direkte Summe von Anyons?

Dies war ursprünglich ein Kommentar zu Joes ausgezeichneter Antwort, wurde aber zu lang. Ich versuche der Frage nachzugehen, was φ ⊕ φ bedeutet.

Angenommen, Sie sehen sich die Gleichung an

φ ⊗ φ ⊗ φ = φ ⊕ φ ⊕ ich.

Was dies besagt ist, dass, wenn Sie drei φ-Teilchen verschmelzen, es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, φ zu erzeugen, und eine Möglichkeit, I zu erzeugen. Die zwei Möglichkeiten sind (a) und (b) unten; Der einzige Weg, I zu erzeugen, ist (c):

(a) fusioniere φ ⊗ φ, um I zu erhalten, und fusioniere dann φ ⊗ I, um φ zu erhalten;

(b) fusioniere φ ⊗ φ, um φ zu erhalten, und fusioniere dann φ ⊗ φ, um φ zu erhalten.

(c) fusioniere φ ⊗ φ, um φ zu erhalten, und fusioniere dann φ ⊗ φ, um I zu erhalten;

Diese drei Zustände sind orthogonal, und Sie können sie als Basiszustände des Hilbert-Raums φ ⊗ φ ⊗ φ auffassen. Beim Zählen dieser verschiedenen Wege müssen Sie die Reihenfolge, in der Sie die Teilchen verschmelzen, festhalten. Wenn Sie diese Reihenfolge ändern möchten, müssen Sie das anwenden, was die Physiker die F-Matrix nennen (möglicherweise wiederholt), um diese Basis zu ändern.

Eine Denkweise ist, dass das Tensorprodukt dem gemeinsamen Zustand zweier Systeme entspricht und das direkte Produkt der Überlagerung von Zuständen. Wenn Sie Teilchen verschmelzen, führen Sie eine Messung durch. Die obige Gleichung impliziert, dass, wenn Sie drei Fibonacci-Anyons haben, ihr Hilbert-Raum in zwei Sektoren zerfällt. Wenn Sie in einem davon (dem zweidimensionalen) alle drei Anyons verschmelzen, erhalten Sie ein Fibonacci-Anyon. Im anderen (dem eindimensionalen), wenn Sie alle drei Anyons verschmelzen, erhalten Sie den Vakuumzustand. Was Sie erhalten, wenn Sie alle drei Anyons verschmelzen, hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der Sie es tun (es sei denn, Sie verflechten diese Anyons mit anderen Anyons, bevor Sie sie verschmelzen, und so führen Sie Quantenberechnungen mit Anyons durch).

Die einfachen Objekte in der Kategorie geflochtene Fusion entsprechen den möglichen Partikeltypen. Im einfachsten wichtigen Beispiel gibt es zwei Partikeltypen 1 und$\phi$. (Nun, 1 ist das Vakuum, also ist es eine etwas seltsame Art von Teilchentyp.)

Die nicht einfachen Objekte haben keine intrinsische physikalische Bedeutung,$\phi \oplus \phi$bedeutet einfach jedes System, "das ein einzelnes Teilchen sein kann, aber auf zwei verschiedene Arten", macht aber keine Behauptungen darüber, was diese zwei verschiedenen Arten sind.

Das Tensorprodukt einfacher Objekte hat eine intrinsische Bedeutung, es bedeutet, ein System mit mehreren Teilchen darin zu betrachten.

Da die zugrunde liegende Kategorie nur endlich viele Objekte hat, können Sie jedes Mal, wenn Sie ein Mehrteilchensystem haben, den Hilbert-Raum als direkte Summe von Zuständen aufbrechen, wo Sie sie alle zu einem einzigen Teilchen verschmolzen haben (entweder 1 oder$\phi$). Da zum Beispiel$\phi \otimes \phi \otimes \phi \cong \phi \oplus \phi \oplus 1$Das bedeutet, dass der Hilbert-Raum für das 3-Teilchen-System dreidimensional ist und sich in einen zweidimensionalen Raum von Dingen aufteilt, die sich wie ein einzelnes Teilchen verhalten (das ist der$\phi \oplus \phi$Teil) und ein eindimensionaler Raum von Dingen, die sich wie das Vakuum verhalten (dies ist der 1. Teil). In diesem Fall$\phi \oplus \phi$hat eine physikalische Bedeutung, die durch sein Erscheinen als Summand von durchdrungen ist$\phi^{\otimes 3}$, aber andere Auftritte von$\phi \oplus \phi$innerhalb anderer Tensorprodukte haben unterschiedliche physikalische Bedeutungen.

