Warum gibt es beim Quanten-Hall-Effekt chirale Randzustände?

Die populärste Erklärung für die Existenz chiraler Randzustände ist wahrscheinlich die folgende: In einem Magnetfeld bewegen sich Elektronen auf Zyklotronbahnen, und solche Zyklotronbahnen sorgen dafür, dass sich Elektronen am Rand in eine einzige Richtung bewegen. Deshalb ist der Randzustand chiral.

Ich finde dieses Bild zu klassisch. Kann mir jemand andere Erklärungen für dieses Phänomen geben? Hat es eine Beziehung zu Zeitumkehr-Symmetriebrüchen, Chern-Zahlen oder einem anderen topologischen Phänomen?

Antworten (3)

Hier ist eine reine Quantenerklärung.

Ein geladenes Quantenteilchen in einem Magnetfeld unterliegt der Landau-Quantisierung . Nehmen Sie das Magnetfeld in der z Richtung können wir die Landau-Eichung für das Vektorpotential wählen:

EIN = B x j ^     ⇒     B = B z ^ .
Der Hamiltonoperator in den Koordinaten x j , wobei (vorerst) die Kanten des Samples ignoriert werden:

H = 1 2 m ( p − e EIN c ) 2 = 1 2 m [ p x 2 + ( p j − m ω c x ) 2 ] ,

wo ω c = e B / m c ist die Zyklotronfrequenz.
Nach Trennung der Variablen erhalten wir die Wellenfunktionen:

ψ ( x , j ) = f n ( x − k j / m ω c ) e ich k j j ,

wo f n sind die Eigenfunktionen des einfachen harmonischen Oszillators ( n = 0 , 1 , 2... ). Die Erwartungswerte von p j und x für diese Wellenfunktion sind ⟨ p j ⟩ = k j und ⟨ x ⟩ = k j / m ω c , und die Strömung entlang der j Richtung ist proportional zum verallgemeinerten Impuls in dieser Richtung:

⟨ ich j ⟩ = − e m ⟨ p j − m ω c x ⟩ = − e m ( k j − m ω c k j m ω c ) = 0.

Wie erwartet erhalten wir im Großteil der Probe keinen Strom.
Stellen wir uns nun vor, wir befinden uns in der Nähe des Randes der Probe auf der negativen Seite der x Achse. Dies bedeutet, dass das Partikel ein einschränkendes Potential spürt U ( x ) das sieht ungefähr so ​​aus: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein
Dieses Potential verformt die Wellenfunktion f n zu einer Wellenfunktion, die mehr Gewicht in positiver Richtung hat x als vorher, und dann werden wir bekommen ⟨ x ⟩ > k j / m ω c , führt zu:

⟨ ich j ⟩ > 0 ,
dh Flankenstrom im Plus j Richtung. Beachten Sie, dass dies dieselbe Richtung ist, die klassisch vorhergesagt wurde.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Das ist ein ziemlich guter Standpunkt.
Ich weiß, dass der Quantenspin-Hall-Effekt und der topologische supraleitende Zustand auch einen chiralen Zustand haben. Ist der chirale Zustand ein Ergebnis der topologischen Eigenschaft der Masse?
Wenn Sie ein System in einer nicht trivialen topologischen Phase haben (z. B. einen topologischen Supraleiter), dann hat es im Allgemeinen Kantenzustände. Dies liegt daran, dass der Großteil des Systems mit Lücken versehen ist und die Außenseite mit Lücken versehen ist (sagen wir, außerhalb der Probe gibt es nur Vakuum), aber die Lücke in der Probe ist umgekehrt . Wenn man bedenkt, wie sich das Spektrum zwischen der Probe und außen verändert, muss sich die Lücke wegen der Inversion am Rand schließen – und das bedeutet, es gibt einen Zustand am Rand. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie anhand dieser Überlegung feststellen können, ob dieser Randzustand chiral ist oder nicht.
Vielen Dank. Ja, ich weiß, dass das Schließen der Lücke zu einem Quantenphasenübergang führt, der die topologische Invariante ändert; und das ist der Grund, warum Oberflächenzustände immer lückenlos sind.
Es gibt auch ein physikalisches Bild der Bandinversion, um den topologischen nichttrivialen Zustand zu veranschaulichen. Zum Beispiel der erste von Shucheng Zhang vorgeschlagene topologische Isolator in Quantentöpfen. Bezieht sich das „Umgekehrte“ in Ihrer Antwort auf die Umkehrung von Valenz- und Leitungsbändern?
Ja, das ist die Umkehrung, von der ich gesprochen habe.
Danke vielmals. Ein Rätsel habe ich noch im Kopf. Ich möchte verstehen, wie die Bandinversion die topologische Invariante verändern kann. Wie ändert es zum Beispiel die Z_2-Invariante? Danke.
Nun, das ist ein Thema für eine ganz neue Frage, aber kurz gesagt: Die Invariante wird durch die Lücke davor geschützt, geändert zu werden. Während der Bandinversion schließt sich die Lücke, und die Invariante verliert vorübergehend ihren Schutz und kann geändert werden.

Eine kurze Antwort: Warum nicht?

HQ-Zustände haben keine Zeitumkehrsymmetrie. Die sich nach rechts bewegenden Erregungen und sich nach links bewegenden Erregungen können sich also unterschiedlich verhalten – also chiral. Die Randzustände der meisten FQH-Zustände sind sehr chiral, in dem Sinne, dass sogar die Anzahl der sich nach links bewegenden Moden und der sich nach rechts bewegenden Moden unterschiedlich ist.

Topologischer Isolator und topologischer Supraleiter haben Zeitumkehrsymmetrie und ihre Kanten sind genau genommen nicht-chiral, so dass die Rechtsbeweger und die Linksbeweger genau die gleiche Geschwindigkeit haben. Sicherlich sind die Anzahlen der Bewegungsmodi nach links und der Bewegungsmodi nach rechts gleich.

Nur eine kurze Frage! Was entscheidet über die Anzahl der Kantenzustände, die sich entweder nach links oder nach rechts bewegen?

Auf grundlegender Ebene beschreibt die Quantenhallenphysik nicht-kommutative, interagierende, leitende Zentren, die der nicht-kommutativen Algebra genügen

[ R ich a , R j b ] = − ich δ ich j ϵ a b l B 2 wo l B ist die magnetische Länge, ich , j markiert Partikel, a , b beschriftet 2D-Richtung.

Diese fundamentale Algebra ist ungerade Zeitumkehr.

Warum gibt es beim Quanten-Hall-Effekt chirale Randzustände?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v