Grundlegende Fragen in Majorana-Fermionen

Ich habe eine zusätzliche Antwort gegeben, da ich glaube, dass die erste Frage von Jeremy noch unbeantwortet ist. Die vorherige Antwort ist klar, pädagogisch und richtig. Die Diskussion ist auch sehr interessant. Danke an Nanophys und Heidar dafür.

Um Jeremys Frage direkt zu beantworten: Sie können IMMER eine Darstellung Ihrer bevorzugten Fermionenmodi in Form von Majoranas Modi konstruieren. Ich verwende die Konvention "Modi", da ich Physiker der kondensierten Materie bin. Ich arbeite nie mit Partikeln, nur mit Quasi-Partikeln. Vielleicht besser, über Modus zu sprechen.

Also die einheitliche Transformation von Fermion-Moden erstellt durch$c^{\dagger}$und vom Betreiber vernichtet$c$zu Majorana Modi ist

$$c=\dfrac{\gamma_{1}+\mathbf{i}\gamma_{2}}{\sqrt{2}}\;\text{and}\;c{}^{\dagger}=\dfrac{\gamma_{1}-\mathbf{i}\gamma_{2}}{\sqrt{2}}$$ oder gleichwertig $$\gamma_{1}=\dfrac{c+c{}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\;\text{and}\;\gamma_{2}=\dfrac{c-c{}^{\dagger}}{\mathbf{i}\sqrt{2}}$$ und diese Transformation ist immer erlaubt, da sie einheitlich ist. Damit haben Sie gerade die Basis Ihres Hamilton-Operators geändert. Die damit verbundenen Quasi-Teilchen $\gamma_{i}$'s Modi überprüfen $\gamma{}_{i}^{\dagger}=\gamma_{i}$, eine fermionische Antikommutierungsbeziehung $\left\{ \gamma_{i},\gamma_{j}\right\} =\delta_{ij}$, aber sie sind überhaupt keine Teilchen. Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, zu versuchen, einen Zahlenoperator mit ihnen zu konstruieren (wenn wir die Teilchen nicht zählen können, sind es dann Teilchen? Ich schätze, nein). Wir würden vermuten $\gamma{}^{\dagger}\gamma$ist ein guter. Das stimmt nicht, da $\gamma{}^{\dagger}\gamma=\gamma^{2}=1$ist immer $1$... Der einzig richtige Zahlenoperator ist $c{}^{\dagger}c=\left(1-\mathbf{i}\gamma_{1}\gamma_{2}\right)$. Um zu überprüfen, ob die Majorana-Modi Anyons sind, sollten Sie sie flechten (ihre Austauschstatistik kennen) -- dazu möchte ich nicht viel sagen, Heidar hat all die interessanten Bemerkungen zu diesem Punkt gemacht. Ich werde später darauf zurückkommen, dass es immer welche gibt $2$Majorana-Modi zugeordnet $1$fermionisch ( $c{}^{\dagger}c$) eines. Das meiste wurde bereits von Nanophys gesagt, mit Ausnahme eines wichtigen Punktes, den ich später erörtern werde, wenn ich die Delokalisierung des Majorana-Modus erörtere. Ich möchte diesen Absatz damit beenden, dass die Majorana-Konstruktion nicht mehr ist als die übliche Konstruktion für Bosonen: $x=\left(a+a{}^{\dagger}\right)/\sqrt{2}$und $p=\left(a-a{}^{\dagger}\right)/\mathbf{i}\sqrt{2}$: nur $x^{2}+p^{2} \propto a^{\dagger} a$(mit richtigen Dimensionskonstanten) ist eine Erregungszahl. Majorana-Modi teilen viele Eigenschaften mit dem $p$und $x$Darstellung der Quantenmechanik (ua simplektische Struktur).

Die nächste Frage lautet: Gibt es Situationen, in denen die$\gamma_{1}$und$\gamma_{2}$sind die natürlichen Erregungen des Systems ? Nun, die Antwort ist kompliziert, sowohl ja als auch nein.

