Gravitationskonstante in der Newtonschen Gravitation vs. Allgemeine Relativitätstheorie

Nach meinem Verständnis die Gravitationskonstante G ist eine Proportionalitätskonstante, die von Newton in seinem Gesetz der universellen Gravitation verwendet wird (das auf den Keplerschen Gesetzen basierte), nämlich in der Gleichung F = G ⋅ M ⋅ m r 2 . Später stellte Einstein eine andere Theorie für die Schwerkraft vor (basierend auf dem Äquivalenzprinzip), nämlich die Allgemeine Relativitätstheorie, die zu dem Schluss kam, dass das Newtonsche Gesetz einfach eine (ziemlich anständige) Annäherung an eine komplexere Realität sei. Mathematisch gesehen war Einsteins Theorie völlig anders als Newtons Theorie und basierte auf seinen Feldgleichungen, die ebenfalls enthalten waren G in einem seiner Begriffe.

Wie kommt es, dass zwei verschiedene Theorien, die auf völlig unterschiedlichen Postulaten beruhen, am Ende dieselbe Konstante haben? G mit dem gleichen Zahlenwert in ihren Gleichungen auftauchen? Was genau macht G vertreten?

Ich denke, eine Möglichkeit, dies zu sehen, wäre die Lösung von Einsteins Gleichungen für ein schwaches Feld. g μ v = η μ v + h μ v und du würdest das beides sehen G ' s sind gleich.

Antworten (1)

Da im Grenzbereich schwacher Gravitationsfelder die Newtonsche Gravitation wiederhergestellt werden sollte, ist es nicht verwunderlich, dass die Konstante G taucht auch in Einsteins Gleichungen auf. Allein mit den Mitteln der Differentialgeometrie können wir Einsteins Feldgleichungen nur bis auf eine unbekannte Konstante bestimmen κ :

G μ v = κ T μ v .
Dass diese Gleichung auf die Newtonsche Gleichung für das Potential reduziert werden sollte ϕ ,
(1) ∇ 2 ϕ = 4 π G ρ
mit ρ die Dichte legt die Konstante fest (2) κ = 8 π G c 4 .

Im Detail geht man von einer nahezu flachen Metrik aus, g μ v = η μ v + h μ v wo η μ v ist flach u h μ v ist klein. Wenn man dann die geodätische Gleichung aufschreibt, findet man das wenn h 00 = 2 ϕ / c 2 , erhält man das zweite Newtonsche Gesetz,

(3) x ¨ ich = − ∂ ich ϕ .
Verwenden (3) und nehmen T μ v = ρ u μ u v für eine 4-Geschwindigkeit u μ mit kleinen räumlichen Komponenten, die 00 Bestandteil der Feldgleichungen (2) ist
2 ∂ ich ∂ ich ϕ / c 2 = κ ρ c 2 .
Um dies mit (1) abzugleichen, müssen wir haben κ = 8 π G c 4 . (Die detaillierten Berechnungen sind hier, wie so oft in der Relativitätstheorie, ziemlich langwierig und langweilig, daher entfallen sie.)

Aber wenn wir schwache Gravitationsfelder betrachten, erhalten wir nicht genau das Newtonsche Gesetz, sondern nur eine ziemlich gute Annäherung. Bedeutet dies, dass wir ein etwas anderes (aber unter experimenteller Überprüfung vollständig verwendbares) G , oder erhalten wir am Ende den genauen numerischen Wert für G wie in Newtons Gesetzen?
@Disousa: Tatsächlich sind die Gleichungen für Umlaufbahnen mit einem Drehimpuls von Null außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung in der vollständigen Relativitätstheorie und im Newton-Fall identisch.
@Disousa Nein. Auch ohne Jerrys Kommentar wäre die Antwort immer noch nein. Die Situation ist ganz analog zu folgendem Problem: Bestimmen κ ~ so dass ϕ ↦ Sünde ⁡ ( κ ~ ϕ ) und ϕ ↦ κ ϕ haben die gleiche Steigung an ϕ = 0 . Einziger κ ~ wird auf die Rechnung passen: κ ~ = κ . Insofern sind die "genauen Zahlenwerte" gleich. Wir könnten am Ende ein Experiment messen G genauer als damals, als wir nur das Newtonsche Gesetz kannten und somit feststellten, dass wir unseren Wert ändern müssen G , aber das hieße auch wir ....
... die Konstante im Newtonschen Gesetz, die wir verwenden sollten, müsste ebenfalls aktualisiert werden.
Gravitationskonstante in der Newtonschen Gravitation vs. Allgemeine Relativitätstheorie
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