Wie entstehen nicht-abelsche Anyonen in Festkörpersystemen?

Die Realisierung der nicht-Abelschen Statistik in Systemen der kondensierten Materie wurde zuerst in den folgenden zwei Arbeiten vorgeschlagen. G. Moore und N. Read, Nucl. Phys. B 360, 362 (1991) X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 66, 802 (1991)

Zhenghan Wang und ich haben einen Übersichtsartikel geschrieben, um Mathematikern den FQH-Zustand (einschließlich des nicht-Abelschen FQH-Zustands) zu erklären, der die Erklärungen einiger grundlegender, aber wichtiger Konzepte wie Lückenzustand, Phase der Materie, Universalität usw. enthält. Er erklärt auch topologisches Quasiteilchen, Quantendimension, nicht-Abelsche Statistik, topologische Ordnung etc.

Der Schlüsselpunkt ist folgender: Betrachten Sie einen nicht-Abelschen FQH-Zustand, der Quasiteilchen enthält (die topologische Defekte im FQH-Zustand sind), selbst wenn alle Positionen der Quasiteilchen festgelegt sind, ist der FQH-Zustand immer noch nahezu entartet Grundzustände. Die Energieaufspaltung zwischen diesen nahezu entarteten Grundzuständen nähert sich Null, wenn sich die Quasiteilchentrennung der Unendlichkeit nähert. Die Entartung ist topologisch, da es keine lokale Störung in der Nähe oder entfernt von den Quasiteilchen gibt, die die Entartung aufheben kann. Das Auftreten einer solchen Quasi-Teilchen-induzierten topologischen Entartung ist der Schlüssel für die nicht-Abelsche Statistik. (für weitere Details siehe direkte Summe von Anyons? )

Wenn es die durch Quasiteilchen induzierte topologische Entartung gibt , wird beim Austausch der Quasiteilchen eine nicht-Abelsche geometrische Phase induziert, die beschreibt, wie diese topologisch entarteten Grundzustände ineinander rotieren. Die Leute beziehen sich normalerweise auf eine solche nicht-Abelsche geometrische Phase als nicht-Abelsche Statistik. Aber das Auftreten von Quasiteilchen-induzierter topologischer Entartung ist wichtiger und die Voraussetzung dafür, dass eine nicht-Abelsche geometrische Phase überhaupt existieren kann.

Wie entstehen quasiteilcheninduzierte topologische Entartungen in Festkörpersystemen? Um es kurz zu machen, in "X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 66, 802 (1991)" ist ein bestimmter FQH-Zustand

Der Punkt ist, dass die Anyons überhaupt keine elektronischen Zustände sind. Wie Sie zu Recht bemerkt haben, sind die Elektronen Fermionen, und es gibt nichts, was sie das vergessen lässt, aber sehr selten sind kondensierte Materiesysteme so einfach, dass Elektronen angemessene Freiheitsgrade haben, mit denen sie arbeiten können. Stattdessen sind die gebrochenen Quanten-Hall-Zustände, von denen vermutet wird, dass sie zu nicht-abelschen anonischen Freiheitsgraden führen, komplexe Vielteilchenzustände, und die Anonen sind eher emergente als fundamentale Freiheitsgrade, die aus dem kollektiven Verhalten der Elektronen entstehen. Ein transparenteres Beispiel für dieses Phänomen finden Sie unter Spinladungstrennung in elektronischen 1D-Systemen.

Die Dichotomie von bosonischem und fermionischem Verhalten ergibt sich im Wesentlichen aus der Natur der Rotationsgruppe in Dimensionen größer als 2+1.

Der Austausch von 2 Teilchen (der die Statistik bestimmt) führt zu derselben Phase, die Sie erhalten, wenn Sie ein Teilchen um 2pi drehen - das kommt wirklich vom Spin-Statistik-Theorem , das Ihnen sagt, dass Austausch (der die Statistik bestimmt) und Rotationen (die erzeugen Spin) sind in gewissem Sinne identisch. Wenn wir also verstehen können, wie sich Drehungen im 2D-Raum und im 3D-Raum unterscheiden, können wir auch qualitativ sehen, wie sich die Statistiken in 2D und 3D unterscheiden sollten.

Ich werde nicht auf die Details eingehen, aber Sie können in Sternbergs ausgezeichnetem Buch die topologischen Unterschiede zwischen den Rotationsgruppen SO(2) und SO(3) im 2D- bzw. 3D-Raum sehen, die zur Beschränkung der Phasenänderungen im 3D auf +1 führen oder -1, erzeugen aber keine solche Einschränkung im 2D-Raum.

Planare Systeme können also "anyonische" Statistiken erzeugen (die zwischen Fermionisch und Bosonisch interpolieren). Die Antwort auf Ihre Frage, wie Fermionen dieses Verhalten zeigen können, lautet (wie in einer anderen Antwort ausgeführt), dass die anyonischen Zustände kollektive Anregungen einer großen Anzahl von Fermionen sind.

Beispielsweise ordnen sich in einem planaren Quanten-Hall -System die Wellenfunktionen aller Elektronen im System neu an und überlappen sich und verschwören sich, um eine kollektive Gesamtwellenfunktion (am besten angenähert durch die Laughlin-Wellenfunktion ) für Quasiteilchen und Quasilöcher zu erzeugen. Diese Wellenfunktionen haben eine Form, die eine Aharanov-Bohm-Phase erzeugtÄnderung beim Vertauschen von zwei Quasiteilchen/Löchern (eines um das andere herum "halbmal"), die sich von +1 oder -1 unterscheidet. Dies sind also Systeme, deren Quasiteilchen-Anregungen (die kollektive "emergente" Anregungen der zugrunde liegenden fermionischen Elektronen sind) abelsche Anyon-Statistiken erzeugen. Ähnliche Quanten-Hall-Systeme mit entarteten Grundzuständen erzeugen nicht-abelsche anonische Statistiken, weil Sie nicht mehr nur eine Phase haben, sondern eine ganze Matrix von Phasen, die Ihren entarteten Unterraum transformieren, wenn er beim Austausch statistische Phasen aufnimmt.

Und ich nehme an, ähnliche Dinge passieren in anderen Systemen kondensierter Materie, wo irgendjemand erwartet wird, aber ich würde die Details nicht kennen.

Zusammenfassend: Sie benötigen 1) ein planares (2D) System, um die topologischen Feinheiten der SO(2)-Rotationsgruppe auszunutzen, 2) eine große Anzahl von Fermionen, die sich verschwören, um kollektive/emergente anonische Wellenfunktionen zu haben, wie in QHall-Systemen 3) und ein entarteter Grundzustand, wenn Sie nicht-abelsche und nicht nur abelsche Statistiken wollen