Unter Verwendung der Kubo-Formel bewiesen Thouless, Kohmoto, Nightingale und den Nijs (TKNN, PRL 49 405–408 (1982)), dass die Hall-Leitfähigkeit nach Summierung aller Beiträge der gefüllten Zustände eines Isolators eine ganze Zahl sein muss ( die Chern-Zahl) mal e^2/h.
Ihr Satz verwendet periodische Randbedingungen entlang x und y und vermeidet daher die Diskussion über Kanten. Ein intuitives Bild des Quanten-Hall-Effekts (QHE) basiert jedoch auf Strömen am Rand (man spricht immer davon, Umlaufbahnen um den Rand herum zu überspringen).
Meine Frage ist jetzt: Warum sagen manche Leute, dass die Kanten die ganze Geschichte des QHE sind, während die Formulierung von TKNN es so aussehen lässt, als wäre dies nicht wichtig? Wie kann ich mich alternativ davon überzeugen, dass die Schlussfolgerungen aus der TKNN-Ableitung auch für offene Randbedingungen gelten?
Auch aus der TKNN-Ableitung scheint mir die erhaltene Chern-Zahl eine Eigenschaft der Masse zu sein. Gibt es einen einfachen Beweis, der diese Chern-Zahl in die Anzahl der Kantenkanäle in einer offenen Randbedingungseinstellung übersetzt?
Danke vielmals.
Die Erklärungen TKNN (Masse) und Büttiker (Kante) für die quantisierte Hall-Leitfähigkeit entsprechen unterschiedlichen Geometrien.
In der TKNN-Theorie besteht die „Probe“ aus einem in sich geschlossenen Torus und hat daher keinerlei Kanten. In diesem Fall ist das elektrische Potential gleichförmig, und das elektrische Feld entsteht durch die zeitliche Ableitung des Vektorpotentials (es dauert nur so lange, wie man den magnetischen Fluss innerhalb des Torus variiert). In diesem Fall ist der Hall-Strom wirklich ein Volumenstrom.
Büttiker hingegen betrachtet einen Hallstab mit unterschiedlichen elektrochemischen Potentialen auf jeder Seite. Wenn man (wie Büttiker) davon ausgeht, dass das elektrostatische Potential im mittleren Bereich des Balkens gleichmäßig ist und an den Seiten ansteigt, dann findet man, dass der Strom entlang der Kanten fließt (in entgegengesetzte Richtungen), wobei entlang einer mehr Strom fließt Kante als entlang der anderen wegen der unterschiedlichen chemischen Potentiale.
In einer realistischeren Beschreibung ist das elektrostatische Potential in der Masse des Stabs nicht gleichförmig, so dass der Stromfluss sowohl entlang der Kanten als auch innerhalb der Masse des Stabs stattfindet. In jedem Fall ist der Nettostrom völlig unabhängig vom tatsächlichen Verlauf des elektrostatischen Potentials über dem Hall-Stab und hängt nur von der chemischen Potentialdifferenz ab. Deshalb erhalten Büttuker und TKNN für den (quantisierten) Gesamtstrom die gleiche Antwort.
Eine schöne Diskussion dieser Frage wird von Yoshioka gegeben .
Jia Yiyang
PPR