Kann Mathematik auf beliebige Axiome und Logik reduziert werden?

Das Unterfangen, Mathematik auf Logik zu reduzieren, heißt Logicism . Es gab zwei verschiedene Ziele in diesem Unternehmen, das erste ist, nur die Arithmetik natürlicher Zahlen zu reduzieren , was in vielerlei Hinsicht der einfachste und grundlegendste Teil der Mathematik ist. Die andere besteht darin, die gesamte Mathematik, oder zumindest so viel wie möglich, auf eine Reihe von Axiomen zu reduzieren (man denke an so etwas wie die ZFC-Mengenlehre ).

Der Logikismus wurde historisch unter anderem von Frege , Dedekind und Peano angeführt . Peano ist am bekanntesten dafür, dass er eine Reihe von Axiomen aufgestellt hat, die die Konstruktion der natürlichen Zahlen und Arithmetik ermöglichen, während Dedekind (zumindest in Bezug auf dieses Gespräch) wohl am bekanntesten dafür ist, dass er die sogenannten Dedekind- Schnitte entdeckt hat , Partitionen der rationalen Zahlen die die Konstruktion reeller Zahlen ermöglichen. Frege wollte nur eine logische Grundlage für die Arithmetik schaffen und dabei auch die Werkzeuge und Sprachen der modernen Logik entwickeln:

In seinem Buch Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens von 1879 entwickelte er einen Prädikatenkalkül zweiter Ordnung und verwendete ihn sowohl zur Definition interessanter mathematischer Konzepte als auch zur Formulierung und zum Beweis mathematisch interessanter Sätze. In seinem zweibändigen Werk von 1893/1903, Grundgesetze der Arithmetik , fügte Frege jedoch einen seiner Meinung nach logischen Satz (Grundgesetz V) als Axiom hinzu und versuchte, die grundlegenden Axiome und Theoreme der Zahlentheorie daraus abzuleiten resultierendes System. Leider war das Grundgesetz V nicht nur kein logischer Satz, sondern das daraus resultierende System erwies sich als inkonsistent, da es Russells Paradoxon unterworfen war.

Der Logikismus hat eine Reihe von Rückschlägen erlitten, von denen einige so verheerend sind, dass viele Philosophen glauben, dass das Programm niemals erfolgreich sein kann. Eine davon ist die Schwäche der Logik zweiter Ordnung und wie Freges Grundgesetz V nicht das tat, was er sich erhofft hatte, nämlich die gesamte Arithmetik abzuleiten. Selbst wenn das Gesetz nicht Russells Paradoxon unterworfen wäre, hat es immer noch ein eklatantes ontologisches Problem: das Julius-Cäsar- Problem. Im Wesentlichen besagt das Problem, dass so etwas wie das Hume-Prinzip (das dem Grundgesetz V sehr ähnlich ist) keinen ausreichenden epistemischen Grund dafür liefern kann, warum wir Zahlen aus unseren willkürlichen Definitionen herausziehen sollten:

[Gl, §55:] … aber wir können niemals – um ein grobes Beispiel zu nehmen – anhand unserer Definitionen entscheiden, ob zu irgendeinem Begriff die Zahl Julius Cäsar gehört, oder ob jener Eroberer Galliens eine Zahl ist oder nicht. [aus der Austin-Übersetzung in Frege 1974]

Letztendlich glauben viele, dass Freges ursprüngliches Konzept des Logizismus kein Paradigma ist, das funktionieren kann (obwohl es ein erneutes Interesse gibt, siehe Neo-Logokismus ).

Es gibt zwei, vielleicht drei weitere eklatante Probleme, Mathematik auf Logik zu reduzieren. Sie kommen in Form von Gödels zwei Unvollständigkeitssätzen und Tarskis Undefinierbarkeit der Wahrheit .

Es stellt sich heraus, dass Peanos Axiome den beiden Unvollständigkeitssätzen von Gödel unterworfen sind. Der erste Satz (um es kurz zu machen) besagt, dass jedes formale System, dh eine Reihe von Axiomen innerhalb einer deduktiven Logik, den sogenannten Gödel-Sätzen unterliegt. Diese Sätze, die (semantisch) wahr, aber (syntaktisch) innerhalb des Systems selbst nicht beweisbar sind. Gödel verwirklichte diesen Satz, indem er einen verallgemeinerten Weg zur Konstruktion dieser Sätze in jedem formalen System angab, das stark genug ist, um die Robinson-Arithmetik (eine schwächere Form der Arithmetik als Peanos Axiome) zu formalisieren . Die Presburger Arithmetik ist ein formales Arithmetiksystem, das keine Multiplikation enthält und nicht dem ersten Unvollständigkeitssatz von Gödel unterliegt.

Das bringt etwas Wichtiges ans Licht. Was hier wirklich bemerkenswert ist, ist, dass es bei Gödels Ergebnis nicht unbedingt um Mathematik selbst geht (es sei denn, Sie glauben, dass Mathematik streng verkleidete Logik ist); im Wesentlichen handelt es sich bei seinen Ergebnissen um die formalen Systeme selbst oder um die Logik selbst. Die Ergebnisse sind syntaktisch, das heißt, es geht um die Syntax, die Regeln des Systems, und nicht um die Semantik, die Bedeutung, die wir dem System zuschreiben. Formale Systeme sind nur ein Haufen willkürlicher Regeln und Symbole, bis wir ihnen eine Bedeutung geben, und Gödels Ergebnisse sagen im Grunde: "Wenn Sie diesen Satz von Regeln oder etwas Stärkeres als ihn haben, können Sie diesen Satz von Sätzen ableiten." Es spielt keine Rolle, welche Bedeutung wir ihnen geben, dass das System über Zahlen und Arithmetik spricht. Bevor wir irgendeinen semantischen Inhalt in die Theorie einführen, werden die Gödel-Sätze noch da sein, weil sie rein syntaktisch aufgebaut sind. Dies ist ein wichtiges Problem für den Logismus, weil es zeigt, dass jede Art von logischem System wahre Aussagen über die natürlichen Zahlen haben wird, Aussagen, von denen wir wissen, dass sie wahr sind, aber in unserer Theorie nicht beweisbar sind.

Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz besagt, dass "kein konsistenter Satz von Axiomen (mit genügend Stärke) seine eigene Konsistenz beweisen kann". Eine andere Möglichkeit, es zu lesen, ist, dass "jedes ausreichend starke Axiomensystem, das seine eigene Konsistenz beweisen kann, inkonsistent ist". Die beiden Ergebnisse zusammen sagen aus, dass "jedes konsistente System mit mindestens genug Stärke, um die Robinson-Arithmetik zu definieren, aufgrund seiner Gödel-Sätze nicht vollständig sein kann und seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann." Das System mag konsistent sein, aber einen Beweis dafür können wir innerhalb des Systems selbst nicht formulieren.

Aufgrund dieser beiden Theoreme müssen wir als Mathematiker und Philosophen unsere Axiomensysteme mit Vorsicht behandeln. Viele glauben, dass die Peano-Arithmetik und die ZFC-Mengentheorie konsistent sind, wir glauben das jedoch nur, weil wir so viele Jahre damit verbracht haben, sie zu studieren, und noch keinen widersprüchlichen Satz gefunden haben. Wir treffen dieses Urteil rein aufgrund von Induktion (und ein bisschen Meta-Argumentation, es scheint sehr unwahrscheinlich, dass ZFC inkonsistent ist), aber wir haben keinen formalen Beweis innerhalb der Systeme selbst, dass sie konsistent sind. Sie können jedoch Konsistenzbeweise kleinerer, schwächerer Systeme verketten, aber dies schiebt das epistemische Problem der Konsistenz nur weiter nach oben in der Kette. ZFC kann die Konsistenz von PA beweisen; eine andere Mengenlehre namens NBGist konsistent genau dann, wenn ZFC konsistent ist; eine noch stärkere Mengentheorie namens MK kann die Konsistenz von ZFC beweisen; usw. Allerdings müssen wir bei jedem Schritt davon ausgehen, dass die höhere Theorie konsistent ist, um dem Konsistenzbeweis der niedrigeren Theorie Glauben zu schenken. Letztendlich sind die Systeme, auf die wir stoßen, so groß, dass wir keine vernünftigen Annahmen über ihre Konsistenz treffen können. Aufgrund des zweiten Unvollständigkeitssatzes von Gödel wird es niemals eine Deckentheorie geben, die ihre eigene Konsistenz beweisen kann und mit der alle schwächeren Theorien bewiesen werden können.

Tarskis Undefinierbarkeitssatz ist Gödels Satz sehr ähnlich, außer dass er sich auf die Definierbarkeit der Wahrheit konzentriert. So wie Gödel zeigt, dass ein formales System seine eigene Konsistenz nicht zeigen kann, zeigt Tarski, dass ein Prädikat, das definiert, wann ein Satz wahr ist, nicht innerhalb eines Systems selbst formuliert werden kann und von einem anderen „Meta“-System stammen muss. Das Studium von Metasystemen dieser Art, die eine Definition der Wahrheit ermöglichen, wird als Modelltheorie bezeichnet , die Tarski anführte. Seine Ergebnisse zeigen jedoch letztendlich, dass es niemals eine Theorie geben kann, die die Mittel enthält, um zu zeigen, dass ihre Sätze wahr sind, weil die "Wahrheit" ihrer eigenen Sätze niemals in sich selbst definiert werden kann.

Das Unternehmen des Logizismus ist also auf einige Probleme gestoßen. Einige Leute, nämlich Neologisten (mich eingeschlossen), glauben, dass die Ergebnisse von Gödel und Tarski nicht unbedingt eine endgültige Reduktion der Mathematik auf Logik ausschließen; mehr noch wird angenommen, dass in der Theorie immer ein paar Dinge ausgelassen werden und einige Annahmen, die wir treffen müssen, aber nicht beweisen können. Der am Anfang dieser Antwort verlinkte Artikel der Stanford Encyclopedia of Philosophy fügt den philosophischen Einwänden gegen Logikismustheorien viel mehr Details hinzu und ist es wert, gelesen zu werden, um dieses Thema besser zu verstehen. Abgesehen davon wird allgemein angenommen, dass die Konsistenz von ZFC wahr ist, und Mathematiker haben in der Praxis kein Problem damit, dieser Annahme zu vertrauen. Es wird fast allgemein als echter mathematischer Beweis angesehen, wenn Sie Ihr Theorem als abgeleiteten Satz von ZFC formulieren können. Es gibt jedoch einige Logiker, die nicht glauben, dass ZFC konsistent ist. Der kürzlich verstorbene Logiker und MathematikerJack Silver äußerte sich sehr lautstark zu seiner Meinung, dass ZFC widersprüchlich sei, und er arbeitete energisch daran, einen Beweis zu konstruieren; jedoch war er erfolglos.

Letztendlich glauben viele, dass es angesichts der Ergebnisse von Gödel und Tarski nicht möglich ist, die gesamte Mathematik vollständig auf Logik zu reduzieren. Einige tun es immer noch; Bis zu diesem Zeitpunkt hat jedoch kein logistisches Programm genau das getan, was Menschen wie Frege und Peano sich gewünscht hatten.