Gravitationswellen-Erkennungszeitunterschied zwischen LIGO Livingston und LIGO Hanford

Aktualisiert, um gemeldete Zeitkonfidenzintervalle zu verwenden, anstatt zu versuchen, diese aus gemeldeten Auflösungsunsicherheiten der Himmelsposition abzuleiten. Der letztere Ansatz war irreführend, da der Himmelsort unter Verwendung von mehr Informationen als nur der Ankunftszeitdifferenz weiter aufgelöst wurde.

Beachten Sie, dass ich weder Astronom noch an aLIGO beteiligt bin. Ich verwende hier einfach die klassische euklidische Geometrie, kombiniert mit gelegentlichen Transformationen zwischen kartesischen und sphärischen Koordinaten.

Wir haben zwei Observatorien,$L$(Livingston) und$H$(Hanford) und ein weit entfernter Punkt$E$Aussendung eines (Gravitationswellen-) Signals. Nehmen wir an, dass sich das Signal mit konstanter Geschwindigkeit ausbreitet$c$durch Materie geringer Dichte, einschließlich des Planeten Erde. Der geradlinige Abstand zwischen$L$und$H$(Durchgang durch die Erde) ist$|HL| \approx c\cdot 10.0\cdot10^{-3}\,\mathrm{s}$.

$L$empfängt das Signal von$E$Über$t_{ELH}\approx 7\cdot10^{-3}\,\mathrm{s}$Vor$H$. Dies impliziert das$E$ist eine Distanz$d = c\,t_{ELH}$näher an$L$als zu$H$.

Nehmen wir nun eine großräumige euklidische Geometrie an und betrachten die enthaltende Ebene$E,L,H$, die Menge aller Kandidatenpunkte$E$wo$|EH|-|EL| = d$ist ein Ast einer Hyperbel, nämlich der Ast näher an$L$:

In der Tat Einstellung

$$\begin{align} r &= \frac{d}{2} & r_1 &= \frac{|HL|}{2} & R &= |LE| \\ L &= (r_1,0) & H &= (-r_1,0) & E &= (x,y) \end{align}$$ wir erhalten die kartesische Hyperbelgleichung $$\frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r_1^2-r^2} = 1$$ und in Polarkoordinaten, betrachtet von $L$: $$R = \frac{r_1^2 - r^2}{r - r_1\cos\alpha}$$ Für sehr groß $R/r_1$, $|\alpha|$muss sehr nahe an seiner asymptotischen Grenze liegen: $$\begin{align} \cos\alpha &\approx \frac{r}{r_1} = \frac{d}{|HL|} = \frac{t_{ELH}}{t_{HL}} \\ \text{where}\quad t_{HL} &= \frac{|HL|}{c} \approx 10.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s} \qquad\text{(time directly from $H$ to $L$)} \end{align}$$ In 3D bedeutet dies das $E$liegt auf einem der beiden Blätter eines Rotationshyperboloids, dessen Rotationsachse die Linie ist $HL$. Insbesondere im $L$'s Blick auf den Himmel, der teilweise unter dem Horizont verborgen ist, sollte ein ziemlich dünnes kreisförmiges Band vorhanden sein, das alle projizierten Kandidatenpunkte für abdeckt $E$.

Der von dem kreisförmigen Band eingeschlossene räumliche Blickwinkel ist

$$A_{\text{ste}} = 2\pi(1 - \cos\alpha) \approx 2\pi\left(1 - \frac{t_{ELH}}{t_{HL}}\right)$$ Unsicherheiten drin $t_{ELH}$ergeben Unsicherheiten in $\cos\alpha$die das kreisförmige Band verbreitern. So wird der Kreis zu einem Kreisring. Der von diesem Ringraum abgedeckte feste Blickwinkel misst $$\begin{align} A_{\text{ste.max}} - A_{\text{ste.min}} = 2\pi(\cos\alpha_{\text{min}} &{}- \cos\alpha_{\text{max}}) \approx 2\pi\frac{t_{ELH\text{.max}} - t_{ELH\text{.min}}}{t_{HL}} \\ \text{briefly:}\quad \Delta A_{\text{ste}} &\approx 2\pi\frac{\Delta t_{ELH}}{t_{HL}} \end{align}$$ Ersetzen von gemeldeten Daten für $t_{ELH}$, mit $\text{min}$und $\text{max}$bezogen auf 90%-Wahrscheinlichkeitsintervalle gilt: $$\begin{array}{rcrrr} \text{entity} & \text{unit} & \text{nom} & \text{min} & \text{max} & \Delta \\\hline t_{ELH} & 10^{-3}\,\mathrm{s} & 6.9 & 6.5 & 7.4 & 0.9 \\ \cos\alpha & 1 & 0.69 & 0.65 & 0.74 & 0.09 \\ 90^\circ - \alpha & {}^\circ & 44 & 41 & 48 & 7 \end{array}$$ Und so bedeckt der Ring, wenn er auf eine Einheits-(Himmels-)Kugel projiziert wird $$\Delta A_{\text{ste}} \approx 0.18\pi \approx (1.9\cdot10^3)^{\circ\circ}$$ (Die ${}^{\circ\circ}$bedeutet Quadratgrad .) Im Gegensatz dazu variiert der gemeldete Wert der glaubwürdigen Region zwischen $140^{\circ\circ}$(50% Wahrscheinlichkeit) und $590^{\circ\circ}$(Wahrscheinlichkeit 90 %). Denn große Teile des Ringraums könnten anhand zusätzlicher Informationen wie Signalstärkeverhältnisse ausgeschlossen werden. Aber diese Verfeinerungen sind nicht das Thema dieses Threads.

