Quanten-Hall-Effekt für Dummies

In den letzten Tagen hat mich das QHE zunehmend fasziniert, vor allem dank der sehr interessanten Fragen und Antworten, die hier aufgetaucht sind. Leider bin ich noch sehr verwirrt von all dem (scheinbar unvereinbaren) Zeug, das ich gelernt habe.

Zuerst sind hier einige zufällige Punkte, die ich sammeln konnte

  1. I(Integer)QHE tritt aufgrund des Vorhandenseins von Landau-Niveaus auf
  2. IQHE ist eine Verkörperung der topologischen Ordnung, und die Zustände sind durch die Chern-Zahl gekennzeichnet, die uns über topologisch inäquivalente Hamilton-Operatoren informiert, die auf der Brillouin-Zone definiert sind
  3. IQHE erfordert vernachlässigbare Elektron-Elektron-Wechselwirkungen und ist daher vom Vorhandensein von Verunreinigungen abhängig, die die Coulomb-Kraft abschirmen
  4. F(rational)QHE tritt aufgrund der Bildung von Anyonen auf. In diesem Fall kann die Coulomb-Wechselwirkung nicht vernachlässigt werden, aber es stellt sich heraus, dass eine effektive Beschreibung ohne Wechselwirkung entsteht, bei der Teilchen Parastatistiken gehorchen und eine Bruchladung haben
  5. FQHE hat wieder etwas mit Topologie, TQFT, Chern-Simons-Theorie, Flechtgruppen und vielem mehr zu tun
  6. FQHE hat etwas mit Hierarchiezuständen zu tun

Also, hier sind die Fragen

  • Am wichtigsten, machen diese Punkte Sinn? Bitte korrigieren Sie alle Fehler, die ich gemacht habe, und/oder ergänzen Sie andere wichtige Beobachtungen
  • Wie kommen die Erklärungen 1. und 2. von IQHE zusammen? Die Landau-Quantisierung spricht nur über Elektronenzustände, während das topologische Bild sie überhaupt nicht erwähnt (sie sollten durch globale topologische Zustände ersetzt werden, die bezüglich Störungen stabil sind).
  • Wie hängen die Erklärungen 4., 5. und 6. zusammen?
  • Gibt es zugängliche einführende Literatur zu diesen Themen?
  • Haben IQHE und FQHE (außer den letzten drei Buchstaben) etwas gemeinsam, so dass zB IQHE als Sonderfall behandelt werden kann? Mein Verständnis (basierend auf 3.) ist, dass dies nicht der Fall ist, aber einige Punkte deuten in die entgegengesetzte Richtung. Das ist auch der Grund, warum ich in einer einzigen Frage nach beiden QHE frage
Kaufen Sie eine Kopie von Jains "Composite Fermions" und schließen Sie sich in einem komfortablen Raum mit vielen Snacks ein. Du wirst erleuchtet daraus hervorgehen.
Während ich Jains Werke respektiere, lohnt es sich, darauf hinzuweisen, dass seine Bücher offensichtlich eine voreingenommene Sichtweise des Problems darstellen und nicht unbedingt einen Konsens der Gemeinschaft widerspiegeln! Trotzdem ist das Bild der zusammengesetzten Fermionen schön in seiner Intuitivität und hilft, ein mentales Bild aufzubauen. Übrigens ist es erwähnenswert, dass einige der neueren Literatur über topologische Isolatoren tatsächlich einige der saubersten Darstellungen des IQHE enthalten.
@genneth Ich denke, Sie beziehen sich vielleicht auf eine Kontroverse über die Theorie der "zusammengesetzten Fermionen". Dr. Jain spricht dieses Thema in seinem Buch tatsächlich an. Trotz Jains offensichtlicher Tendenz, seine eigene Perspektive zu fördern, denke ich, dass dieses Buch die beste Einführung in die Physik des Quanten-Hall-Effekts bleibt.

Antworten (4)

Oh Junge, schwer zu wissen, wo ich anfangen soll. Lassen Sie mich beginnen und sehen, wo mir die Puste ausgeht. Ich werde mich an die Reihenfolge halten, in der Sie Ihre Fragen geschrieben und Kommentare abgegeben haben:

  1. Wenn Sie Elektronen in einem Magnetfeld quantisieren, erhalten Sie Landau-Niveaus: diskrete Energieniveaus, die stark entartet sind. Sie können sich jeden von ihnen als ein Elektron vorstellen, das sich in einem Kreis bewegt, dessen Radius quantisiert ist (bestimmt durch das Landau-Niveau) und dessen Zentrum irgendwo sein kann (was zur Entartung führt). Im Gegensatz zu einigen Diskussionen, die Sie manchmal hören, führt dies allein NICHT zu einer quantisierten Hall-Leitfähigkeit.

