Was ist Parafermion in der Physik der kondensierten Materie?

Dies ist eine sehr allgemeine Frage, ich denke, ich könnte einige Einblicke geben, aber sie muss sicherlich von jemandem mit diesem spezifischen Fachwissen ausgearbeitet werden.

1. Das$\mathbb{Z}_k$para-Fermionen treten in mehreren Modellen der statistischen Mechanik auf. Sie sind sowohl interessant als auch subtil, weil ihre Austauschstatistiken von ihren Positionen (in einer Dimension) abhängen. Es ist am intuitivsten, sie als Erregungen zu verstehen, die von a herrühren$\mathbb{Z}_k$Modell der Quantenuhr. In dem$\mathbb{Z}_k$Uhrmodell haben wir lokale Betreiber an jedem Standort,$\sigma$und$\tau$die gehorchen$\sigma^k =\tau ^k = 1$und$\sigma \tau = \omega \tau \sigma$mit$\omega = e^{2 \pi i /k}$. Aus diesen Operatoren können wir einen Hamiltonoperator definieren,

   $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n (-J\sigma_n^{\dagger} \sigma_{n+1}+h.c.) -h(\tau_n +\tau_n^\dagger) \end{equation}$$ Dieses nimmt dann die bekannte Form eines 1D-Transversalfeld-Ising-Modells (k=2) an. Das Transversalfeld-Ising-Modell ermöglicht eine Jordan-Wigner-Transformation, die es zu freien Fermionen führt. Die Verallgemeinerung dieser Transformation führt das Uhrenmodell zu einem von (nicht freien) Parafermionen (ich werde darauf näher eingehen). Die Transformation ist: $$\begin{eqnarray} \alpha_j &=& \sigma_j \prod_{i<j} \tau_i \\ \beta_j &=& \sigma_j \tau_j \prod_{i<j} \tau_i. \end{eqnarray}$$ Mit diesen Transformationen können wir verifizieren, dass der Hamilton-Operator in Bezug auf die Parafermion-Operatoren die Form annimmt: $$\begin{equation} H_{clock} = \sum_n -J\omega\alpha_{n+1}^\dagger \beta_n - h\omega \beta_n^{\dagger} \alpha_n +h.c. \end{equation}$$ Wobei die Parafermionen die Vertauschungsbeziehungen erfüllen$\alpha_j \alpha_{j^{\prime}} = \omega^{sgn(j^\prime - j)} \alpha_{j^{\prime}} \alpha_j$und ähnlich für die anderen. Daher die ortsabhängigen Kommutierungsrelationen. Die Einleitung zu http://arxiv.org/abs/1209.0472 bietet weitere Details in sehr lesbarer Weise.

2. Wie vergleichen sich diese Parafermionen mit Majorana-Modi in der Physik der kondensierten Materie? Nun, es ist klar, dass sie eine direkte Verallgemeinerung der Majorana-Operatoren sind, die aus der Jordan-Wigner-Transformation (oder hier dem Fall k = 2) gefunden wurden. Aber sie sind völlig unterschiedliche Bestien, wenn es um Nullmodi geht. Dies ist am einfachsten zu sehen, wenn man versucht, nach dem Theorienspektrum zu lösen. Zum$k=2$Wir haben Majoranas, wir können das Spektrum berechnen, indem wir nach Leiteroperatoren lösen, die zufriedenstellend sind$[H,\gamma_k] = E_k \gamma_k$. Dies ist eine relativ einfache Übung und führt zu Lösungen für ebene Wellen mit einem Spektrum, das wie folgt aussieht$E_k = \pm2\sqrt{h^2(\cos{k}-1)^2 + J^2\sin^2{k}}$( Dies sollte überprüft werden ). Wenn man die gleiche Methodik mit den Parafermionen versucht, wird ziemlich klar, dass das Pendeln von etwas Linearem in Parafermionen zu Bilinearen in Parafermionen führt. Das signalisiert uns, dass unsere Theorie nicht mehr frei ist. Das ist meiner Meinung nach der größte Unterschied.

3. In welcher Beziehung stehen sie zu Ising Anyons und Fibonacci Anyons? Ising Anyons sind eng mit Majorana-Null-Modi verwandt - sie erfüllen die gleichen nicht-abelschen Statistiken bis hin zu einem Gesamtwert$U(1)$Phase. Ich kenne einen Zusammenhang, den jemand anders vielleicht näher erläutern könnte. Es ist bekannt, dass diese Modelle alle selbstdual sind und einen kritischen Punkt haben$h = J$und hier betrachten wir$h$und$J$real. Diese kritischen Punkte werden durch parafermionkonforme Feldtheorien (CFT) im thermodynamischen Limit beschrieben. Die CFT, die die k = 3-Theorie regelt, hat ein Feld, dessen Operatorprodukt die Fibonacci-Fusionsregeln erfüllt.

4. In zwei Dimensionen können komische Dinge passieren, wenn wir Teilchen austauschen. Eher als das$\pm$Zeichen, das bosonische Teilchen von fermionischen Teilchen in 3 oder mehr Dimensionen unterscheidet in zweidimensionalen Teilchen können eine willkürliche Phase annehmen$e^{i \theta}$. Dies wäre charakteristisch für einen abelschen Anyon. Ein Nicht-Abelianer kann auch eine solche Phase aufgreifen, aber noch seltsamer als nur eine Gesamtphase - sein gesamter (entarteter) Grundzustand kann einer einheitlichen Transformation unterzogen werden. Eine hervorragende Übersicht zu diesem Thema finden Sie hier: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.80.1083 .