Ist 4πG4πG4 \pi G die wahre fundamentalste Gravitationskonstante? [geschlossen]

Newtons Gravitationsgesetz lautet:

$$F = G m_1 m_2 \frac{1}{r^2}$$

Es sieht einfach und natürlich aus.

Aber das ist nur in 3 Dimensionen. Schauen wir mal, was drin passiert$n$Maße:

$$n=2 : F = 2 G m_1 m_2 \frac{1}{r}$$ $$n=4 : F = \frac{2}{\pi} G m_1 m_2 \frac{1}{r^3}$$ $$n=5 : F = \frac{3}{2 \pi^2} G m_1 m_2 \frac{1}{r^4}$$ $$n=6 : F = \frac{4}{\pi^2} G m_1 m_2 \frac{1}{r^5}$$

Ach nein! Newtons Kraftgesetz wird mit unintuitiven Konstanten überladen! Sondern durch Definieren$G^* = 4 \pi G$Das Newtonsche Gravitationsgesetz kann wie folgt umformuliert werden:

$$F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{4 \pi r^2}$$

Das erkennen wir sofort$4 \pi r^2$ist einfach die Oberfläche einer Kugel mit Radius$r$.

Aber das ist nur in 3 Dimensionen. Schauen wir mal, was drin passiert$n$Maße:

$$n=2 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{2 \pi r}$$ $$n=4 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{2 \pi^2 r^3}$$ $$n=5 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{\frac{8}{3} \pi^2 r^4}$$ $$n=6 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{\pi^3 r^5}$$

$2 \pi r$ist die Oberfläche einer zweidimensionalen Kugel mit Radius$r$.

$2 \pi^2 r^3$ist die Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel mit Radius$r$.

$\frac{8}{3} \pi^2 r^4$ist die Oberfläche einer 5-dimensionalen Kugel mit Radius$r$.

$\pi^3 r^5$ist die Oberfläche einer 6-dimensionalen Kugel mit Radius$r$.

Newtons Gravitationsgesetz in$n$Abmessungen ist:

$$F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{S_n}$$

Wo$S_n$ist einfach die Oberfläche von a$n$dimensionale Sphäre des Radius$r$. Daraus scheint es$G^*$wäre eine schönere Definition für die Gravitationskonstante.