  2. Für das ganzzahlige QHE ist der nächste entscheidende Schritt das Vorhandensein eines zufälligen Potentials, das durch Verunreinigungen bereitgestellt wird. Dann kann man zeigen, dass jedes Landau-Niveau einen festen Wert zum Hall-Leitwert beiträgt, also der Leitwert die Anzahl der gefüllten Landau-Niveaus zählt. Die Tatsache, dass dies robust ist, hängt mit der Topologie, der Chern-Zahl und all dem guten Zeug zusammen.

  3. FQHE ist eine andere Geschichte, für die die Hall-Leitfähigkeit gebrochen sein kann. Das Einzige, was IQHE und FQHE gemeinsam haben, ist die letztendliche physikalische Wirkung, aber der Mechanismus ist sehr unterschiedlich. Für den fraktionierten Effekt benötigt man sehr reine Proben, da er durch starke Coulomb-Wechselwirkungen zwischen den entarteten Elektronen in den einzelnen Landau-Niveaus angetrieben wird. Dies ist ein von Natur aus schwieriges Problem, und tatsächlich wurde es nur durch eine Vermutung gelöst – die Laughlin-Wellenfunktion.

  4. Die EFT, die die niederenergetischen Erregungen beschreibt, ist mit der Chern-Simons-Theorie verwandt, und diese grundlegenden Erregungen gehorchen jeder beliebigen Statistik. Darüber hinaus denke ich, dass alle anderen von Ihnen erwähnten Effekte (z. B. Hierarchiezustände) als "Sonderthemen" bezeichnet werden könnten.

Schließlich bin ich nur ein bescheidener Hochenergietheoretiker, also warte ich auf Korrekturen und ein vollständigeres Bild von den Experten. Trotzdem hat es Spaß gemacht, das zu schreiben.

(Übrigens sind all dies bekannte Dinge, die in Lehrbüchern erscheinen, wenn auch nicht immer auf geordnete Weise. Eine gute Quelle: Mike Stone hat eine Sammlung von Artikeln zu diesem Thema herausgegeben, für die er eine Reihe von Einführungen bereitgestellt hat. Wenn Sie finden dieses Buch, diese Einführungen sind sehr gut.)

Danke vielmals! Ich werde mir dieses Intro ansehen und (hoffentlich) später etwas gezieltere Fragen stellen. Aber im Moment wusste ich einfach nicht, wo ich anfangen soll, da das Thema QHE ziemlich groß erscheint.
Diese Antwort ist sehr, sehr gut!

Hier einige Kommentare zu den Punkten:

1) I(Integer)QHE tritt aufgrund des Vorhandenseins von Landau-Niveaus auf

Ja

2) IQHE ist eine Verkörperung der topologischen Ordnung, und die Zustände sind durch die Chern-Zahl gekennzeichnet, die uns über topologisch inäquivalente Hamilton-Operatoren informiert, die auf der Brillouin-Zone definiert sind

IQHE ist ein Beispiel für topologische Ordnung, obwohl topologische Ordnung eingeführt wird, um hauptsächlich FQHE zu beschreiben. Die Charakterisierung von IQHE durch die Chern-Zahl des Energiebands funktioniert nur für nicht wechselwirkende Fermionen ohne Verunreinigungen, während IQHE sogar für wechselwirkende Fermionen existiert. IQHE ist also mehr als die Chern-Nummer des Energiebandes. Die Quasiteilchen-Anregungen in IQH-Zuständen sind immer Fermionen.

3) IQHE erfordert vernachlässigbare Elektron-Elektron-Wechselwirkungen und ist daher vom Vorhandensein von Verunreinigungen abhängig, die die Coulomb-Kraft abschirmen.

IQHE erfordert keine vernachlässigbaren Elektron-Elektron-Wechselwirkungen. IQHE existieren sogar im sauberen System mit Coulomb-Kraft, wenn man die Elektronendichte durch Tore steuert.

4) F(rational)QHE tritt aufgrund der Bildung von Anyonen auf. In diesem Fall kann die Coulomb-Wechselwirkung nicht vernachlässigt werden, aber es stellt sich heraus, dass eine effektive Beschreibung ohne Wechselwirkung entsteht, bei der Teilchen Parastatistiken gehorchen und eine Bruchladung haben

FQHE tritt nicht aufgrund der Bildung von Anyons auf. Fermionen tragen per Definition immer Fermi-Statistiken, und sie sind niemals irgendwelche. FQHE tritt aufgrund starker Wechselwirkungen auf. Die effektive Beschreibung ohne Wechselwirkung funktioniert nicht wirklich (z. B. kann sie die Randzustände und nicht-Abelschen Zustände nicht beschreiben).

