Mathematik suchen!

Die Mathematik stützt sich, wie alles, was wir kohärent denken können, auf logisches Denken, und logisches Denken stützt sich auf unsere logischen Intuitionen, und vor allem auf die Intuition, dass logische Wahrheiten, nun ja, wahr sind, zum Beispiel der modus ponens, der modus tollens , Transposition, der hypothetische Syllogismus usw. Ohne diese grundlegenden logischen Intuitionen und ohne die Tatsache, dass alle Mathematiker sie haben, gäbe es überhaupt keine Mathematik (obwohl es auch keinen Menschen gäbe). Es besteht also kein grundlegender Unterschied zwischen dem, was die Menschen unter empirischem Wissen verstehen, und dem, was manchmal als „Apriori-Wissenschaft“ bezeichnet wird. Die Fakten, auf die sich jede Wissenschaft stützt, mögen manchmal unterschiedlich sein, aber alle Wissenschaften verlassen sich auf Fakten, und unsere logischen Intuitionen sind Fakten.

Natürlich ist es richtig, von Fakten auszugehen, einschließlich der Tatsache, dass Logik die einzige Form des Denkens ist, die wir kennen und die alle teilen, aber es ist so, dass mathematisches Denken nur durch die Annahme gerechtfertigt werden kann, dass Logik der richtige Weg ist Grund, eine Annahme, die selbst unmöglich zu rechtfertigen scheint, ohne auf einen Zirkelschluss, empirische Beweise oder die Behauptung zurückzugreifen, dass wir wissen, dass logisches Denken gültig und die einzig gültige Form des Denkens ist.

Es stimmt also, dass Mathematiker eigentlich keine Axiome brauchen, um wahr zu sein, aber die meisten Menschen übersehen die Tatsache, dass sich kein Theorem jemals von Axiomen ableiten lässt. Mathematik wird von Menschen gemacht und erfordert von Menschen eine logische Fähigkeit, etwas, das sich im Wesentlichen nicht von der Notwendigkeit unterscheidet, Wahrnehmungssinne zu haben.

Die Vorstellung, Logik sei eine Wissenschaft a priori, ist ein Missverständnis. Die formale Logik ist eine Wissenschaft a priori, und zwar nur insofern, als sie vom Logiker nicht unbedingt verlangt, die materielle Welt zu beobachten, weil Logiker sich ihrer eigenen logischen Intuition bewusst sein müssen, zum Beispiel der Intuition, dass der Modus Ponens wahr ist . Formale Logik ist also eine Wissenschaft a priori, Logik aber nicht, weil Logik eine geistige Fähigkeit ist und formale Logik nur durch subjektives Erleben logischer Intuitionen durchgeführt werden kann. Und das gilt auch für die Mathematik.

Nein, das ist ein weit verbreiteter Irrglaube, der aus dem Studium axiomatischer Systeme stammt. Die Wahrheit ist komplexer.

Das ursprüngliche axiomatische System ist das der Eukliden. Es ist ganz klar, dass er hier von Axiomen ausgeht, die er unzweifelhaft für wahr hält. Dies sind, was Descartes „klare und deutliche Ideen“ nannte.

Mit Hilbert entstand die moderne Vorstellung eines axiomatischen Systems, das keinen Bezug zur Wahrheit hat, sondern lediglich in sich widerspruchsfrei ist. Dies wird nun lediglich als Syntax oder Grammatik verstanden und bezieht sich daher nicht auf Bedeutung. Und ein solches formales System muss sich auf eine Außenwelt beziehen, wenn die Wahrheit festgestellt werden soll. Dies wird in der Modelltheorie untersucht, die das moderne Studium von Axiomatiksystemen als Axiomatiksystemen ist.

Also nein, ein bloßes deduktives System erfordert keine Wahrheit, es erfordert lediglich Konsistenz. Es erfordert jedoch ein Modell, um die Wahrheit festzustellen. Und für echte axiomatische deduktive Systeme ist es immer so, dass wir Modelle suchen und finden.

