Äquivalenzklassen von Abbildungen von T2T2T^{2} auf einen beliebigen Raum XXX

Ich las den Aufsatz „Homotopy and quantization in condensed matter physical“ von JE Avron et al. ( http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.51.51 ). Dort haben sie die Zuordnungen aus klassifiziert$T^{2}$zu einem beliebigen Raum$X$. Ihr Argument lautet wie folgt: „Denken Sie an zwei Karten von$T^{2}$in einen beliebigen Raum X. Wenn wir die beiden Grundschleifen einbeziehen$T^{2}$, erhalten wir von jeder Abbildung zwei Elemente von$\pi_{1}(X)$und die beiden Abbildungen können nicht homotop sein, es sei denn, das entsprechende Paar von Elementen von$\pi_{1}(X)$sind gleich. Auch wenn sie gleich sind, gibt es eindeutig eine übrig gebliebene Karte von$S^{2}$in X." Auf diese Weise kann man Karten aus klassifizieren$T^{2}$in X durch zwei Elemente von$\pi_{1}(X)$, und ein Element von$\pi_{2}(X)$.

Jetzt verstehe ich, wie die beiden Elemente von$\pi_{1}(X)$zustande kommen. Aber ich verstehe nicht, wie die Elemente von$\pi_{2}(X)$ins Bild kommen. Mit anderen Worten, was ist mit der "Restkarte von$S^{2}$in X" ?