Finden expliziter unimodularer Transformationen für Chern-Simons-K-Matrizen

Notwendige und hinreichende Bedingung für Konjugation : siehe Sylvester's Trägheitsgesetz . In Ihrer Notation die beiden symmetrischen Matrizen$K$Und$K'$sind durch eine Transformation konjugiert$W^TKW = K'$genau dann, wenn sie die gleiche Anzahl positiver und negativer Eigenwerte haben (keine Null-Eigenwerte, da beide nichtsingulär sind). Die Eigenwerte selbst müssen jedoch nicht identisch sein.

Notwendige und hinreichende Bedingung für$W$unimodular sein :$K$muss nicht unimodular sein, aber die Konjugationsbeziehung macht es erforderlich

$$[\det(W)]^2 = \frac{\det(K')}{\det(K)}$$ So $W$ist genau dann unimodular, wenn $$\det(K) = \det(K')$$

Verwandlung finden$W$: Diagonalisieren$K$Und$K'$als

$$K = U^T Q U,\;\;\;\;,U^TU = UU^T = I\;\;\;\;\;Q=Q^T=\text{Diag}(\lambda_K)$$ $$K' = {U'}^T{Q'}{U'}, \;\;\;\;\;{U'}^T{U'} = {U'}{U'}^T = I\;\;\;\;\;{Q'}={Q'}^T= \text{Diag}(\lambda_{K'})$$ wo die diagonalen Matrizen $Q$, $Q'$Listen Sie die Eigenwerte auf $\lambda_K$, $\lambda_{K'}$in der Reihenfolge, sagen wir vom kleinsten zum größten. Weiter definieren $S = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_K|})$, ${S'} = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_{K'}|})$, und umschreiben $$Q = S^T D S,\;\;\;\;\; Q' = {S'}^T D {S'}$$ Wo $$D = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_K)) = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_{K'}))$$ ist nun eine diagonale unimodulare Matrix, $[\det(D)]^2 = 1$. Das Einsetzen von allem in die Konjugationsbeziehung bringt es in die Form $$(S U W)^T D (S U W) = ({S'}{U'})^T D ({S'}{U'})$$ und ermöglicht die Identifizierung, z. $$S U W = {S'}{U'}$$ was schließlich gibt $$W = U^T S^{-1}{S'}{U'}$$ Wenn $\det(K) = \det(K')$dann auch $\det(S) = \det(S')$und so $\det(W) = \pm 1$, es hängt davon ab $\det(U)$, $\det(U')$.

Beachte das aber$W$ist nicht einzigartig. Beliebig${\bar W} = U^T S^{-1}V{S'}{U'}$mit$V$so dass$V^TDV = D$(Zum Beispiel$[V, D] = [V^T, D] = 0$Und$V^TV = I$) funktioniert genauso gut.