Die Darstellung des Trilemmas beinhaltet einige Voraussetzungen, die seine Beweiskraft unterminieren, wenn es ausdrücklich ausgesprochen wird. Der „offensichtliche“ Fehler besteht darin, dass der Präsentator bei der Präsentation des Trilemmas Argumente verwendet, um zu „zeigen“, warum jedes Horn des Trilemmas unbefriedigend ist. Der tiefere Fehler liegt jedoch in der Annahme, dass nur eines der Hörner zufriedenstellend ist, wenn überhaupt welche vorhanden sind.

Wir haben dies mit Dingen wie Susan Haacks Foundherentism oder Infinite Coherentism hinter uns gelassen , wo wir zwei der Hörner des Trilemmas verschmolzen finden. Ich persönlich sehe kein moralisches Hindernis (jedenfalls spricht man von Evidenz als einer Art moralischer These) dafür, dass alle drei positiven Lösungen des Regressproblems auf ihre Weise zulässig sind.

Und so denke ich, dass wir in der Mathematik tatsächlich (a) die Lösung des Trilemmas finden, wie es klassisch dargestellt wird, und (b) eine Anwendung dieser Lösung auf die Mathematik selbst. (a) ergibt sich daraus, dass wir das Regressionsproblem auf eine Art „algebraische“ Weise beschönigen und dann davon ausgehen, dass die positiven Lösungen alle so „existieren“, dass wir „wissen, dass die imaginäre Einheit existiert, weil sie die Lösung für eine gegebene ist Gleichung.' (Skeptizismus ist am Ende die "leere Lösung", so ungefähr wird das Problem in der Rechtfertigungslogik formuliert.) Und dann, was (b) betrifft, folgt die Anwendung schnell aus einem stark graphentheoretischen Blickwinkel, aber interessanter (für mich) folgt, wenn wir Formen von Mengen in Bezug auf die Regressionslösungen begreifen. Dh es gibt eine strukturelle Ähnlichkeit zwischen Fundamentalismus und wohlbegründeten Mengen, zwischen Kohärenzismus und Schleifenmengen (zB Quine-Atome) und zwischen Infinitismus und unendlich absteigenden ∈-Ketten; warum also nicht eine Mengenlehre mit allen drei Formen von Mengen, die Existenz jeder Form als Interpolant des jeweiligen Begründungstyps gerechtfertigt? Dies wäre vielleicht gleichbedeutend mit einer Mengentheorie mit dreifacher Erweiterung (das Festhalten an der Elementarheit als Essenz der Extensionalität), und wenn selbst die Mengentheorie mit doppelter Erweiterung nicht als konsistent bekannt ist, a fortioriauch nicht sein unmittelbarer „Nachfolger“ im Begriffsraum. Aber vielleicht stellt sich die Frage nach absoluten oder relativen Konsistenzbeweisen für die Mengentheorie mit dreifacher Erweiterung nicht in der gleichen Weise wie für andere Mengentheorien (obwohl beachten Sie, dass die Mengentheorie mit doppelter Erweiterung eingeführt wurde, um die problematique der Russell-Menge, die hier doch auf eine Funktion von/zu begründeten Begründungsstrukturen hinweist).

Der Versuch, den Fluch der Statistik zu lösen, ist weniger ein edles Ziel, als es scheint. Nach „Ich sage, alles ist einzigartig in einem grundlegend digitalen Universum“ hat es seinen Platz und ist als solches nutzbar. Der einzige große Fehler im Umgang mit Statistiken ist der Versuch, daraus objektiv gültige Aussagen zu ziehen. Mehr als je zuvor in der Menschheitsgeschichte leidet die Menschheit heute unter der Fehlinterpretation statistischer Ergebnisse. Es ist die Wertschätzung der Ungewissheit, die auf dem Weg verloren geht, während Menschen ängstlich nach einem Begriff von Wahrheit suchen.

