Störergebnisse Kitaev-Modell mit Magnetfeld

Ja, das genaue Ergebnis findet sich in Gl. (30) unseres Artikels arXiv:1109.4155 :

$$\kappa = \frac{h_xh_yh_z}{8 u_0^2 J^2},$$

Wo$u_0$ist ein numerischer Faktor, der durch numerisches Lösen der mittleren Feldgleichung erhalten wird. Kitaev erwähnte das in seinem Artikel$\Delta E = |u_0J|\approx 0.27|J|$(dh$u_0\approx -0.27$), und wir liefern ein genaueres Ergebnis$u_0\approx −0.262433$in Gl. (27) unserer Arbeit. Der explizite Störungspfad ist in Abb. 5(a) unseres Artikels dargestellt (der eine Störung 3. Ordnung ist, nicht eine 2. Ordnung, wie in Kitaevs Artikel betont).

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Lassen Sie mich die Herleitung im Folgenden kurz skizzieren. Wir gehen von einem isotropen Kitaev-Wabenmodell mit einem störenden Zeeman-Feld ($|\boldsymbol{h}|\ll J$),

$$H=-J\sum_{\langle ij\rangle}S_i^{a}S_j^{a}-\sum_{i}\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol{S}_i,$$

Wo$a=1,2,3$abhängig vom Typ ($x,y,z$) des Links$\langle ij\rangle$. Führen Sie vier Majorana-Spinons ein$\chi_i^\alpha$($\alpha=0,1,2,3$) auf jeder Website$i$, definiert durch die Antikommutierungsrelation$\{\chi_i^\alpha, \chi_{j}^{\beta}\}=\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}$(Beachten Sie hier die ungewöhnliche Normalisierung des Majorana-Operators). Unter der Spurbegrenzung (Einschränkung vor Ort)$\chi_{i}^0\chi_{i}^1\chi_{i}^2\chi_{i}^3=1/4$, der Spin-Operator$\boldsymbol{S}_i$kann in Bezug auf die Spinon-Bilinearform geschrieben werden als

$$\boldsymbol{S}_i=\frac{i}{2}\Big(\chi_i^0\boldsymbol{\chi}_i-\frac{1}{2}\boldsymbol{\chi}_i\times\boldsymbol{\chi}_i\Big),$$

wo der Vektor$\boldsymbol{\chi}_i=(\chi_i^1,\chi_i^2,\chi_i^3)$besteht aus den letzten drei Komponenten des Majorana-Fermions. Wir können sehen, dass die$\chi^0$($c$-fermion) unterscheidet sich von$\chi^{1,2,3}$($b$-Fermion) in diesem Fraktionierungsschema. Dieser Unterschied spiegelt sich auch im Mittelfeld-Hamiltonoperator wider$H_\text{MF}$. An der ungestörten Grenze$\boldsymbol{h}=0$,$H_\text{MF}$kann durch Ersetzen des Ausdrucks für erhalten werden$\boldsymbol{S}_i$zum Spin-Hamilton-Operator und nehmen Sie die von Kitaev beschriebene Mean-Field-Zerlegung:

$$H_\text{MF}=J\sum_{\langle ij\rangle}\big(\text{i}u_a \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}u_0\chi_i^a\chi_j^a\big),$$

wo der Bindungsparameter$u_\alpha=\langle\text{i}\chi_{i}^\alpha\chi_{j}^\alpha\rangle$(für$\alpha=0,1,2,3$) wird selbstkonsistent aus der Majorana-Fermion-Korrelation auf dem Mean-Field-Grundzustand bestimmt (Anm$a=1,2,3$wird durch den Linktyp festgelegt, kein Dummy-Index, über den summiert wird). Es wird festgestellt, dass die Mean-Field-Lösung lautet$u_a=1/2$Und

$$u_0=-\frac{1}{3N}\sum_{\boldsymbol{k}\in\text{BZ}}\big|e^{\text{i}k_y}+2e^{-\text{i}k_y/2}\cos(\sqrt{3}k_x/2)\big|\approx -0.262433,$$ Wo $N$ist die Anzahl der Stellen (wir können die Summation numerisch auf einem endlichen Gitter auswerten und dann die thermodynamische Grenze nehmen $N\to\infty$). Die Bandstruktur des Spinons kann durch Diagonalisieren des Mean-Field-Hamilton-Operators erhalten werden, wie unten gezeigt:

Das kann man sehen$\chi^0$Fermion ist wandernd und hat ein lückenloses Spektrum. Aber die$\boldsymbol{\chi}=(\chi^1,\chi^2,\chi^3)$Fermionen sind auf der entsprechenden Art von Verbindungen dimerisiert und weisen daher Lücken auf (wie das flache Band). Die Energielücke für$\boldsymbol{\chi}$Fermionen ist$\Delta E=|u_0J|$.

Wenn wir uns nur für die Niederenergiephysik interessieren, können wir die Hochenergie vernachlässigen$\boldsymbol{\chi}$Fermionen. Sobald jedoch das Zeeman-Feld in das System eingeführt wird, wird das Mischen zwischen den Niederenergien eingeschaltet$\chi^0$und hochenergetisch$\boldsymbol{\chi}$Fermionen (und auch das Mischen zwischen den Komponenten von$\boldsymbol{\chi}$). Damit wird ein unten dargestellter Störpfad möglich:

was zu einer Zweitnächst-Nachbar-Kopplung zwischen den Niederenergie führt$\chi^0$Fermion,

$$H_{\text{MF},0}=\text{i}u_a J\sum_{\langle ij\rangle} \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}\kappa\sum_{\langle\!\langle ij\rangle\!\rangle}\chi_i^0\chi_j^0,$$

mit dem Koeffizienten$\kappa$gegeben durch die Störung 3. Ordnung (siehe diese Wikipedia-Seite für die Störungsformel 3. Ordnung)

$$\kappa=\Big(\frac{h_x}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_z}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_y}{2}\Big)=\frac{h_xh_yh_z}{8u_0^2J^2}.$$

Der zweite Nachbarkopplungsterm$\kappa$bricht die Zeitumkehrsymmetrie und blendet das niederenergetische Fermion aus$\chi^0$. Die lückenlose Kitaev-Spinflüssigkeit wird dann mit der topologischen Ising-Ordnung in die nicht-Abelsche Phase getrieben.