Gleichung (mathematische Funktion) von Rampensignal vs. Sägezahnsignal

Ich habe versucht, die Gleichung für die Stromquelle zu finden, damit ich die Spannung über dem Kondensator nach 1 s ab dem Zeitpunkt t = 0 s berechnen kann.

Verwenden Sie im Zweifelsfall einfach Ihren guten alten vertrauenswürdigen Simulator, um Ihr Gehirn auf den richtigen Ballpark auszurichten. Hier ist mein Versuch mit Micro-Cap: -

Ein etwas genauerer Blick auf die sich ändernde Spannungswellenform um 0,6 Sekunden: -

Wie Sie sehen können, ist die Spannungsänderungsrate proportional zur Stromänderung (gemäß der Gleichung weiter unten).

Also habe ich versucht, die Gleichung für die Stromquelle herauszufinden, damit ich die Spannung am Kondensator nach 1 s ab dem Zeitpunkt t = 0 s berechnen kann

Es ist nicht so einfach, eine Gleichung für die Sägezahnwellenform zu finden, da sie plötzliche Kanten und Diskontinuitäten aufweist. Besser eine Sim IMHO verwenden.

Ich verstehe, dass die Gleichung eines Rampensignals die einer Geradengleichung wäre. In diesem Fall ähnelt die Rampenwellenform der Sägezahnwellenform, richtig?

Nein, eine Rampe ist Teil einer Sägezahnwellenform, aber sie sind nicht dasselbe. Ein Sägezahn hat eine Anstiegsgleichung, gefolgt von einer Rampengleichung mit unendlicher Steigung (auch bekannt als Diskontinuität).

Würde es also einen Unterschied in der Stromgleichung des Kondensators zwischen den beiden Wellenformen geben?

Wie immer (und für immer) lautet die Gleichung für einen Kondensator: -

Es ist dieselbe Gleichung für alle Wellenformtypen und Amplituden.

Und die andere Frage ist, warum wir den Frequenzterm bei der Berechnung des Integrals nicht mit einbeziehen?

Weil wir es nicht müssen.

Links zur mathematischen Wellenformdefinition für einen Sägezahn

• Aus Wikipedia
• Von Wolfram
• Von digitalen Signalen Harris .

Sie konzentrieren sich auf die Fourier-Version, aber Wiki enthält die Formeln für eine zeitbasierte Wellenform, glaube ich.

Die Kondensatorspannung, wenn nur eine 0,5-Ampere-Stromquelle angelegt würde: -

Ich habe die Stromquelle von einer 0- bis 1-Ampere-Sägezahnwellenform bei 1 kHz auf nur eine Konstantstromquelle von 0,5 Ampere geändert. Können Sie sehen, dass es einen sehr kleinen Unterschied in der Rampe der Kondensatorspannung gibt? OK, wenn Sie nach Kleinigkeiten suchen, könnte es wichtig sein.

Eine Rampe oder ein Sägezahn sind die gleichen Bestien, unterschiedliche Namen. Mathematisch implizieren beide die Verwendung von$kt$als Rampe ($k$eine Konstante ist) und eine Modulo-Operation. Praktisch gibt es zwei Rampen, die abfallende Flanke zählt, da es sonst physikalisch unmöglich ist (na ja, es ist komplizierter, weil es keine scharfen Diskontinuitäten gibt, sondern sehr schmale Übergangsbereiche, je nach Generator, Parasiten, anderen Nicht-Idealitäten und sogar die Rampen selbst sind möglicherweise nicht vollständig linear, z. B. flache Ableitung).

Von der mathematischen Seite, von$0$Zu$T$Es gibt eine Rampe$kt$, was bedeutet, dass die Ausgabe sein wird$kt^2/2$. Am Ende fällt die Wellenform auf Null, was als Reset dient. Das bedeutet, dass der Ausgang auf dem letzten Wert bleibt und die nächste Rampe denselben ergibt$kt^2/2$aber mit anderen Anfangsbedingungen.

