Gibt es neben der Suche nach Chern-Zahlen eine Methode zur Differenzierung von gebrochenen Quanten-Hall-Zuständen?

In Ihrem Titel fragen Sie nach gebrochenem QHE , aber die Beschreibung der Chern-Zahl gilt meines Wissens für ganzzahliges QHE . Ich weiß nicht viel über FQHE, aber lassen Sie mich etwas über IQHE sagen, das ich etwas besser verstehe.

Die berühmte Veröffentlichung von TKNN stellte fest, dass die Hall-Leitfähigkeit bei ganzzahliger Füllung proportional zu einer topologischen Invariante ist, die mit der Bandstruktur zweidimensionaler Hamilton-Operatoren verbunden ist. Diese topologische Invariante, die Chern-Zahl, ist eine ganze Zahl, die uns sagt, wie sich die Bandstruktur über der Brillouin-Zone "verdreht" (dies ist der "Torus" in Ihrer Frage) (formeller klassifiziert die Chern-Zahl das damit verbundene komplexe Vektorbündel). die Band Hamiltonian). Denken Sie vorerst daran, dass dies eine Eigenschaft der Bandstruktur ist, die sich aus einer Beschreibung ergibt, bei der Elektron-Elektron-Wechselwirkungen vernachlässigt werden, dh wir haben es nicht mit einem "stark korrelierten System" zu tun.

Nebenbemerkung: In Anbetracht einer Art von$Z_2$Eine äquivariante (grob zeitumkehrinvariante) Version dieser topologischen Invariante führte zu dem derzeit äußerst heißen Thema der topologischen 3D-Isolatoren , das (unter anderem) von Fu und Kane initiiert wurde .

Das fraktionale QHE lässt keine Einzelteilchenbeschreibung zu – das heißt, Sie können die Eigenschaften nicht aus der Bandtheorie verstehen, wie bei IQHE – es ist eine Phase des Elektronenverhaltens, die aus Wechselwirkungen resultiert . Daher glaube ich nicht, dass sich die Beschreibung der Chern-Nummer leicht übertragen lässt.

Der FQHE gibt eine Beschreibung von Chern-Simons Landau-Ginzburg zu , über die ich in dieser Rezension von Shou-Cheng Zhang aus dem Jahr 1992 ein wenig gelesen habe . Der Chern-Simons-Begriff in dieser Feldtheorie sollte nicht mit Chern-Zahlen verwechselt werden! (Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das in der Frage tun, aber ich möchte das klarstellen.) Die Begriffe sind mathematisch verwandt, aber ich glaube, die Physik hier ist unterschiedlich.

Wenn Sie nur nach IQHE gefragt haben, schließt die Erkenntnis von TKNN, dass die IQHE-Zustände durch eine topologische Invariante klassifiziert werden, wahrscheinlich andere unabhängige Beschreibungen aus. Ich könnte hinsichtlich Ihrer Absicht verwirrt sein, aber es scheint unwahrscheinlich, dass es eine nützliche Beschreibung der IQHE-Zustände geben könnte, die keine Topologie verwendet (topologische Invariante = stabil gegenüber Störungen, was schließlich zu den erstaunlichen Plateaus führt) und Die topologische Situation ist zu diesem Zeitpunkt wirklich ziemlich gut verstanden.

Bitte lassen Sie mich wissen, wenn etwas unklar ist oder wenn ich etwas Falsches gesagt habe. Auch ich bin in diesem Bereich nur ein Lernender.

Ich komme vielleicht zurück und füge etwas über FQHE hinzu, wenn ich jemals dazu komme, es besser zu verstehen.

Grundzustände von zweidimensionalen Lückensystemen gehorchen typischerweise einem Verschränkungsflächengesetz, nämlich wenn man die Entropie berechnet$S_A = -\mathrm{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A)$des reduzierten Dichteoperators$\rho_A$auf einem Subsystem$A$, wo$A$ist fern von Systemgrenzen, hat eine glatte Grenze, ist einfach zusammenhängend und somit kontrahierbar

$$S_A = c |\partial A| - \gamma + \dots$$ wo $|\partial A|$bezeichnet die Anzahl der Subsysteme an der Grenze der Region $A$, und $c$ist eine Proportionalitätskonstante. Hier können die Bedingungen „weit“ und „glatt“ als relativ zur natürlichen Längenskala des Problems betrachtet werden, die die Korrelationslänge oder ungefähr die Umkehrung der spektralen Lücke des Hamilton-Operators ist.

Die führende Ordnungskorrektur für dieses Skalierungsverhalten,$\gamma$, ist ein topologischer Begriff, der die (logarithmische) Anzahl von Superselektionssektoren der effektiven Niedrigenergie-TQFT zählt. (Genauer gesagt, das Log der gesamten Quantendimension.) Es ist ein universeller Begriff, soweit irgendjemand weiß. Verschiedene Theorien mit unterschiedlichen Werten von$\gamma$nicht durch lokale Transformationen aufeinander abgebildet werden können, so dass dies eine geeignete Grundlage für eine Klassifikation topologischer Zustände ist.