Topologische Ladung. Was ist es körperlich?

Lokale Quasiteilchenanregungen und topologische Quasiteilchenanregungen

Um beliebige Quasiteilchen in topologisch geordneten Zuständen wie FQH-Zuständen zu verstehen und zu klassifizieren, ist es wichtig, die Begriffe lokaler Quasiteilchenanregungen und topologischer Quasiteilchenanregungen zu verstehen. Lassen Sie uns zunächst den Begriff der „teilchenartigen“ Anregung definieren.

Betrachten wir ein System mit Translationssymmetrie. Der Grundzustand hat eine einheitliche Energiedichte. Wenn wir einen Zustand mit Anregung haben, können wir die Energieverteilung des Zustands über den Raum beobachten. Wenn für einen lokalen Bereich die Energiedichte höher ist als der Grundzustand, während für den Restbereich die Energiedichte gleich dem Grundzustand ist, kann man sagen, dass hier eine "teilchenartige" Anregung oder ein Quasiteilchen vorliegt Bereich. So definierte Quasiteilchen können weiter in zwei Typen unterteilt werden. Der erste Typ kann durch lokale Operatoren erzeugt oder vernichtet werden, wie z. B. ein Spin-Flip. Daher sind sie gegenüber Störungen nicht robust. Der zweite Typ sind robuste Zustände. Die höhere lokale Energiedichte kann von niemandem erzeugt oder entfernt werdenlokale Betreiber in diesem Bereich. Wir bezeichnen die erste Art von Quasiteilchen als lokale Quasiteilchen und die zweite Art von Quasiteilchen als topologische Quasiteilchen.

Betrachten Sie als einfaches Beispiel das 1D-Ising-Modell mit offener Randbedingung. Es gibt zwei Grundzustände, Spins ganz oben oder ganz unten. Das einfache Umklappen eines Spins des Grundzustands führt zum zweiten angeregten Zustand und erzeugt ein lokales Quasiteilchen. Andererseits die ersteDer angeregte Zustand sieht aus wie eine Domänenwand. Zum Beispiel sind die Spins auf der linken Seite alle oben, während die auf der rechten Seite alle unten sind, und die Domänenwand zwischen der Aufwärtsdomäne und der Abwärtsdomäne ist ein topologisches Quasiteilchen. Das Umdrehen der Spins neben der Domänenwand bewegt das Quasiteilchen, kann es aber nicht entfernen. Solche Quasiteilchen werden durch die Randbedingung geschützt. Solange die beiden Randspins entgegengesetzt sind, gibt es mindestens eine Domänenwand oder ein topologisches Quasiteilchen im Volumen. Darüber hinaus kann ein Spin-Flip als zwei Domänenwände angesehen werden.

Von den Begriffen lokaler Quasiteilchen und topologischer Quasiteilchen können wir auch einen Begriff topologische Quasiteilchentypen (dh topologische Ladungen ) oder einfach Quasiteilchentypen einführen. Wir sagen, dass lokale Quasiteilchen vom trivialen Typ sind, während topologische Quasiteilchen vom nicht-trivialen Typ sind. Auch zwei topologische Quasiteilchen sind genau dann vom gleichen Typ, wenn sie sich durch lokale Quasiteilchen unterscheiden. Mit anderen Worten, wir können ein topologisches Quasiteilchen in das andere verwandeln, indem wir einige lokale Operatoren anwenden. Die Gesamtzahl der topologischen Quasiteilchentypen (einschließlich des trivialen Typs) ist ebenfalls eine topologische Eigenschaft. Es stellt sich heraus, dass diese topologische Eigenschaft in direktem Zusammenhang mit einer anderen topologischen Eigenschaft für topologische 2+1D-Zustände steht:Die Anzahl der topologischen Quasiteilchentypen gleich der Grundzustandsentartung auf Torus . Dies ist eine von vielen erstaunlichen und tiefen Beziehungen in topologischer Ordnung.

Siehe auch Warum sind gebrochene Statistiken und nicht-Abelian für gebrochene Gebühren üblich? , Ein physikalisches Verständnis der Fraktionierung , und was ist der Unterschied zwischen Ladungsfraktionierung in 1D und 2D?

Die Unterscheidung zwischen „gewöhnlichen“ und topologischen Ladungen kommt daher, dass die Erhaltung der gewöhnlichen Ladungen eine Folge des Satzes von Noether ist , dh wenn das betrachtete System eine Symmetrie besitzt, dann ist nach dem Satz von Noether die entsprechende Ladung konserviert.