Von der praktischen Seite (unter Berücksichtigung von zwei Rampen, diskontinuierlich) wird die Zeitskala geteilt$0$Zu$kT$, und von$kT$Zu$T$, also lautet die Ausgabe für den ersten Abschnitt$kt^2/2$, der letzte Wert bleibt dort für den nächsten Abschnitt, dessen Integral ein negatives Exponential proportional zu sein wird$(1-k)t^2/2$, weil es eine fallende Flanke gibt. Dann kommt der nächste Anstieg mit demselben Integral, aber mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen, sodass die Ausgabe eine Reihe von ansteigenden Exponentialen + umgekehrt ansteigenden Exponentialen ist, die an den Enden zusammengefügt sind.

Wenn Sie dies in LTspice als Verhaltensquelle implementieren würden, benötigen Sie so etwas (ich habe der Einfachheit halber 1 Hz anstelle von 1 kHz beibehalten):

.param k = 0.8
if
  (
    time < k,
    time**2 / (2 * k),
    if
      (
        time < 1,
        time**2 / (2 * k) - (time - k)**2 / (2 * (1 - k) * k),
        time**2 / (2 * k) - (time - k)**2 / (2 * (1 - k) * k) + (time - 1)**2 / (2 * (k * (1 - k)))
      )
  )

(Ich hoffe, ich habe die Klammern nicht vermasselt). Simulieren Sie dies gegenüber einer dreieckigen Wellenform mit$k$Anstiegszeit u$10-k$fallende Zeit ( PULSE 0 1 0 {k} {1-k} 0 1) und Sie erhalten diese Ausgabe:

Die schwarze Spur ist die Stromquelle mit dem Kondensator und die blaue Spur ist die Verhaltensquelle. Beachten Sie, dass der letzte Teil ab der Zeit$1+k$, ist nicht abgestimmt. Das liegt daran, dass ich im obigen Code zu diesem Zeitpunkt aufgehört habe, sonst hätte ich den Ausdruck weiter ergänzen müssen (Sie können das Muster erkennen). Beachten Sie, dass ich in den obigen Ableitungen nicht verwendet habe$kT^2/2$, was Sie für die Integration erhalten würden$\int_0^T{kt\text{d}t}$. Stattdessen habe ich verwendet$t$. Das liegt daran, dass dies ein kontinuierlicher Prozess ist und nicht das Ergebnis von Durchschnittswerten. Das Ergebnis mit$T$hätte einen festen Durchschnittswert gegeben; mit$t$Sie erhalten den kontinuierlichen Zeitausdruck.

Und wie Sie sehen können, erhalten Sie den rein mathematischen Fall, wenn Sie die fallende Flanke gegen Null konvergieren lassen. Der Effekt besteht darin, dass für das nächste Segment des Sägezahns kein zweites, invertiertes Exponential vorhanden ist, das durch ein "genähtes" Exponential ersetzt wird.

Bearbeiten: Falls der integrale Teil verschwommen klingt, meine ich Folgendes: Die "übliche" Integration ist von$0$Zu$T$, aber das setzt voraus, vorher zu wissen, welchen Wert er haben wird$T$, bevor die Zeit kommt$T$. Es bedeutet auch, dass die Ergebnisse nicht kontinuierlich sind, sondern einen festen Wert haben, den Durchschnitt über diesen Zeitraum, aber das ist hier nicht der Fall:

(Wo$n$stellt das Vielfache der Perioden für den Sägezahn dar). Alles nach dem Gleichen für (1) und (2) ist statisch, nichts ist zeitabhängig. Also muss das Integral geändert werden$0$Zu$t$, weil es sich um eine Echtzeit-Wellenform handelt. Da die Eingabe jedoch diskontinuierlich ist (unter Berücksichtigung der obigen Vereinfachungen), gibt es Punkte, an denen sich die Grenzen ändern zu:

Wo ich die aufbewahrt habe$t^2/2$Teil, um deutlicher zu machen, dass es eine Integration von ist$t$.

Die Antwort ist sehr einfach und ergibt sich aus der Gleichung, die Andy Ihnen oben gezeigt hat, indem er alle Faktoren integriert.