Gehen wir zur einfacheren Visualisierung zu einem Punkt$B$auf der Erdoberfläche, wo sich das Zentrum des Rings im Zenit befindet und der Ring selbst sich auf konstanter Höhe befindet$90^\circ - \alpha$, wie in der obigen Tabelle angegeben. Lassen Sie zu diesem Zweck$O$der Ort des Erdmittelpunkts sein und erfordern, dass der 3D-Strahl$OB$zeigt in die gleiche Richtung wie der Strahl$HL$. Dies bestimmt den Breiten- und Längengrad von$B$. Beachten Sie, dass die Parallelverschiebung aus$HL$zu$OB$entsteht eine Parallaxe, die aber wegen der Entfernung zu vernachlässigen ist$E$ist so groß.

Unseren Planeten zu einer Kugel zu idealisieren und die Berechnungen durchzuführen (Transformation der Standorte von$H$und$L$von Kugelkoordinaten zu kartesischen Koordinaten, Berechnung des Differenzvektors, Normalisierung und Rücktransformation in Kugelkoordinaten), finde ich$B$schlagen

$$B\colon\ 27^\circ 21'54.22''\mathrm{S}\ 38^\circ 36'33.45''\mathrm{W} = 27.365061^\circ\mathrm{S}\ 38.609293^\circ\mathrm{W}$$ das etwa 700 km südöstlich von Rio de Janeiro im Atlantik liegt . Wenn Sie dort gewesen wären 2015-09-14 09:50:45 UTCund sich um sich selbst gedreht hätten, hätten Sie in konstanter Höhe ein Band gezogen $90^\circ - \alpha \approx 44^\circ$und Breite $7^\circ$am Himmel, das hätte alle Richtungen markiert, wo die Signalquelle war $E$hätte sein können.

Um die Himmelsansicht zu simulieren, habe ich ein kleines Skript gw150914.stsfür Nightshade geschrieben :

# Display the sky at the time of the aLIGO GW150914 observation
# from an Earth-based position chosen such that the set of possible sky
# positions of the source form a circular annulus with azimuth-independent
# altitude = asin(delta_t/10ms), about 44 deg.
clear
timerate rate 0
date utc 2015-09-14T09:50:45
flag show_tui_datetime on
set home_planet "Earth"
moveto lat -27.365061 lon -38.609293 alt 0 heading 0 duration 2
wait duration 2
flag azimuthal_grid on
zoom fov 120 duration 2

Dies ergibt die Ansicht unten. Ich habe gestrichelte grüne Kreise hinzugefügt, um den Kreisring abzugrenzen.

Erwarten Sie jedoch nicht, innerhalb dieses Kreisrings wahrscheinliche Kandidatenstellen zu finden. Der Ring verbirgt die radiale Tiefe des projizierten Raumvolumens. Ein Bereich für diese radiale Tiefe ist durch die geschätzten Grenzen für die Distanz gegeben$R=|LE|$. Das entsprechende flache Raumvolumen ist

$$\Delta V = \frac{1}{3}\Delta A_{\text{ste}} \left(R_{\text{max}}^3 - R_{\text{min}}^3\right)$$ Einfügen der gemeldeten Werte, wiederum aus Intervallen mit 90 % Wahrscheinlichkeit, $$\begin{align} \Delta A_{\text{ste}} &\approx 590^{\circ\circ} \approx 0.0572\pi & R_{\text{min}} &\approx 0.23\cdot10^{9}\,\mathrm{pc} & R_{\text{max}} &\approx 0.57\cdot10^{9}\,\mathrm{pc} \end{align}$$ Erträge $$\Delta V \approx 10^{25}\,\mathrm{pc}^3$$ Um eine sehr grobe Schätzung der Anzahl der Galaxien in diesem Volumen zu erhalten, lassen Sie uns multiplizieren $\Delta V$mit einer groben Schätzung der Galaxiendichte von $10^{-20}\,\mathrm{pc}^{-3}$, was ungefähr ergibt $10^5$Galaxien in diesem Volumen. Meine Schlussfolgerung aus dieser Berechnung auf der Rückseite des Umschlags ist, dass wir nicht auf eine Lokalisierung hoffen können $E$weiter, sofern keine weiteren Informationen gegeben werden.