Topologische Ladungen hingegen entsprechen keiner Symmetrie des gegebenen Systemmodells und stammen aus einem Vorgang, der als topologische Quantisierung bezeichnet werden kann. Bitte sehen Sie sich die wegweisende Arbeit von Orlando Alvarez an, in der einige Aspekte dieses Themas erklärt werden. Diese topologischen Ladungen entsprechen topologischen Invarianten von Mannigfaltigkeiten, die sich auf das physikalische Problem beziehen.

Eines der grundlegendsten Beispiele ist die Quantisierungsbedingung von Dirac , die die Quantisierung der magnetischen Ladung in Einheiten des Kehrwerts der elektrischen Ladung impliziert. Diese Bedingung hängt mit der Quantisierung der ersten Chern-Klasse des Quantenlinienbündels zusammen. Es ist auch möglich, die Quantisierungsbedingung aus der Eindeutigkeitsanforderung des Pfadintegrals zu erhalten. Die Existenz der topologischen Invarianten hängt mit einer nichttrivialen Topologie der betrachteten Mannigfaltigkeit zusammen, zum Beispiel nichtverschwindende Homotopiegruppen, siehe die folgende Übersicht von VP Nair.

Natürlich können topologische Ladungen auch nicht-abelsch sein; Ein grundlegendes Beispiel für dieses Phänomen ist der 't Hooft-Polyakov-Monopol, bei dem diese Lösungen nicht-Abelsche Ladungen haben, die Gewichtsvektoren des Duals der ununterbrochenen Eichgruppe entsprechen. Bitte beachten Sie die folgende Rezension von Goddard und Olive.

Es sollte betont werden, dass die Unterscheidung zwischen gewöhnlichen Ladungen und topologischen Ladungen modellabhängig ist und "gewöhnliche" Ladungen in einem Modell eines Systems als topologische Ladungen in einem anderen Modell desselben Systems auftauchen. Beispielsweise kann die elektrische Ladung eines Teilchens als topologische Ladung in einer Kaluza-Klein-Beschreibung erhalten werden. Siehe Abschnitt 7.6 hier in Marsden und Ratiu.

Topologische Ladungen entsprechen manchmal ganzzahligen Parametern des Modells, beispielsweise konnte Witten die Quantisierung der Anzahl von Farben aus der (semiklassischen) topologischen Quantisierung des Koeffizienten des Wess-Zumino-Terms des Skyrme-Modells erhalten.

Ein einfaches Beispiel, bei dem Quantenzahlen als topologische Ladungen erhalten werden können, ist der isotrope harmonische Oszillator. Wenn wir einen isotropen harmonischen Oszillator in zwei Dimensionen betrachten, dann sind seine Energiehyperflächen$3$-Kugeln, die als Kreisbündel über a angesehen werden können$2$-Sphäre durch die Hopf-Faserung. Das$2$-Sphären sind die reduzierten Phasenräume der (Energiehyperflächen) des zweidimensionalen Oszillators. In der Quantentheorie müssen die Flächen dieser Kugeln quantisiert werden, um ein Quantenlinienbündel zuzulassen. Diese Quantisierungsbedingung ist äquivalent zur Quantisierung der Energie des harmonischen Oszillators.

Tatsächlich bieten diese alternativen Darstellungen physikalischer Systeme, bei denen gewöhnliche Ladungen als topologische Ladungen auftreten, mögliche Erklärungen für die Quantisierung dieser Ladungen in der Natur (z. B. das Kaluza-Klein-Modell für die elektrische Ladung).

Eine aktuelle Forschungsrichtung entlang dieser Linien besteht darin, topologische "Erklärungen" für Teilladungen zu finden. Eines der bekannten Beispiele dafür ist die Erweiterung der fraktionalen Hyperladung der Quarks (in Einheiten von$\frac{1}{3}$), was aus der Anforderung der Anomalie-Aufhebung (die topologisch ist) des Standardmodells erklärt werden kann, wo der Beitrag der Quarks multipliziert werden muss$3$(wegen der drei Farben). Zusätzlich zu Anomalien ist bekannt, dass das Vorhandensein von Feldern unterschiedlicher irreduzibler Darstellungen im selben Modell und separat verknotete Konfigurationen zu Teilladungen führen können.