• Ja, weil Majorana-Operatoren die korrekten Erregungen einiger topologischer Realisierungen von kondensierter Materie beschreiben, wie z$p$-Wellen-Supraleitung (unter vielen anderen, aber lassen Sie mich auf diese spezielle konzentrieren, die ich besser kenne).
• Nein, denn diese Moden sind überhaupt keine Erregung! Sie sind Nullenergiemoden, was nicht die Definition einer Erregung ist. Tatsächlich beschreiben sie die verschiedenen möglichen Vakuumrealisierungen eines entstehenden Vakuums (emergierend in dem Sinne, dass Supraleitung keine natürliche Situation ist, sondern ein Kondensat aus wechselwirkenden Elektronen (sagen wir)).

Wie in der Diskussion im Zusammenhang mit der vorherigen Antwort ausgeführt , lautet die normale Terminologie für diese Pseudo-Anregungen Null-Energie-Modus. Das sind sie: Energiemodus bei Nullenergie, in der Mitte der (supraleitenden) Lücke. Beachten Sie auch, dass in kondensierter Materie die Lücke den gesamten Schutz des Majorana-Modus bietet, es gibt keinen anderen Schutz in gewissem Sinne. Einige Leute glauben, dass es eine Art Delokalisierung der Majorana gibt, was wahr ist (dazu komme ich gleich). Aber die Delokalisierung geht tatsächlich mit der Lücke einher: Es gibt keine erlaubte Ausbreitung unterhalb der Lückenenergie. Die Majorana-Moden sind also zwangsläufig lokalisiert, weil sie bei Nullenergie in der Mitte der Lücke liegen.

Jetzt mehr Worte über die Delokalisierung – wie ich versprochen habe. Denn man braucht zwei Majorana-Modi$\gamma_{1}$und$\gamma_{2}$zu jeder regulären Fermionik$c{}^{\dagger}c$Erstens kombinieren sich zwei beliebige zugehörige Majorana-Modi, um ein reguläres Fermion zu erzeugen. Die wichtigste Herausforderung besteht also darin, delokalisierte Majorana-Modi zu finden! Das ist der berühmte Kitaev-Vorschlag arXiv:cond-mat/0010440 – er sagte unpaarige Majorana statt delokalisiert, da die Delokalisierung wieder einmal kostenlos ist. Am Ende eines topologischen Drahtes (bei mir a$p$-Wellen-Supraleiterdraht) gibt es zwei Nullenergiemoden, die im Raum exponentiell abfallen, da sie in der Mitte der Lücke liegen. Diese Nullenergiemodi können geschrieben werden als$\gamma_{1}$und$\gamma_{2}$und sie verifizieren$\gamma{}_{i}^{\dagger}=\gamma_{i}$jeder !

Zum Abschluss noch eine eigentlich lebhafte Frage: Es gibt viele Pseudo-Anregungen bei Nullenergie (in der Mitte der Lücke). Der einzige Unterschied zwischen Majorana-Modi und den anderen Pseudo-Erregungen ist die Definition des Majorana$\gamma^{\dagger}=\gamma$, die anderen sind reguläre Fermionen. Wie kann man die Majorana-Pseudo-Erregung (Null-Energie-Modus) im Dschungel der anderen sicher erkennen?

Majorana-Fermionen sind Fermionen, die ihre eigenen Antiteilchen sind. Dadurch haben sie nur halb so viele Freiheitsgrade wie ein reguläres Dirac-Elektron. Eine physikalische Interpretation, zumindest für Majorana-Fermion-Quasiteilchen in kondensierten Materiesystemen, ist, dass sie als Überlagerung eines Elektron- und Lochzustands angesehen werden können.