5) FQHE hat wieder etwas mit Topologie, TQFT, Chern-Simons-Theorie, Flechtgruppen und vielem anderen Zeug zu tun

FQH-Zustände enthalten eine neue Art von Ordnung: topologische Ordnung . Die Niedrigenergie-Effektivtheorien von FQH-Zuständen sind TQFTs (wie z. B. Chern-Simons-Theorien). Die Quasiteilchen-Anregungen in FQH-Zuständen sind Anyonen.

6) Hierarchiezustände sind Beispiele für FQH-Zustände.

Das war zu lang, um in einen Kommentar zu passen, also muss es eine Antwort sein. Dies alles ergänzt die Antwort von @Moshe R., die ausgezeichnet ist.

Zunächst nur um Ihre Aussagen (zusätzlich zu Moshes) zu korrigieren: 3. Verunreinigungen schirmen nichts ab. Die Elektronen selbst liefern die Abschirmung, um eine unabhängige Elektronennäherung halb gerechtfertigt zu machen (dies ist das übliche Landau-Fermi-Flüssigkeitsargument). Verunreinigungen bieten jedoch das grundlegende Streupotential, um eine Anderson-Lokalisierung zu erreichen, die entscheidend ist, um die Plateaus tatsächlich zu erhalten - sonst würde man überhaupt keinen Widerstand bekommen! Übrigens ist das Verständnis dieses Punktes entscheidend, um zu verstehen, warum die Längsleitfähigkeit die Spitzen aufweist, die sie aufweist.

Allgemeiner:

In kondensierter Materie haben wir keine genauen Theorien – alles ist eine vereinfachte Annäherung. Daher wird man in der Literatur auf viele verschiedene Theorien stoßen, die unterschiedliche Aspekte des Phänomens betonen und unterschiedlich komplex und quantitativ genau sind. An dieser Stelle kann man fairerweise sagen, dass IQHE gut verstanden ist, wobei die vorherrschende Theorie eine Kombination aus topologischen Zuständen, Verunreinigungseffekten und der 2-Parameter-Skalierungstheorie (sowohl von Längs- als auch von Querleitfähigkeiten, ala Khmelnitskii) ist. Die Theorie von FQHE hat jedoch nicht ganz den gleichen Konsens erreicht. In gewisser Hinsicht ist FQHE wie ein IQHE von Elektronen mit zusätzlichem Fluss, der an sie „gebunden“ ist (durch eine effektive Wechselwirkung aufgrund der Coulomb-Abstoßung); in diesem bild sind wieder alle unordnungen (unreinheiten) etc. entscheidend. Dies hängt auch mit den hierarchischen Zuständen zusammen, weil man sich vorstellen kann, mehr Fluss an die anyonischen Erregungen zu binden und mehr IQHE-Zustände von diesen zu erhalten. Da der Grundbestandteil jedoch die starke Coulomb-Wechselwirkung ist, ist es klar, dass es ohne eine systematische (das Obige ist sehr ad hoc) Behandlung unmöglich ist, sich auf den Gültigkeitsbereich der Theorie zu verlassen. Die Arbeit an diesem Aspekt geht weiter (aber um fair zu sein, etwas ins Stocken geraten – es ist theoretisch so schwierig, dass man wirklich nach einem grundlegenden Durchbruch in der Mathematik sucht, um es abzuschließen). ohne eine systematische (das Obige ist sehr ad hoc) Behandlung ist es unmöglich, sich auf die Gültigkeitsbreite der Theorie zu verlassen. Die Arbeit an diesem Aspekt geht weiter (aber um fair zu sein, etwas ins Stocken geraten – es ist theoretisch so schwierig, dass man wirklich nach einem grundlegenden Durchbruch in der Mathematik sucht, um es abzuschließen). ohne eine systematische (das Obige ist sehr ad hoc) Behandlung ist es unmöglich, sich auf die Gültigkeitsbreite der Theorie zu verlassen. Die Arbeit an diesem Aspekt geht weiter (aber um fair zu sein, etwas ins Stocken geraten – es ist theoretisch so schwierig, dass man wirklich nach einem grundlegenden Durchbruch in der Mathematik sucht, um es abzuschließen).