Etwas anders wäre es gewesen, wenn wir ein drittes aLIGO-Observatorium entfernt von der Linie gehabt hätten$HL$in Betrieb und in der Lage, das Signal von zu erkennen$E$. Dann könnten wir drei Kreisringe zeichnen, Schnittpunkte nehmen und so die Richtung des Signals innerhalb eines einigermaßen kleinen Flecks auf der Himmelskugel bestimmen.

Weiterlesen

• Wie dieser LIGO-Beitrag uns sagt, könnten Teile des Ringraums ausgeschlossen werden, indem zusätzliche Merkmale der Daten wie unterschiedliche Signalstärken berücksichtigt werden.
• Eine genauere Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Ergebnisse findet sich in diesem LIGO-Papier .
• Weitere Informationen zu den Methoden, die verwendet werden, um die glaubwürdigen Himmelsregionen des Quellorts weiter einzugrenzen, werden in diesem Dokument gegeben .

Nachtrag

Ein äquivalentes Skript gw150914.sscfür Stellarium :

// Display the sky at the time of the aLIGO GW150914 observation
// from an Earth-based position chosen such that the set of possible sky
// positions of the source form a circular annulus with azimuth-independent
// altitude = asin(delta_t/10ms), about 44 deg.

var obs_lat = -27.365061;
var obs_long = -38.609293;
var obs_alt = 0;
var obs_locname = "Atlantic, 700km SE from Rio de Janeiro";
var obs_planet = "Earth";
var obs_date = "2015-09-14T09:50:45";
var duration = 2;

core.clear("deepspace");
core.setTimeRate(0);
core.setDate(obs_date, "utc");
core.setObserverLocation(obs_long, obs_lat, obs_alt, duration,
                         obs_locname, obs_planet);
core.wait(duration);
core.moveToAltAzi("90", "0", duration);
core.wait(duration);
GridLinesMgr.setFlagAzimuthalGrid(true);
StelMovementMgr.zoomTo(120, duration);

Und ja, core.setObserverLocationerwartet Längengrad vor Breitengrad.

Hier ist, wie mein nichtwissenschaftlicher Verstand es sich vorstellt. Auf einer Karte zeichne ich eine gerade Linie zwischen den beiden LIGO-Standorten. Dann nehme ich eine weitere gerade Linie (wie ein Lineal/Lineal), die das hereinkommende GW darstellt. Wenn die GW-Linie aus dem Süden genau parallel zu der Linie kommt, die ich auf der Karte gezeichnet habe, dann würden beide Standorte das "Zwitschern" erkennen. genau zur gleichen Zeit (0 Millisekunden Unterschied). Wenn die GW-Linie genau senkrecht zu meiner gezeichneten Linie aus dem Süden kommt und zuerst den LA-Standort trifft, wird an jedem Standort ein Chirp im Abstand von ca zwei Standorte in einer geraden Linie).

Ich stelle mir also vor, dass die GW-"Linie" in Bezug auf meine gezeichnete Linie irgendwo zwischen parallel und senkrecht (näher an senkrecht) aus dem Süden kam. Jemand anderes, der schlauer ist als ich, kann die Mathematik herausfinden und Winkel, Zahlen usw.

Macht das irgendeinen Sinn?

Das Hinzufügen weiterer Detektoren wird die Lokalisierung von Ereignissen immens unterstützen. Zum Verständnis der Berechnung schauen Sie sich das alte LORAN-Navigationssystem an. Dieses System verwendete synchronisierte Sender, und der Empfänger maß die Zeitdifferenz.

Das Empfangsgerät maß die Zeit zwischen Signalen von mehreren Quellen, die gleichzeitig zwitschern. Wenn Sie das Zwitschern gleichzeitig von zwei der synchronisierten Sender hören, befinden Sie sich auf der Ebene, die zwischen den Quellen gleich weit entfernt ist. Die Ebene ist senkrecht zur Linie zwischen den Quellen und auf halbem Weg. Wenn Sie den Schnittpunkt der Ebene und der Erdoberfläche zeichnen, entsteht ein Großkreis. Du bist im großen Kreis.