Im Allgemeinen wird der Hilbert-Raum dem System von k Teilchen zugeordnet$X_{a_1} \otimes X_{a_2} \otimes \ldots \otimes X_{a_k}$ist die direkte Summe über alle Teilchenarten$X_i$

Es gibt eine sehr schöne Sammlung von Vorlesungsunterlagen zu diesem Thema von Jiannis Pachos hier . (siehe insbesondere Abschnitt 1.3 zu Schmelz- und Flechteigenschaften).

Was die erste Frage betrifft, so sind das Tensorprodukt und das direkte Produkt grundsätzlich unterschiedliche Arten, den Hilbert-Raum aufzuteilen (siehe die aufschlussreiche Diskussion von John Baez hier ). Wenn Sie eine Beziehung wie haben$\phi \otimes \phi = \mathbb{I} \oplus \phi$(wie bei Fibonacci-Anyonen ) bedeutet dies, dass, wenn zwei Anyons verschmelzen, sie entweder das Vakuum oder ein einzelnes Anyon erzeugen. Physikalisch ist die direkte Summe im Grunde eine Aufzählung von Möglichkeiten, während das Tensorprodukt im Grunde die einzelne Möglichkeit für ein System beschreibt, das aus mehreren Teilsystemen besteht. Eine Gleichung wie diese besagt also, dass die Verschmelzung von zwei Anyonen entweder ein einzelnes Anyon oder den Vakuumzustand erzeugt.

Was die zweite Frage betrifft, da die direkte Summe den Hilbert-Raum konstruiert, indem sie die Hilbert-Räume der Argumente kombiniert,$\phi+\phi$ist nicht dasselbe wie$\phi$, sondern ist ein größerer Hilbert-Raum einzelner Anyons. Vielleicht möchten Sie sich Seite 17 des Fibonacci-Links ansehen. Das werden Sie merken$\phi\otimes\phi\otimes\phi = \mathbb{I} \oplus \phi \oplus \phi$, was ein dreidimensionaler Hilbert-Raum ist, wobei als$\phi\otimes\phi=\mathbb{I} \oplus \phi$was ein zweidimensionaler Hilbert-Raum ist.

Ich habe das Gefühl, endlich die physikalische Bedeutung von zusammengesetzten (also nicht einfachen) Objekten verstanden zu haben$\phi\oplus\phi$. Es wird in Abschnitt II meiner Arbeit mit Tian Lan arxiv.org/abs/1311.1784 erklärt.

Wir wissen, dass das Setzen einiger weniger Anyons (dh der Objekte in der Tensorkategorie) auf eine Riemann-Fläche degenerierte Zustände erzeugen kann (dh den Fusionsraum der Objekte in der Tensorkategorie). Physikalisch bedeutet "einige Anyonen auf eine Riemann-Oberfläche setzen", dass ein bestimmter lokaler Hamilton-Operator verwendet wird$\Delta H$die Anyons an bestimmten festen Orten zu lokalisieren. Die oben erwähnten entarteten Zustände sind die Grundzustände des totalen Hamiltonoperators$H_0+\Delta H$. Wenn die Entartung unabhängig von jeder Störung ist$\Delta H$in der Nähe eines Teilchens, dann ist dieses Teilchen vom einfachen Typ. Wenn die Entartung durch eine Störung von geteilt werden kann$\Delta H$in der Nähe eines Teilchens, dann ist dieses Teilchen vom zusammengesetzten Typ.

Mit anderen Worten entsprechen die Teilchen des zusammengesetzten Typs einer zufälligen Entartung in der Physik.

Wenn ich mich richtig erinnere, entsprechen Isomorphismusklassen einfacher Objekte verschiedenen Arten von Partikeln (die als endlich angenommen werden), außerdem wird normalerweise mehr Struktur benötigt als eine Fusionskategorie, zum Beispiel Flechten (weshalb alle so interessant sind ). Lassen Sie mich ganz konkret werden. Eine physikalisch (und experimentell) relevante Kategorie hat drei Isomorphieklassen einfacher Objekte$(\mathbf 1, \psi, \sigma)$mit den nichttrivialen Fusionsregeln