Nur Majorana-gebundene Zustände können verwendet werden, um topologische Quantenberechnungen durchzuführen. Wenn Sie ein System mit haben$2N$ gut getrennte Majorana-Fermionen, dann haben Sie a$2^N$-fach entarteter Grundzustand. Sie können auf diesem System Quantenberechnungen durchführen, indem Sie eine Abfolge von Austauschvorgängen zwischen diesen durchführen$2N$Majorana-Fermionen. Diese Austauschvorgänge sind als "Flecht"-Operationen bekannt. Außerdem ist die Reihenfolge wichtig, in der Sie die Flechtvorgänge durchführen. Daher soll das System nichtabelsche Statistik besitzen.

Es ist wichtig zu verstehen, was es bedeutet, eine Berechnung durchzuführen. Da Majoranas so etwas wie halbe Fermionen sind, können wir sie nicht wirklich direkt messen. Wir können auf ihre Existenz schließen. Eine andere Möglichkeit, die Probleme bei der Messung eines Majorana-Fermions zu verstehen, ist eine Mehrdeutigkeit in seiner eindeutigen Identifizierung! Angenommen, wir haben ein System mit$2N$Majorana-Fermionen und folglich$N$regelmäßige Fermionen. Sie müssen zwei Majoranas paaren, um ein reguläres Fermion zu erhalten (das wir messen können). Aber es gibt mehr als eine Möglichkeit, dies zu tun! Sie können dies in tun

$$\frac{(2N)!}{2!(2N-2)!}$$ Anzahl von Wegen. Nehmen wir an, wir einigen uns auf eine Konvention und beschließen, zwei Majoranas auf eine bestimmte Weise zu paaren oder zu verschmelzen. Zum Beispiel entscheiden wir uns in einem 1-D-Gitter dafür, nur Majoranas des nächsten Nachbarn zu paaren. Dies ist in der Tat die beste Wahl, um sie zu paaren. Jetzt führt man also eine Reihe von Flechtoperationen durch und verschmilzt am Ende die Majoranas gemäß der vereinbarten Konvention und misst dann die resultierenden regulären Fermion-Zustände. Das ist, wenn wir die Berechnung durchgeführt haben. Nur umtauschen reicht nicht. Sie können nicht sagen, ob sie tatsächlich ausgetauscht wurden, ohne sie zu verschmelzen! Sie können mehr darüber in Abschnitt 3 dieses hervorragenden Übersichtsartikels lesen:

http://arxiv.org/abs/1206.1736

Abschließend werde ich kommentieren, was dieses ganze "topologische" Geschäft ist. Eine der faszinierendsten und widersprüchlichsten Eigenschaften eines Systems, das Majoranas enthält, ist, dass Sie nichtlokale Zustände in Ihrem System haben können. Wie ich oben erwähnt habe, können Sie so ziemlich zwei beliebige Majoranas verschmelzen, um ein normales Elektron zu erhalten. Es spielt keine Rolle, ob diese beiden Majorana-Fermionen räumlich weit voneinander entfernt sind. Der resultierende (reguläre) elektronische Zustand durch die Fusion dieser beiden Majoranas ist hochgradig nichtlokal. Die Tatsache, dass dieser elektronische Zustand nichtlokal ist, bedeutet, dass lokale Störungen diesen Zustand nicht zerstören können. Daher sind solche Systeme immun gegen Dekohärenz, was eines der größten Probleme ist, mit denen andere Quantencomputerschemata konfrontiert sind. Dies ist einer der größten Reize der topologischen Quantencomputer.

Diese interessante Geschichte hat jedoch einen Haken. Mit Majorana-Fermionen kann man keine universelle Quantenrechnung durchführen. Dazu sind zwei zusätzliche Prozesse notwendig: die$\pi/8$Phasentor und eine Möglichkeit, den Eigenwert des Produkts von 4 Majorana-Operatoren zu lesen, ohne die Eigenwerte einzelner Paare (in dieser Gruppe von 4) zu messen. Unglücklicherweise erfreuen sich aktuelle Wege, solche Prozesse zu implementieren, keinen topologischen Schutz. Trotzdem ist etwas topologischer Schutz besser als gar keiner!