Signale mit unterschiedlichem Empfangszeitpunkt bilden eine gekrümmte Fläche. Wenn es die Erde durchschneidet, definiert es eine gekrümmte Linie auf der Oberfläche (hyperbolisch).

Wenn die Signale zu unterschiedlichen Zeiten kommen, sind Sie dem einen näher als dem anderen. Die zur Bestimmung der Position verwendeten Diagramme hatten Linien mit konstanter Zeitdifferenz, die aufgetragen waren. Sie haben ein Senderpaar abgehört, Ihre Zeitdifferenz erhalten und die Linie auf dem Diagramm gefunden, die diese Verzögerung darstellt. Tun Sie dies für ein anderes Senderpaar, erhalten Sie diese Differenz, finden Sie die Linie für dieses Paar mit dieser Verzögerung, und wo sich die Linien kreuzen, ist ungefähr dort, wo Sie sich befinden.

Dies wird für mehrere Paare wiederholt und alle Schnittpunkte gefunden (die besten zwei Linien sind diejenigen, die sich im rechten Winkel kreuzen, um den möglichen Fehler in Ihren Timern zu reduzieren).

Dies ist umgekehrt dasselbe.

Holen Sie sich mehr Zuhörerpaare und wir können beginnen, den Raumbereich der Signalquelle zu isolieren.

Ich hoffe das hilft.

Das Signal wandert nicht von Livingston nach Hanford. Das Signal kommt mit einem Winkel von etwa 45 Grad zur Verbindungslinie der beiden an und hat die gleiche Amplitude auf Ebenen senkrecht zur Bewegungsrichtung (die Spitzen der Wasserwellen liegen nicht entlang der Bewegungsrichtung der Wasserwellen, sondern senkrecht in Fahrtrichtung). Wenn also das Signal bei 90 Grad der Verbindungslinie zwischen Hanford und Livingston eintreffen würde, würden die Spitzen des Signals gleichzeitig an beiden ankommen. Wenn es in die Richtung entlang des Pfades käme, würde es das Signal in Hanford 10 ms später aufnehmen als in Livingston. Bei 45 Grad würde der Gipfel in Livingston eintreffen$\cos(45°) \times 10$Frau$= 7$ms später in Hanford als in Livingston. Somit liegt die Richtung des Signals auf einem Kegel mit einem Spitzenwinkel von sehr nahe bei 45 Grad. Das war alles, was man anhand des Timings erkennen konnte.

Hanford- und Livingston-Detektoren wurden so gebaut, dass sie möglichst parallel zueinander liegen. Wenn wir auf einer flachen Erde leben würden, dann wäre das Signal an beiden identisch. Die Erde ist gekrümmt. Somit ist der Detektor in Hanford von der geraden Linie, die sie verbindet, um etwa 27 Grad in Bezug auf Livingston geneigt. Dies bedeutet, dass die Empfindlichkeit des Detektors nicht für alle Einfallsrichtungen entlang des Kegels gleich ist. In einigen Richtungen hat Hanford etwa 50 % der Empfindlichkeit von Livingston, während sie für andere fast gleich sind. Durch den Vergleich der Amplituden bei Hanford und Livingston kann man eine sehr grobe Vorstellung davon bekommen, woher entlang dieses 45-Grad-Kegels das Signal kam, wodurch die Richtungen auf etwa die Hälfte des Kegels begrenzt werden.

Als Virgo online ging, reichte diese zusätzliche Zeitinformation aus, um die Richtungen, aus denen das Signal kommen könnte, stark einzuschränken, obwohl seine Empfindlichkeit viel geringer ist als bei jedem der LIGO-Detektoren.

Am 12. Februar schrieb James: "Ein Unterschied von 7 ms würde eine minimale Entfernung der Standorte von etwa 2000 km bedeuten, nicht ein Maximum."

Der errechnete minimale Abstand der Standorte beträgt etwa 3001,65 km, verglichen mit dem geschätzten Maximum von 3030,12 km, das von Gollum am selben Tag angegeben wurde. Der Winkelabstand zwischen den Livingston- und Hanford-Detektoren beträgt etwa 27,25 Grad vom Zentrum unseres Planeten bei einem durchschnittlichen Erdradius von 6371,0 km und ergibt dieses Ergebnis. Wenn sich die detektierten Gravitationswellen von GW150914 mit mehr Geschwindigkeit als Lichtgeschwindigkeit nach außen ausbreiten, entspricht eine Differenz von 7 ms diesem MINDESTmöglichen Detektorabstand.

Die Geschwindigkeit des GW am 14.09.2015/09:50:45 UT auf der Grundlage dieses Arguments wäre:

(3001,65 km/2099,0 km)*c ~ 1,43-fache Lichtgeschwindigkeit