Diese Fusionsregeln können verwendet werden, um den Grundzustands-Hilbert-Raum zu konstruieren, der durch den Raum von Morphismen zwischen einfachen Objekten gegeben ist. Definieren$V_{ab}^c = \text{Hom}(a\otimes b,c)$, der Hilbertraum für zwei Ising-Anyonen ist$V_2 = V_{\sigma\sigma}^{\mathbf 1}\oplus V_{\sigma\sigma}^{\psi}$was zweidimensional ist. Zum$2n$Anyons, der Grundzustand ist$\text{dim}V_{2n}= \text{dim}V_{2n\sigma}^{\mathbf 1} + \text{dim}V_{2n\sigma}^{\psi} = 2^{n-1}+2^{n-1} = 2^n$dimensional (dies ist gut zu sehen, wenn eine grafische Notation für Morphismen verwendet wird, siehe Referenzen unten). Anwendung der Fusionsregel$\sigma\otimes\sigma = \mathbf 1 \oplus \psi$man kann die Fünfeck- und Sechseckgleichungen für die lösen$F$und$R$Symbole, die in Kombination eine Darstellung der Braid-Gruppe ergeben$B_{2n}$(genauer gesagt, die Abbildungsklassengruppe der n-punktierten Sphäre = Zopfgruppe + Dehn-Verdrehungen) auf dem Grundzustands-Hilbert-Raum$V_{2n}$.

Eine physikalische Folge dieser direkten Summen ist also, dass der Grundzustand entartet ist und die Anyonen eine höchst nicht triviale Statistik haben, die Grundzustandswellenfunktion transformiert sich unter (höherdimensionaler) Darstellung der Zopfgruppe, wenn die Teilchen adiabat umeinander bewegt werden . Diese Eigenschaft von (nicht-abelschen) Anyonen hat zu der Idee geführt, sie für Quantenberechnungen zu verwenden (eine weitere Eigenschaft ist ihre nicht-lokale Natur, die sie teilweise vor der Dekohärenz bewahrt).

Um eine physikalischere Vorstellung davon zu bekommen, was die Fusion (oder Kollision, wie Sie es nennen) von Teilchen bedeutet, kann man sich den Beton ansehen$p+ip$Wellensupraleiter. In solchen Supraleitern können Nullmoden (Majorana) an den Kern von Abrikosov-Wirbeln gebunden werden, wo für 2n Wirbel vorhanden sein werden$2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1}$fermionische Zustände. Dies bedeutet, dass zwei Majorana-Fermionen benötigt werden, um ein konventionelles Fermion zu erhalten. Wenn die Wirbel räumlich getrennt sind, kann der Zustand im Kern des Wirbels nicht durch lokale Messungen gemessen werden. In der obigen Notation;$\sigma$ist ein Wirbel,$\psi$ein Elektron und$\mathbf 1$ein Kupferpaar ("das triviale Teilchen"). Mit dieser Identifikation besagen die Fusionsregeln, dass die Verschmelzung zweier Elektronen ($\psi\otimes\psi = \mathbf 1$) ergibt ein Kupferpaar, das in den Kondensaten verschwindet, während es zwei Wirbel verschmilzt ($\sigma\otimes\sigma = \mathbf 1\oplus\psi$) geben entweder nichts oder ein Elektron ab.

Die physikalische Bedeutung dieser direkten Summen einfacher Objekte hat also etwas mit den möglichen Ergebnissen zu tun, wenn wir den Zustand nach der Verschmelzung zweier Teilchen messen. Auf diese Weise können (nicht-abelsche) Anyons verwendet werden, um Qubits zu konstruieren, indem man sie verflechtet, kann man eine Berechnung durchführen, am Ende kann man sie fusionieren und den resultierenden Zustand messen.

Referenzen: Sie können Anhang B und dann Kapitel 4 dieser Arbeit lesen , um eine genauere Beschreibung zu erhalten, wie geflochtene Bandkategorien und Anyons verbunden sind. Diese Vorlesungsunterlagen von John Preskill geben einen physikalischeren Einblick, in Abschnitt „9.12 Anyon-Modelle verallgemeinert“ wird die Kategorietheorie verwendet, um die Physik zu formulieren (obwohl die Sprache der Kategorietheorie nicht verwendet wird und für Mathematiker ärgerlich sein könnte). Für einen Mathematiker ist eine bessere Referenz

• Topologische Quantenberechnung (2010) von Zhenghan Wang

Nicht zuletzt ist die kanonische Referenz für nicht-abelsche Anyonen das Übersichtspapier

• Non-Abelian Anyons and Topological Quantum Computation – Nayak, Simon, Stern, Freedman und Das Sarma ( arxiv ).