Vielen Dank. Könnten Sie die Skalierungstheorie und Khmelnitskii ein wenig erläutern (oder nur einen Hinweis geben)? ist mir auch nicht bekannt.
@Marek: Mein Wissen stammt von meinem Vorgesetzten, und ich vermute, es ist ein wenig folkloristischer Natur. Die Arbeit von Khmelnitskii ist auf Englisch etwas schwer zu finden und existiert hauptsächlich in JETP. Referenzen, die ich gesehen (aber nicht gelesen) habe: Muzykanskii und Khmelnitskii, JETP Lett. 62, 76 (1995) und Khmelnitskii, JETP Lett. 38, 552 (1985). Eine englische Referenz ist Pruisken, Nucl. Phys. B 235, 277 (1984). Die moderne Arbeit tendiert dazu, über ein Feldtheorie- oder Replikationstheorie-Modell der Unordnung vorzugehen und ein effektives nichtlineares abzuleiten σ -Modell für den diffusiven Transport, und daraus eine Skalierungstheorie finden.
Kurzer Kommentar: Ich habe das Bild von FQHE als IQHE von Anyons gesehen, aber es sieht für mich immer etwas formell aus. Die Physik der beiden Phänomene scheint mir unterschiedlich zu sein, zum Beispiel benötigt der FQHE eindeutig eine sehr saubere Probe. Auf jeden Fall bin ich neugierig, mehr darüber zu erfahren, was die offenen Punkte in FQHE sind.
@Moshe R.: Beachten Sie, dass FQHE nicht IQHE von Anyons ist - die Anyons erscheinen nur als Erregungen. Es ist formal - die Idee ist zu rechtfertigen, dass ein solches Bild Sinn macht und die richtigen (sagen wir) Erregungen vorhersagt, aber es gibt keine "Ableitung", um es zu bekommen. In kondensierter Materie ist dies nicht immer ein Problem – viele Dinge sind wirklich nur Vermutungen, die außergewöhnlich gut funktionieren. Die höhere Reinheit ist nur darauf zurückzuführen, dass der zusammengesetzte IQHE etwas zerbrechlicher ist; Beachten Sie, dass für die Anderson-Lokalisierung in 2D nur eine ausreichend große Probe mit beliebig kleinen Verunreinigungen benötigt wird.
Das Hauptproblem bei aktuellen FQHE-Theorien ist das Fehlen einer detaillierten quantitativen Theorie darüber, wie die Wechselwirkung die neue Ordnung hervorbringt – man postuliert normalerweise einfach den Zustand und zeigt, dass er lückenhaft ist, dh sicher vor kleinen Störungen. In der Praxis könnte man die gleiche Kritik an IQHE richten, das auf Fermi-Liquid-Argumente setzt, die auch im Grunde nicht wirklich streng sind. Trotzdem akzeptieren die meisten Menschen viel lieber, dass Interaktionen vollständig vernachlässigt werden können, als einen Teil der Interaktion irgendwie in eine topologische Ordnung aufzunehmen und den Rest zu vernachlässigen.
@genneth: Ich dachte, dass die Fermi-Flüssigkeitstheorie mithilfe der Renormalisierungsgruppentheorie mehr oder weniger streng (im Sinne eines Physikers) gemacht wurde. Gibt es ein grundsätzliches Problem bei diesem Ansatz?
In Bezug auf FQHE als IQHE zusammengesetzter Fermionen (CF). Ich denke, es gibt eine Art "Ableitung" davon. Wenn ich mich richtig erinnere, beginnt man mit der mikroskopischen Theorie (wechselwirkende Fermionen, minimal gekoppelt an das äußere Magnetfeld). Führen Sie dann eine (singuläre) Eichtransformation durch und diese "hängt" (Chern-Simons) "Flüsse" an jedes Fermion, und dies sind dann die CF's. Die erste Annäherung besteht darin, das Problem auf der mittleren Feldebene zu behandeln und Wechselwirkungen zwischen CFs als schwach anzunehmen, dies führt zu einem kleineren effektiven Magnetfeld. Betrachten Sie dann die Fluktuation um das mittlere Feld herum
perturbativ und analysieren die Stabilität/Gültigkeit der Mean-Field-Approximation. CFs im schwächeren effektiven Magnetfeld führen zu IQHE von CFs, was FQHE von Elektronen mit den richtigen Plateaus ergibt. Ich bin kein Experte auf diesem Gebiet und kenne mich damit nur sehr oberflächlich aus. Es könnte also etwas sehr falsch mit diesem Ansatz sein. Wenn ich mich richtig erinnere, betrachten Altland & Simons (Condensed Matter Field Theory) diesen Ansatz kurz im Topologiekapitel.
@4tnemele: Die Fermi-Flüssigkeitstheorie hat eine halbkontrollierte Expansion (nämlich Shankar) in Bezug auf die Renormierung um die Fermi-Oberfläche. Mein Punkt ist jedoch, dass wir für FQHE noch weniger haben . Zum Beispiel ist das, was Sie beschreiben (dh CS-Flussbefestigung), das, was ich mit "teilweiser" Berücksichtigung der Coulomb-Wechselwirkung gemeint habe; es handelt sich in keiner Weise um eine kontrollierte Expansion. Ich bin etwas (ähm) vertraut mit Altland & Simons; ja, ich denke, es ist da, aber nicht sehr detailliert (zumindest in der 1. Auflage).

Es gibt ein Buch, das genau die Fragen behandelt, die Sie gestellt haben:

Wenn Sie wenig Zeit (oder Geld) haben - das Buch basiert auf seiner These:

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