Google-Interview-Rätsel und Skalierungsargumente

Nehmen wir an, unser Gravitationspotential ist an unserem Massenmittelpunkt kurz vor dem Sprung Null. Unsere anfängliche mechanische Energie ist Null. Wir arbeiten nichtkonservativ, um unsere mechanische Energie zu erhöhen. Dann verlassen unsere Füße den Boden und unsere kinetische Energie nimmt ab, bis wir die Höhe erreichen$h$. Wir haben

Die Stärke ist proportional zur Fläche und die Masse zum Volumen, also ist die relative Stärke umgekehrt proportional zur Länge .$F/m = k/L$. (Nehmen$L$zum Beispiel unsere Körpergröße.) Außerdem ist die Entfernung, die wir zurücklegen, bevor wir den Boden verlassen, proportional zu$L$,$d = k' L$. Deswegen,

Nachtrag : Hier ist ein einfaches Argument, warum Macht wie Kraft skaliert. Für konstante Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit Null$v^2 = 2 a d$. Deswegen,$F = m a = m v^2/(2 d)$und so

Eine wichtige Tatsache in Bezug auf die Skalierung der Kraft, die möglicherweise nicht offensichtlich ist, ist, dass wir davon ausgehen, dass Muskelfasern eine Größe haben, mit der sie nicht skalieren$L$. (Dies gilt sicherlich für Menschen unterschiedlicher Größe und sollte intuitiv sinnvoll sein, kleinere Tiere bestehen nicht aus kleineren Molekülen.) Daher hat ein Bein mit einem kleineren Querschnitt weniger Fasern - im Wesentlichen die Fläche des Querschnitts zählt die Fasern.

Stellen Sie sich das so vor: Um alle Längen (also Ihre eigene Länge sowie die Höhe Ihres Sprungs) um einen Faktor zu verkleinern$\alpha$, während Sie die Kontraktionsgeschwindigkeit Ihrer Muskeln gleich halten, müssen Sie alle Längen und alle Zeiten, die in dem Problem auftreten, neu skalieren. Das bedeutet, dass Sie die Schwerkraft (Länge über Zeit im Quadrat) um einen Faktor verkleinern müssen$\alpha/\alpha^2= 1/\alpha$.

Mit anderen Worten: Wenn Sie halb so hoch springen können, könnten Sie nach einer Verkleinerung der linearen Größe um den Faktor 100 auf einem Planeten mit der 100-fachen Erdbeschleunigung immer noch halb so hoch springen.

Es wird also angenommen, dass Sie zu einer konsistenten Physik gelangen, wenn Sie alle Längen- und Zeitskalen um einen Faktor verkleinern$\alpha$, und Ihre Masse um einen Faktor$\alpha^{-3}$. Die dimensionslose Sprunghöhe (Sprunghöhe dividiert durch Körpergröße) bleibt bei dieser Herunterskalierungsoperation unverändert. Der Punkt ist jedoch, dass Sie in diesem Szenario auch die Erdbeschleunigung (Länge über Zeit^2) um einen Faktor neu skalieren müssen$\alpha^{-1}$. Es versteht sich von selbst, dass Sie, wenn Sie dies nicht tun und die Erdbeschleunigung so schwach halten, wie sie vor der Skalierung ist, in Bezug auf Ihre eigene Körpergröße viel höher springen können.

Viele vereinfachende Annahmen unserer Realität müssen gemacht werden, um zu den Ergebnissen zu gelangen, nach denen Sie suchen (und die die anderen Antworten gaben). Ich werde versuchen, meine eigenen 2 Cent zu geben. Ich hoffe, dass alle Fehler hier von anderen Benutzern korrigiert werden - ich versuche hauptsächlich nur, einige Probleme und Verwirrung mit diesen Annahmen zu beheben.