Gibt es also absolute Wahrheit in der Mathematik? Nein, gibt es nicht. Eins plus eins ist nicht gleich zwei, das war es nie und das wird es auch nie, aber das macht die Mathematik nicht nutzlos.

Gilt Münchhausens Trilemma für Mathematik? Ja natürlich tut es das. Sie können es ein Dutzend Paralleluniversen entlang ziehen und es wird immer noch gelten. Das Ganze hängt von der Anerkennung der Existenz eines fantastischen Konzepts namens Unendlichkeit ab, von dem die meisten Menschen glauben, dass es religiös existiert, obwohl niemand es jemals gesehen hat oder dort gewesen ist. Sobald Sie diese Idee ertränken, erweisen sich alle Optionen als einwandfrei kompatibel.

Ihr Anliegen ist absolut berechtigt, aber es kann nur befriedigt werden, indem Sie sicherstellen, dass das Ergebnis Ihrer Arbeit einen Boden für ein solides Verständnis der (der) Wahrheit hinter der Ungewissheit bildet. Die Fähigkeit, das genaue Ausmaß bestimmen zu können, in dem Sie nichts mit Sicherheit wissen. Und wenn Sie den Schwimmern nicht beibringen können, wie man surft, oder den Schildkröten, wie man fliegt, dann helfen Sie ihnen wenigstens, es richtig zu respektieren, damit sie sich nicht vor Missverständnissen sicher fühlen, indem sie zum Gott des Kondoms beten.

Ich habe vor kurzem gesehen, wie die Führer meines Landes im nationalen Fernsehen vor der Versammlung der Volksvertreter sprachen und Millionen von völlig unschuldigen Bürgern verurteilten und ihnen die Schuld für das gegenwärtige Chaos mit falsch interpretierten Statistiken als Hauptargument gaben. Sie wurden applaudiert. Es ist unheimlich.

Das Apriori kann per definitionem nicht durch ein darauf aufbauendes logisches System bewiesen werden. Was gibt uns also die Klarheit unserer eigenen Aussagen und Schlussfolgerungen?

Die Antwort ist die Geschichte des Universums. Dies wird von allen Wesen darin geteilt. Darüber gibt es viel zu erklären, aber es ist alles bekannt und muss sich mit der Evolution von YHVH (der einen Ring der Argumentation des Universums liefert) und unserer eigenen befassen. Daraus entstand das Identitätsaxiom (A = A) aus einer Vereinbarung zwischen diesen beiden und der Algebra. Die zwei parallelen Striche des Gleichheitszeichens können als Darstellung dieser Vereinbarung zwischen zwei gleichberechtigten Vernunftparteien angesehen werden.

Was ich Ihnen gerade offenbart habe, stammt aus der messianischen Prophezeiung der Juden, und Sie werden keinen Hinweis darauf finden.

Ihre Frage berührt den interessanten Punkt: Wie unterscheidet sich Mathematik von Wissenschaft?

Die kurze Antwort: Allgemeine Ergebnisse aus der Mathematik können bewiesen werden, allgemeine Ergebnisse aus der Wissenschaft können bestätigt oder widerlegt – aber nicht bewiesen werden.

Zu den drei Hörnern des Münchhausen-Trilemmas:

• Ein Zirkelschluss disqualifiziert jegliches mathematische Denken.

• Der regressive Weg ist die einzige Möglichkeit, mathematische Theoreme zu beweisen: Man muss die Behauptung durch logische Argumentation auf die Axiome und Definitionen reduzieren.

• Das dogmatische Argument kann als Heuristik verwendet werden, und es kann aus historischer Sicht interessant sein. Aber dogmatische Aussagen als Argument für mathematisches Denken zu verwenden, würde das mathematische Denken zerstören.

Der tiefere Grund, warum die Mathematik kein Problem mit Münchhausens Trilemma hat: Die Mathematik erhebt keine allgemeine Aussage über die Außenwelt. Daher ist die Mathematik frei, ihre eigenen Konzepte und Axiome zu erstellen, wie die Regeln eines neuen Spiels zu erstellen.