Wenn Sie springen, senken Sie Ihren Schwerpunkt um eine Strecke$d$, und dann kontrahieren und dehnen sich Ihre Muskeln auf verschiedene Weise, um Ihren Schwerpunkt nach oben zu drücken, bis Sie den Boden verlassen. Die gesamte Energie, die beim Springen aufgewendet wird, wird in kinetische Energie umgewandelt,$\frac{1}{2}mv^2$, und dann wird diese Energie in potentielle Energie umgewandelt,$mgh$. Wenn du diese Höhe erreichst$h$, Sie sind auf dem Höhepunkt Ihres Sprungs.

Ihre [gestreiften] Muskeln bestehen aus Abschnitten, die als Muskelfasikeln bezeichnet werden und viele Muskelfasern enthalten , und innerhalb dieser Muskelfasern befinden sich viele Myofibrillen (sowie andere Dinge, aber die Myofibrillen sind das, was uns interessiert). Jede Myofibrille kann man sich als eine Ansammlung von Kolben ( Sarkomeren ) vorstellen (mit weiteren Details/Komplikationen, die ich im nächsten Absatz sagen werde). Letztendlich besteht Ihr Körper aus einer Reihe von "Kolben" (Muskelfasern), die zusammen als Ensemble von Kolben einen großen Kolben (Ihren gesamten Körper) ergeben.

Wenn sich ein "Muskel" zusammenzieht und/oder ausdehnt, gibt es tatsächlich winzige Systeme, die als Myofibrillen bekannt sind und aus denen Ihre Muskelfasern bestehen, die gleiten und ihre Komponenten zusammenziehen, um im Großen und Ganzen den Muskel zu entspannen oder zu belasten, den sie ( die Myofibrillen bilden).

Hier entsteht ein Problem. Was genau meinen wir mit verkleinern ? Sicherlich können Sie ein Atom nicht einfach verkleinern, ohne grundlegende Aspekte des betrachteten Universums zu verändern. Man kann Myofibrillen nicht einfach verkleinern , da die Nerven und Proteine, durch die sie funktionieren, nicht verkleinert werden können, ohne einen grundlegenden Aspekt des Universums, das wir betrachten, zu verändern. Daher ist die einzige Vorstellung, auf die wir uns einigen können, die Menge zu reduzieren. Für einen Muskel bedeutet dies buchstäblich, die Anzahl der Muskelfasern zu verringern.

Aus dieser Annahme/Überlegung können wir erkennen, dass die Kraft, die man aufbringen kann, im Wesentlichen proportional zum Querschnitt des Muskels (dh der Anzahl der Muskelfasern innerhalb des Muskels) ist, aber nicht genau . Da wir uns darauf geeinigt haben, dass die Anzahl der Muskelfasern abnimmt, nicht ihre grundlegende Größe/Form, könnte eine Längenskalierung der Myofibrillen (und damit eine Längenskalierung der einzelnen Sarkomere) definitiv einen Einfluss haben auf ihre Aktivität (dh maximale Kraft, die die Kolben aufbringen können). Tatsächlich ist dies der Fall. Zwischen der Länge der Sarkomere und ihrer jeweiligen Aktivität zeigt sich ein interessantes nichtlineares Verhalten.

Mit unserer vereinfachenden Annahme, dass Herunterskalieren bedeutet , die Anzahl zu reduzieren , sind wir jetzt auf ein weiteres Problem gestoßen . Wenn wir jedoch noch weiter aus der Realität heraustreten und davon ausgehen, dass die Aktivität von Sarkomeren nicht von ihrer Länge beeinflusst wird, dann folgen sofort die Ergebnisse aus den anderen Antworten. Ich werde sie jetzt angeben.

Die Arbeit, die Sie leisten, wenn Sie vom Boden springen, ist gegeben durch$Fd$, wo$F$ist die Kraft, die Sie anwenden können und$d$ist die Entfernung, die Ihr Massenmittelpunkt in Bezug auf Ihre anfängliche Standposition zurücklegt. Dies wird im Idealfall alles in kinetische Energie umgewandelt, die alle zu potentieller Energie wird, wenn Sie den Höhepunkt Ihres Sprungs erreichen, auf dem Ihre potentielle Energie liegen wird$mgh$, wo$m$ist deine Masse,$g$ist die angenommene konstante Beschleunigung nach unten aufgrund der Schwerkraft und$h$ist die maximale Höhe, die Sie erreichen.

Wenn Ihre Lautstärke um einen Faktor herunterskaliert wird$k^3$($k$in jeder Richtung der kanonischen Basis von$\mathbb{R}^3$, WLOG), dann wird (unter der Annahme, dass sich die Massendichte nicht ändert) Ihre Masse ebenfalls um verkleinert$k^3$. Aufgrund der in den vorherigen Abschnitten getroffenen Annahmen verringert sich die Kraft, die Sie zum Abspringen vom Boden aufwenden, nur um einen Faktor$k^2$(ungefähre Skalierung der Anzahl der Muskelfasikeln) und offensichtlich wird die Entfernung, um die Sie Ihren Schwerpunkt verschieben, skaliert$k$. Daher,

Ich habe viele Berechnungen weggelassen, wie z. B. wie sich die nichtlineare Änderung der effektiven „maximalen Kolbenkraft“ auf die Sprunghöhe auswirkt. Wenn ich jedoch das Papier lese, auf das ich verwiesen habe, denke ich immer noch, dass man in der Lage wäre, "aus dem Mixer zu springen", aber ich bin mir nicht ganz sicher - es ist vielleicht nicht so einfach. Wenn jemand dazu etwas hinzufügen könnte, wäre es sehr dankbar.

Die oben gezeigten Skalierungsargumente sind richtig, was mit der Tatsache übereinstimmt, dass Tiere sehr unterschiedlicher Größe - vom Floh bis zum Elefanten - auf die Höhe in der Größenordnung von 1 Meter springen. Vielleicht unterscheiden sich Insekten von Säugetieren; Nehmen wir also an, eine Maus gegenüber einem Elefanten ist ein legitimes Beispiel für die Skalierung (um etwa 100 in linearer Dimension) eines ziemlich ähnlichen Organismus - aber beide springen auf etwa die gleiche Höhe.

Nun, das ist ein bisschen weniger langweilig und leichter zu verstehen. Es hängt alles davon ab, wie ein Mixer tatsächlich funktioniert. Die gängigsten Mixer haben ein paar vertikale Messer als Klingen im Lieferumfang. Wenn sich diese Messer drehen, entsteht ein Lufttornado mit einem Wirbel . Die vertikalen Klingen drücken das Gemüse nach oben und erzeugen den Wirbel, die horizontalen schneiden das Gemüse dann ab, sobald es den Boden des Wirbels erreicht, und die niedrig gebogenen Klingen stellen sicher, dass kein Gemüse am Boden stecken bleibt Mahlen. Ich würde versuchen, auf den obersten Teil der Neigung der horizontalen Blätter zu klettern und herauszustehen, die leicht geneigt sind und für mich wie eine Rutsche wirken. Ich werde dann warten, bis der Mixer startet, und sobald er startet, werde ich mit dem Wirbel hochgeschleudert und schließlich aus dem Mixer herausgeschleudert, in der Annahme, dass es ' s Deckel ist offen. PS Ich habe versucht, Tomaten mit offenem Deckel zu mixen, und glauben Sie mir, die Erfahrung war nicht sehr ordentlich. Ich kann mir sicherlich einige Knochen brechen, wenn ich aus einem Wirbel geschleudert werde, der sich mit 300 U / min oder mehr dreht, aber es wäre sicherlich besser, als entsaftet zu werden.

Stellen Sie sich eine Muskelfaser als dünnen Stab mit "Federkonstante" vor$K=YA/L$.$Y$ist der Elastizitätsmodul. Als Potential gespeicherte Energie =$\frac{1}{2}$betonen$\times$Beanspruchung$\times$Volumen. die proportional zur Kubiklänge ist. Jetzt erreichte Sprunghöhe = Energie/ (Masse * g) also bleibt die Sprunghöhe unverändert!